Определение рациональных чисел как классов эквивалентности

 

Определение:

Будем говорить, что пара эквивалентна паре , если . Обозначается .

 

Пример:

 

Теорема: Отношение «» определенное таким образом, является отношением эквивалентности.

Доказательство: 1) Рефлексивность:

2) Симметричность: ?

3) Транзитивность:

⊠

 

Свойство:

Доказательство: ⊠

 

Следствие:

Доказательство: симметрия относительно «» ⊠

 

Определение: рациональными числами будем называть классы эквивалентности

 

Обозначения:

Множество

 

Пример: ,

,

 

Определение суммы рациональных чисел и его корректность. Аддитивная абелева группа рациональных чисел

 

Определение: Суммой рациональных чисел и называется рациональное число

 

Пример:

 

Теорема (корректность определения): Сумма рациональных чисел не зависит от выбора пар, которые определяют слагаемые.

Доказательство:

докажем:

 

⊠

 

Теорема (коммутативность сложения):

Доказательство:

 

Теорема (ассоциативность сложения):

Доказательство:

⊠

 

Теорема: Множество рациональных чисел имеет нейтральный элемент относительно сложения: : , где

Доказательство:

⊠

 

Теорема: Противоположным относительно сложения для элемента является число

Доказательство:

⊠

 

Следствие: абелева группа.

 

43. Определение произведения рациональных чисел и его корректность. Поле рациональных чисел

 

Определение: произведение рациональных чисел.

 

Теорема: определение произведения рациональных чисел корректно.

Доказательство:

докажем:

Перемножим равенства

⊠

 

Теорема: умножение рациональных чисел коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения.

Доказательство:

1) ?

Умножение целых чисел коммутативно

2)

3)

⊠

 

Утверждение: рациональное число является нейтральным элементом относительно умножения в множестве Q.

 

Утверждение: для любого рационального числа обратным является число

 

Следствие: поле

 

44. Отношение « » в поле рациональных чисел и его корректность. Плотность множества рациональных чисел. Свойство трихотомии. Отношение “ ” как отношение порядка в

 

Утверждение. Произвольное рациональное число является классом пары, где , .

Доказательство: ⊠

 

Поэтому дальше будем использовать пары только с положительным вторым элементом.

 

Определение: Пусть , . Будем говорить если .

 

Теорема (корректность определения): Определение корректно.

Доказательство: ,

докажем:

⊠

 

Теорема: могут находиться только в одном соотношении:

Доказательство:

Целые числа и могут находиться только в одном из трех соотношений: или или ⊠

 

Теорема: Отношение «» является отношением порядка на .

Доказательство:

· Рефлексивность

· Антисимметричность и

· Транзитивность: и

(1)

(2)

Докажем:

⊠

 

Свойство (плотность множества рациональных чисел):

Множество рациональных чисел плотно, т. е. между произвольными неравными рациональными числами a и b существует по крайней мере одно рациональное число.

Док-во:

Пусть находится между ними

⊠