Глава 8. Численные методы Решения нелинейных уравнений

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую величину называют корнем уравнения?

2. Что означает, что корень уравнения имеет кратность степени k?

3. Какие уравнения называют алгебраическими?

4. Какие алгебраически уравнения называют приведенными?

5. Какие уравнения называют трансцендентными?

6. На какие группы делят методы решения нелинейных уравнений?

7. В чем заключаются прямые методы решения нелинейных уравнений?

8. В чем заключаются аналитические методы решения нелинейных уравнений?

9. В чем заключаются численные методы решения нелинейных уравнений?

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие этапы содержит алгоритм численного решения нелинейного уравнения?

2. Какие используются два варианта локализации корней уравнений?

3. Какие методы применяют для определения одиночных начальных приближенных значений корней?

4. Сформулируйте теорему Больцано–Коши и ее следствие - теорему о нуле непрерывной функции.

5. Как и для чего выполняется сканирование с постоянным шагом?

6. Какие возможны погрешности в определении доверительных отрезков в сканировании с постоянным шагом при использовании шага крупного размера?

7. В чем заключается метод локализации корней с использованием стационарных точек?

8. Как в методе локализации корней с использованием стационарных точек учитывается знак функции f (x) в исследуемой точке или на бесконечности (х ®-¥или х ®+¥), если в них значение f (x) стремится к бесконечности?

Практическое задание.

1. Найти с использованием сканирования с постоянным шагом доверительные отрезки, содержащие корни уравнения f (x) = x ⁴ - x ³ - 20 х + 25 = 0.

2. С использованием стационарных точек найти доверительные участки, содержащие корни уравнения f (x) =3 x ⁴ - 8 x ³ - 90 x ² - 200 = 0.

3. С использованием стационарных точек найти доверительные участки, содержащие корни уравнения f (x) =2sin x - x = 0.

8.3. Уточнение корней уравнения на доверительном отрезке.
Метод половинного деления

В простейшем случае уточнение корня на доверительном отрезке [ a, b ] с заданной точностью e означает задание абсолютной погрешности, с которой приближенное значение корня x_пр может отличаться от точного значения корня x*:

ï x* - x_пр ï≤ e. (8.4)

и численное определение нового итогового доверительного отрезка[a,b],на котором все точки x_пр Î[a,b] удовлетворяют условию (8.4).

Итерационное численное определение итогового доверительного отрезка[a,b] при простейшем варианте реализации методов уточнения заключается в последовательных вычислениях приближенных значений корня x ₁, x ₂,..., x_i, построении на каждом шаге i нового сокращенного доверительного отрезка [ a_i, b_i ] и проверке его длины. Если ï b_i - a_i ï ≤ e, то доверительный отрезок требуемой длины e найден, вычисления завершаем. Иначе (при ï b_i - a_i ï> e) переходим к новой итерации и продолжаем сокращать доверительный интервал.

Данная простейшая схема чаще всего срабатывает. Однако в реальных расчетах при поиске итогового доверительного отрезка[a,b] встречаются такие ситуации,когда для очередного приближенного значения x_i значение функции оказывается практически равным нулю: f (x_i)» 0. Данную ситуацию кратко назовем попаданием в корень, поскольку в этом случае значение x_i очень близко к искомому корню x*. При этом из-за погрешностей вычислений f (x_i) может возникнуть ошибка в знаке функции, из-за чего уже на следующей итерации может быть потерян искомый корень уравнения, т.е. будут строиться доверительные интервалы, не содержащие x*.

Для устранения возможной потери корней необходимо уже на этапе постановки задачи учесть погрешность вычисления функции и возможность попадания в корень.

Корректная (позволяющая всегда найти решение при возможном попадании в корень) постановка задачи уточнения на доверительном отрезке [ a, b ] с заданной точностью e и погрешностью вычисления функции e_f означает численное определение:

1) либо нового итогового доверительного отрезка[a,b] длины, не превышающей e:

(b - a) £ e (8.5а)

2) либоприближенного значения корня x_пр, у которого:

ï f (x_i)ï< e_f. (8.5б) С учетом новой постановки задачи уточнения корня (8.5а)-(8.5б) численный алгоритм ее решения на каждой итерации i при известном доверительном отрезке [ a_{i -1}, b_{i -1}]из предыдущей итерации (i -1) должен включать следующие действия:

1) расчет очередного приближения х_i,

2) проверка условияï f (x_i)ï≤ e_f - если оно выполнено, то найдено приближенное значение корня x_пр, для которого выполнено условие окончания расчета (8.5б), выход из алгоритма, иначе (ï f (x_i)ï> e_f) – продолжение расчетов;

3) сокращение доверительного отрезка, обозначим его [ a_i, b_i ], если ï b_i - a_i ï ≤ e, то найден доверительный интервал требуемой длины e (выполнено условие окончания расчета (8.5а)), вычисления завершаем; иначе (ï b_i - a_i ï> e) - переходим к новой итерации.

Основным требованием к итерационным методам решения уравнений является сходимость: предел последовательности получаемых значений неизвестного { x ₁, x ₂, x ₃,...} должен существовать и быть равным искомому точному корню уравнения x*.

При наличии сходимости главным качественным показателем метода является скорость сходимости, которая определяется числом n вычислений функции f (x), необходимых для получения приближенного значения корня x_пр с заданной точностью e на исходном доверительном отрезке [ a, b ]. Таким образом, в общем случае n зависит от следующих факторов: 1) вида функции f (x), 2) длины доверительного отрезка (b - a), 3) точности решения e,т.е. в общем случае:

n = n (f (x),(b - a), e). (8.6)

Поскольку число необходимых расчетов функции f (x) возрастает с увеличением длины отрезка [ a, b ] и уменьшением точности e, то вместо двух данных факторов можно рассмотреть их отношение М =(b - a)/ e, которое назовем масштабом задачи.

Наиболее распространенными методами уточнения корней на заданном доверительном отрезке являются следующие итерационные методы нулевого порядка, в которых используется только расчет значений целевой функции:

1) половинное деление,

2) метод хорд.

8.3.1. Метод половинного деления уточнения корней на доверительном отрезке

Допустим, для уравнения f (x)=0 заданы:

1) доверительный отрезок [ a, b ], на котором непрерывная функция f (x) меняет знак: f (a)× f (b) < 0,

2) точность e, с которой необходимо найти корень f (x),

3) допустимая погрешность вычисления значения функции e_f.

Необходимо найти приближенное значение корня x_пр с точностью e_f либо новый доверительный отрезок для него с точностью e.

Обозначим начальные значения границ отрезка через a ₀ и b ₀, на каждой очередной итерации i (=1,2,...) - через a_i и b_i.

Рассмотрим итерацию метода с номером i (=1,2,...). К началу ее известен доверительный отрезок [ a_{i- 1}, b_{i- 1}] предыдущей итерации (i -1), на котором функция f (x) меняет знак: f (a_{i- 1})× f (b_{i- 1}) < 0. На итерации i рассчитываем значение функции в средней точке отрезка [ a_{i- 1}, b_{i- 1}], имеющей координаты: x_i = (a_{i- 1}+ b_{i- 1})/2. Для значения функции f (x_i) выполняем следующие проверки.

1. Если ï f (x_i)ï< e_f, то искомое приближенное значение корня считаем найденным (x_пр = x_i) ивыходим из алгоритма; иначе вычисления продолжаем;

2. Если выполнено условие f (a_{i- 1})× f (x_i) < 0, то это означает, что искомый корень содержится между точками a_{i- 1} и x_i, корректируем доверительный отрезок: a_i:=
a_{i- 1}; b_i:= x_i;

иначе (f (a_{i- 1})× f (x_i) ³ 0) искомый корень лежит между точками x_i и b_{i- 1}, корректируем доверительный отрезок: a_i:= x_i; b_i:= b_{i- 1}.

3. Если ï b_i - a_i ï ≤ e, то найден доверительный интервал требуемой длины e, вычисления завершаем; иначе (ï b_i - a_i ï> e) - переходим к новой итерации (i +1).

При поиске корня с точностью e все промежуточные расчеты должны выполняться с более высокой точностью, для того, чтобы при округлении не "потерять" точный корень.

Сходимость метода. Поскольку метод на каждом шаге удерживает искомый точный корень x* на доверительном отрезке [ a_i, b_i ], длина которого который уменьшается в два раза по сравнению с предыдущим шагом, то метод всегда сходится к точному решению.

Скорость сходимости метода. Она не зависит от вида функции Поскольку на каждом шаге длина доверительного отрезка уменьшается ровно в два раза, то число шагов n равно числу делений числа (b - a) на 2, при котором результат окажется меньше либо равен e:(b - a)/2 ⁿ ≤ e. Отсюда следует: 2 ⁿ ³ (b - a)/e; n ³ log₂((b - a)/e);

n = n (f (x),(b - a), e) = ]log₂((b - a)/e)[ = ]log₂ M [, (8.7)

где ] x [ - ближайшее целое сверху к значению x.

Пример 1. Уточнить по методу половинного деления корень уравнения f (x) = x ³ - 6 х + 2 = 0 из примера 1 п.8.2 с точностью e = 0,01 на отрезке [2;3].

Решение. Масштаб задачи равен: М =(b - a)/ e =1/0,01 = 100. Следовательно, из (8.5) следует, что число необходимых итераций равно n = ]log₂(100)[ = 7. Из примера 1 п.8.2 следует, что f (2)<0; f (3)>0. Точность расчетов примем равной 0,0001. Рассмотрим выполнение итераций с номерами 1-7.

Итерация 1. х ₁=(2+3)/2=2,5. f (2,5)= x ³ - 6 х + 2 = 15,625 - 15 + 2 = 2,625 > 0. ½ f (2,5)½³ e_f, f (2,5)× f (2)<0, поэтому корень находится на отрезке [2;2,5], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,5 > e.

Итерация 2. х ₂=(2+2,5)/2=2,25. f (2,25)= x ³ - 6 х + 2 » 11,3906 - 13,5 + 2 = -0,1094<0. Так как f (2)× f (2,25)>0, то корень находится на отрезке [2,25;2,5], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,25 > e.

Итерация 3. х ₃=(2,25+2,5)/2=2,375. f (2,375)= x ³ - 6 х + 2 » 13,3965 - 14,25 + 2 = 1,1465>0. Так как f (2,25)× f (2,375)<0, то корень находится на отрезке [2,25;2,375], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,125 > e.

Итерация 4. х ₄=(2,25+2,375)/2=2,3125. f (2,3125)= x ³ - 6 х + 2 » 13,3665 - 13,875 + 2 = 1,4915>0. Так как f (2,25)× f (2,375)<0, то корень находится на отрезке [2,25;2,3125], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,0625 > e.

Итерация 5. х ₅=(2,25+2,3125)/2 » 2,2825. f (2,2825)= x ³ - 6 х + 2 » 11,8914 - 13,6950 + 2 = 0,1964>0. Так как f (2,25)× f (2,3125)<0, то корень находится на отрезке [2,25;2,2825], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,03125 > e.

Итерация 6. х ₆=(2,25+2,2825)/2 » 2,2663. f (2,2663)= x ³ - 6 х + 2 » 11,6400 - 13,5978 + 2 = 0,0422>0. Так как f (2,25)× f (2,2663)<0, то корень находится на отрезке [2,25; 2,2663], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,0015625 > e.

Итерация 7. х ₇=(2,25+2,2663)/2 » 2,2582. f (2,2582)= x ³ - 6 х + 2 » 11,5156 - 13,5492 + 2 = - 0,0336<0. Так как f (2,25)× f (2,2663)>0, то корень находится на отрезке [2,2582; 2,2663], который принимаем в качестве нового доверительного. Длина его равна 0,00078125 < e. Следовательно, вычисления заканчиваем и последний доверительный отрезок [2,2582; 2,2663] принимаем в качестве решения задачи.

Достоинствами метода половинного деления является простота его алгоритма и гарантированная сходимость к искомому корню независимо от вида функции. Она может иметь любой непрерывный вид, в том числе – быть недифференцируемой в отдельных точках начального доверительного отрезка.

Основной недостаток - невысокая скорость сходимости по сравнению с другими методами. Также относительным недостатком является возможность случайного попадания в корень, из-за чего приходится проверять дополнительное условие ï f (x_i)ï< e_f.

Вопросы для проверки знаний.

1. Почему корректное решение задачи уточнения корня уравнения на доверительном отрезке должно учитывать погрешность вычисления функции?

2. Каким образом в общем случае выполняются итерации при численном уточнении корня уравнения на доверительном отрезке?

3. Что называют сходимостью метода уточнении корня уравнения на доверительном отрезке и скоростью сходимости?

4. Какие методы уточнения корней на заданном доверительном отрезке являются наиболее употребительными?

5. Как в методе половинного деления вычисляется очередное приближенное значение корня?

6. Всегда ли сходится метод половинного деления и какова его скорость сходимости?

7. Укажите достоинства и недостатки метода половинного деления уточнения корня уравнения на доверительном отрезке.

Практическое задание.

1. Уточнить по методу половинного деления корень уравнения f (x) = x ⁴ - х - 14 = 0 с точностью e = 0,05 на отрезке [1,5;3].

Метод хорд

Метод половинного деления на каждой итерации i при расчете очередного приближения x_i не учитывает положение по оси Оу точек функции f (x) в краях текущего доверительного отрезка [ a_{i- 1}, b_{i- 1}]. В методе хорд целевая функция f (x) на этом отрезке интерполируется отрезком прямой (хордой), у которого один из отрезков закреплен и приближение x_i рассчитывается как пересечение данной хорды с осью Ох. Это в общем случае позволяется ускорить сходимость метода (уменьшить число необходимых итераций) по сравнению с методом половинного деления.

Рассмотрим случай, когда закреплена точка b исходного доверительного отрезка [ a; b ], а точка a используется в качестве начального приближения для искомого корня: x ₀ = a. Таким образом, к началу каждой итерации i доверительный интервал имеет вид: [ a_{i- 1}= х_{i- 1}; b ]. Уравнение прямой, проходящей через точки плоcкости Охy с координатами (х_{i- 1}, f (х_{i- 1})) и (b, f (b)), можно представить в виде:

(x - х_{i- 1})/(b_{i- 1} - х_{i- 1}) = (f (x) - f (х_{i- 1}))/ (f (b) - f (х_{i- 1})). Подставляя в это условие значение f (x)=0, которое соответствует корню уравнения, получим выражение для абсциссы точки пересечения хорды с осью Ох: x = х_{i- 1} - f (х_{i- 1})(b - a_{i- 1})/ (f (b)- f (х_{i- 1})).

Внося в правой части полученной формулы все слагаемые под общий знаменатель и выполняя сокращения, получим схему итерационного процесса по методу хорд для закрепленной точки b:

x ₀ = a; x_i = х_{i- 1} - f (х_{i- 1})(b - х_{i- 1})/(f (b)- f (х_{i- 1}));(i= 1,2,...). (8.8 а) При закрепленной точке b последовательность приближенных решений образует ограниченную монотонно возрастающую, ограниченную сверху точкой b (следовательно, сходящуюся) последовательность: а = x ₀ < x ₁<... x_i < b.

Аналогично рассматривается случай, когда закреплена точка a исходного доверительного отрезка [ a; b ], а точка b используется в качестве начального приближения для искомого корня: x ₀ = b. Схема итерационного имеет вид:

x ₀ = b; x_i = х_{i- 1} - f (х_{i- 1})(a - х_{i- 1})/(f (a)- f (х_{i- 1}));(i= 1,2,...). (8.8 б)

При закрепленной точке а последовательность приближенных решений образует ограниченную монотонно убывающую, ограниченную снизу точкой а (следовательно, сходящуюся) последовательность: b = x ₀ > x ₁ >... > x_i > а.

В отличие от метода половинного деления, точность искомого приближенного решения оценивается не по длине содержащего его итогового доверительного отрезка, а по приращениям между очередными приближенными значениями корня. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие | x_i - x_{i - 1}|< e, (8.8 в)

где e - заданная предельная величина приращений значения корня.

Метод всегда сходится, когда вторая производная целевой функции f''(x) сохраняет знак на отрезке [ a; b ]. Кратко правило выбора схемы итерационного процесса, обеспечивающего сходимость метода, можно сформулировать следующим образом: закреплен должен быть тот конец доверительного отрезка, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f'' (х).

При этом последовательные приближения x_n лежат по ту сторону точного корня x*, где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f'' (х).

Поскольку в методе хорд последовательность приближенных значений { x_i } монотонно стремится к искомому точному корню, здесь не возникает ситуации со случайным попаданием в корень и можно не анализировать дополнительное условие ï f (x_i)ï< e _f, как в методе половинного деления.

На рис.8.1 и 8.2 показан процесс приближения по методу хорд при f'' (x)>0 в случаях f (а) > 0 (рис.8.1) и f (b) > 0 (рис.8.2).

Рис.8.1. f'' (x)>0, f (а) > 0 Рис.8.2. f'' (x)>0, f (b) > 0

Пример 1. Применить метод хорд для уточнения корня уравнения f (x) = x ³ - 6 х + 2 = 0 из примера 1 п.8.2 с точностью e = 0,01 на отрезке [2;3].

Решение. Вторая производная целевой функции f''(x) > 0 на всем исходном отрезке [2;3]. Из примера 1 п.8.2 следует, что f (2)<0; f (3)>0. Следовательно, в качестве закрепленной принимаем точку 3, так как в ней знак функции f (х) совпадает со знаком второй производной f'' (х). Схема итерационного процесса с учетом f (3) =3³ - 6×3 + 2 = 11 принимает вид:

x ₀ = 2; x_i = х_{i- 1} - f (х_{i- 1})(3- х_{i- 1})/(11 - f (х_{i- 1}));(i= 1,2,...).

Итерация 1. x ₀ = 2; f (x ₀) = f (2) =2³ - 6×2 + 2 = -2. x ₁ = х ₀ - f (х ₀)(3- х ₀)/(11 - f (х ₀)) = 2 -(-2)(3- 2)/(11 -(-2)) = 2 +2/(13) = 2,1538. Приращение | x ₁- x ₀| = 0,1538 > e, продолжаем вычисления.

Итерация 2. x ₁ = 2,1538; f (x ₁) = f (2,1538) =2,1538³ - 6×2,1538 + 2 = 9,9912-12,9228 + 2 = -0,9316. x ₂ = х ₁ - f (х ₁)(3- х ₁)/(11 - f (х ₁)) = 2,1538 - (-0,9316)(3- 2,1538)/(11 -(-0,9316)) = 2,2199. Приращение | x ₂- x ₁| = 0,0661 > e, продолжаем вычисления.

Итерация 3. x ₂ = 2,2199; f (x ₁) = f (2,2199) =2,2199³ - 6×2,2199 + 2 = 10,9396-13,3194 + 2 = -0,3798. x ₃ = х ₂ - f (х ₂)(3- х ₂)/(11 - f (х ₂)) = 2,2199 - (-0,3798)(3- 2,2199)/(11 - (-0,3798)) = 2,2459. Приращение | x ₃- x ₂| = 0,0260 > e, продолжаем вычисления.

Итерация 4. x ₃ = 2,2459; f (x ₁) = f (2,2459) =2,2459³ - 6×2,2459 + 2 = 10,9396-13,3194 + 2 = - 0,1469. x ₄ = х ₃ - f (х ₃)(3- х ₃)/(11 - f (х ₃)) = 2,2459 - (-0,1469)(3- 2,2459)/(11 - (-0,1469)) = 2,2558. Приращение | x ₃- x ₂| = 0,0099 < e, вычисления завершаем.

Как видно из примера, по методу хорд на поиск решения затрачено 4 итерации против 7 у метода половинного деления.

Достоинствами метода хорд является более быстрая и гарантированная сходимость к искомому корню при выполнении всех необходимых условия применения метода.

Основной недостаток - необходимость дополнительного исследования второй производной функции, что может представлять отдельную задачу.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какое приближение применяется для целевой функции в методе хорд?

2. Какое условие используется для завершения итерационного процесса в методе хорд?

3. В чем заключается достаточное условие сходимости метода хорд и каково правило выбора неподвижной точки?

4. Существует ли в методе хорд необходимость учитывать случайное попадание в корень?

5. Какую точку следует принять в качестве закрепленной при отрицательной второй производной f'', f (а) > 0 и f (b) < 0.

Практические задания.

1. Уточнить по методу хорд корень уравнения f (x) = x ⁴ - х - 14 = 0 с точностью e = 0,05 на отрезке [1,5;3].

2.Отделить положительный корень уравнения f (x) = x ³ - 0,2 x ² - 0,2 х - 1,2 = 0 и уточнить его с точностью e = 0,01.

Вопросы для проверки знаний.

1. Чем отличается уточнение корня в окрестности приближенной точки от уточнения на доверительном отрезке?

2. Какие методы уточнения корней в окрестности начального приближения являются наиболее употребительными?

3. Как задают точность решения в методах уточнения корней в окрестности начального приближения?

4. Какой порядок имеют методы уточнения корней в окрестности начального приближения?

5. В чем заключается основная идея уточнения корня в окрестности начального приближения при помощи метода сканирования с переменным шагом?

6. Почему при корректной реализации метода сканирования с переменным шагом необходимо учитывать возможность попадания в корень?

7. Какой полный набор исходных данных должна содержать полная постановка задачи уточнения корня в окрестности начального приближения при помощи метода сканирования с переменным шагом?

8. В каком виде может быть получено решение задачи уточнения корня в окрестности начального приближения при помощи метода сканирования с переменным шагом?

9. Каковы достоинства и недостатки метода уточнения корня в окрестности начального приближения при помощи сканирования с переменным шагом?

Практические задания.

1. Уточнить по методу сканирования с переменным шагом корень уравнения f (x) = x ⁴ - х - 14 = 0 с точностью e = 0,2 на отрезке [1,5;3].

2.Отделить положительный корень уравнения f (x) = x ³ - 0,2 x ² - 0,2 х - 1,2 = 0 и уточнить его с точностью e = 0,05.

Метод простой итерации

Допустим, необходимо уточнить корень уравнения f (x)=0 при заданном начальномприближении x ₀ и необходимой точности определения корня e. В методе простой итерации исходное уравнение приводят к специальному виду x=φ (x), (8.9)

который удобен для применения метода простой итерации.

Схема метода простой итерации при заданном начальном приближении x ₀ имеет вид:

x_i = φ (x_{i -1}), (i=1,2,…,). (8.10 а)

Условие завершения итерационного процесса:

| x_k+1 – x_k |< ε. (8.10 б)

Достаточным условием сходимости метода является следующее условие:

1) функция φ (x) имеет первую производную φ¢ (x) на всей области поиска W (конечной или бесконечной),

2) для первой производной на W выполняется условие ½ φ¢ (x) ½£ q <1.

Справедливость условия вытекает из следующих оценок, в которых используется теорема Лагранжа о среднем:

Так как .

Вопросы для проверки знаний.

1. К какому специальному виду приводят уравнение f (x)=0 для применения метода простой итерации?

2. Какова схема метода простой итерации и каково условие завершения итерационного процесса?

3. Каково достаточное условие сходимости метода простой итерации?

4. Какой параметр определяет скорость сходимости метода простой итерации?

Практическое задание.

1. Привести к расчетной схеме метода простой итерации, исследовать область сходимости и уточнить по методу простой итерации корень уравнения f (x) = x ³ – е^{х- 10} = 0 с точностью e = 0,1 в окрестности приближенного значения x ₀ = 20.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какова схема итерационного процесса метода Ньютона?

2. Какова геометрическая интерпретация метода Ньютона?

Практическое задание.

1. Уточнить по методу Ньютона корень уравнения f (x) = x ³ – е^{х- 10} = 0 с точностью e = 0,1 в окрестности приближенного значения x ₀ = 20.

 

Глава 8. Численные методы Решения нелинейных уравнений

Уравнения, не представимые в линейном виде, называют нелинейными. Решение нелинейных уравнений и их систем является одним из наиболее распространенных видов математических задач в самых различных разделах науки и техники.

В самом общем виде нелинейное уравнение с одним неизвестным х Î R можно записать в виде:

f (x) = 0, (8.1)

где f (x) – некоторая нелинейная непрерывная функция аргумента x.

8.1.Корни нелинейного уравнения.
Виды нелинейных уравнений и методы их решения

Всякое число x_i, обращающее функцию f (x) в нуль, т.е. при котором выполняется условие (8.1), называют корнем данного уравнения. Если в точке x =x_i наряду с функцией обращаются в ноль и ее производные до (k -1) порядка включительно, то число x_i называют корнем k -й кратности. Однократный корень также называют простым.

В зависимости от вида функции f (x) нелинейные уравнения подразделяют на алгебраические, уравнений специального вида и трансцендентные.

В алгебраических уравнениях функция f (x) является алгебраической функцией (в общем случае - рациональной (целой или дробной) или иррациональной). Однако чаще всего под алгебраическим уравнением имеют в виду только уравнения с левой частью f (x) многочленом - целой рациональной алгебраической функцией. В канонической форме данный вид уравнений имеет следующий вид:

f (x) = с_nхⁿ +... + с ₂ х ² + с ₁ х + с ₀ = 0, (8.2)

где с_n,..., с ₂, с ₁, с ₀– коэффициенты уравнения. Показатель n называют степенью алгебраического уравнения. Коэффициент с_n при максимальной степени хⁿ называют старшим. Если старший коэффициент многочлена равен 1, то многочлен называют приведенным.

Уравнения степени n = 2 называют квадратными, n = 3 - кубическими.

Пример 1. Алгебраические уравнения:

1) х ² + 3 х + 2 = 0 - приведенное квадратное уравнение;

2) aх ³ + bх ² + cх + d = 0 - кубическое уравнение;

3) aх ⁴ + bх ³ + cх ² + dх + e = 0 - алгебраическое уравнение 4 степени;

4) aх ⁴ + bх ²+ c = 0 - биквадратное уравнение (уравнение степени 4 с нулевым кубическим коэффициентом);

5) х^m + c = 0 - приведенное двучленное степенное уравнение m -й степени;

6) aх ^{2 m} + bх ^m + c = 0 - обобщенное биквадратное уравнение.

Среди уравнений алгебры, отличных от алгебраических, выделяют такие специальные виды, как показательные, логарифмические, тригонометрические и другие, которые содержат только функции одного вида либо выражения, приводимые к ним (например, 1=cos² х +sin² х).

Если же в уравнение входят функции различных видов (например, многочлен и логарифм, тригонометрическая и показательная), то такое уравнение называют трансцендентным.

Пример 2. Уравнения, отличные от алгебраических:

1)cos² х + cos2 х + 1,5 = 0 - тригонометрическое уравнение;

2)log₂(5 + 3log₂(x - 3)) = 3 - логарифмическое уравнение;

3) sin х + 2 lg х =10 х - трансцендентное уравнение;

4) 2x — lоg₂ х = arccos x - трансцендентное уравнение.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые, аналитические и численные (итерационные).

Прямые методы позволяют записать условие существования решения и корни (если они существуют) в виде некоторого готового соотношения (формулы). Выяснить существование корней и вычислить их значения корней можно за конечное число арифметических операций. Например, квадратные уравнения решаются прямым методом с использованием двух формул - для дискриминанта и корней. Условия проверки существования решения и формулы для корней являются точными и не содержат погрешностей метода и вычислений.

Аналитическое решение уравнения обычно производится путем изучения его ОДЗ (области допустимых значений неизвестных) и выполнения тождественных преобразований, при которых уравнение последовательно заменяется равносильными ему. Получаемые в итоге возможные решения уточняются с помощью ОДЗ. Такие методы развиты для решения специальных уравнений - тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Прямые и аналитические методы затрачивают, как правило, минимальное число операций на определение решений и являются точными, т.е. они устанавливают однозначные зависимости между начальными данными задачи (коэффициентами уравнения) и его решениями – даже в тех случаях, когда коэффициенты известны приближенно. При этом сам метод решения не вносит дополнительной погрешности в итоговое решение.

Однако основную массу нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми и аналитическими методами - даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не существует аналитических решений в виде формул с конечным числом арифметических действий. Решение трансцендентных уравнений также возможно только в отдельных случаях, в основном на основе исследования ОДЗ неизвестного и области значений функций, входящих в уравнение. Например:

Практически все трансцендентные уравнения не решаются аналитически. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью за счет использования итерационных расчетов, в которых сходные вычисления выполняются циклически над изменяющимися данными.

Поскольку коэффициенты уравнений, описывающих реальные объекты и процессы, как правило, получают в результате измерений и оценок с некоторой погрешностью, то само понятие “точное решение” в данном случае лишается своего изначального смысла. Поэтому практически приемлемым подходом является обеспечение требуемой точности получаемого решения.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую величину называют корнем уравнения?

2. Что означает, что корень уравнения имеет кратность степени k?

3. Какие уравнения называют алгебраическими?

4. Какие алгебраически уравнения называют приведенными?

5. Какие уравнения называют трансцендентными?

6. На какие группы делят методы решения нелинейных уравнений?

7. В чем заключаются прямые методы решения нелинейных уравнений?

8. В чем заключаются аналитические методы решения нелинейных уравнений?

9. В чем заключаются численные методы решения нелинейных уравнений?