Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
 2017-11-16 |
 319 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Рассмотрим функцию f(z). Составим ряд
Ряд (**) – ряд Тейлора для функции f(z).
Известны следующие разложения в ряд Тейлора.
Можно показать, что радиус сходимости равен R = ∞.
Ряд Лорана.
В комплексном анализе имеют дело не только со степенными рядами, но и с двусторонними рядами
Ряд сходится при |t| < R2′
| z – a| > R2, R2 = 1/R2′. Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце
 |
R2 < |z – a| < R1
R1 Теорема.
z = aСумма ряда Лорана является аналитической
(С) функцией в кольце сходимости R2 < |z – a| < R1.
R2
Найдем коэффициенты ряда Лорана. Рассмотрим
(все слагаемые в правой части обратились в нуль, кроме одного, когда k + 1 – n = 1, т.е. n = k).
Отсюда
Особые точки.
Особыми точками функции f(z) называются точки, в которых нарушается аналитичность функции.
Особая точка z = a называется изолированной, если существует такая окрестность этой точки, в которой она является единственной особой точкой.
Например, f(z) = 1 /(z-1) , z = 1 – изолированная особая точка.
Если точка z = a является изолированной особой точкой, то существует достаточно малое кольцо R2 < |z – a| < R1, в котором функция f(z) аналитическая и разлагается в ряд Лорана.
(*)
При этом могут представиться три случая.
1. Разложение (*) не содержит главной части.
Особая точка z = a называется устранимой особой точкой.
П р и м е р. Показать, что z = 0 – устранимая особая точка функции 
В полученном разложении отсутствует главная часть, поэтому точка z = 0 – устранимая особая точка. Если принять, что f(0) = 1, то функция станет аналитической.
2. Разложение содержит конечное число слагаемых в главной части.
Если 
то точка z = a называется полюсом m-го порядка. Если m = 1, то полюс называется простым.
|
|
П р и м е р.
. Точки z = 1 и z = i являются особыми точками.
z = 1 – простой полюс, т.к. 
z = i – полюс второго порядка. т.к. 
Вычеты функции.
Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке z = a называется коэффициент а-1при 1/(z – a) в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности точки
z = a.
Используя формулу коэффициентов ряда Лорана, получим
Здесь (С) – окружность |z – a| = r, принадлежащая кольцу сходимости.
Отсюда, если z = a – правильна я или устранимая особая точка, то Res f(a) = 0, т.к. в разложении f(z) отсутствует главная часть.
Вычет функции в конечном полюсе.
Пусть z = a – полюс m -го порядка.
П р и м е р. Найти вычеты функции f(z) во всех конечных особых точках.
Особые точки z = 0 и z = 
Теорема Коши о вычетах.
Вычеты имеют важное применение при вычислении интегралов по замкнутому контуру.
Пусть функция 
f(z) аналитична всюду на
замкнутом контуре (L) и всюду внутри контура
a1 z = a1 (L) за исключением конечного числа точек
a1, a2,…,an, расположенных внутри контура (L).
Тогда
z = a2 
z = an
Доказательство.
Вокруг каждой из точек ak окружность (Сk) так, чтобы эти окружности не пересекали друг друга и не выходили за (L). Тогда по теореме Коши интеграл по внешнему контуру (L) будет равен сумме интегралов по внутренним контурам (Ck).
П р и м е р 1. 
y
(L) – окружность |z – 2| = 3. Внутрь контура попали две
x
-2 особые точки z = 0 и z = 2.
z = 2
z = 0
П р и м е р 2 .(см. предыдущую стр.).
z = i
 |
(С) |z - 2| = 3
 |
z =0
z =-i
|
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!