Билет 9. Стандартное нормальное распределение. Стандартные интервалы. Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Нормальное распределение с М = 0 и σ = 1 называется стандартным. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами μ и σ, то случайная величина Х₀ = (Х - μ)/σ имеет стандартное нормальное распределение.

Для непрерывных случайных величин описывается законом Гаусса распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

 

Одной из важнейших задач, решаемых в рамках теории вероятностей и математической статистики, является определение интервала, в который случайная величина попадёт с некоторой заданной вероятностью. Такая вероятность называется доверительной, а интервал называется доверительным интервалом. Обычно в этих задачах рассматриваются только определённые, стандартные доверительные интервалы. Это позволяет избежать математических вычислений, взяв известные из таблиц доверительные вероятности для стандартных интервалов. Известны три стандартных интервала, основанные на величине среднего квадратического для данного нормального распределения.

1. М- σ <х< М+ σ (α = 68%)

2. М- 2σ <х< М+ 2σ (α = 95%)

3. М- 3σ <х< М+ 3σ (α = 99,7%)

 

 

Билет 10. Понятие генеральной совокупности и выборки. Объём выборки, репрезентативность. Статистическое распределение (вариационный ряд). Примеры. Характеристики выборки

Генеральная совокупность – большая статистическая совокупность, т.е. все возможные показатели.

Выборка – отобранная часть членов генеральной совокупности, выбираемая для совместного изучения.

Объём выборки – это число элементов, выделяемых из генеральной совокупности.

Чтобы выборка наиболее полно отражала состояние генеральной совокупности, она должна обладать репрезентативностью. Репрезентативность обеспечивается методом рандомизации.

Пример: по небольшому числу обследуемого населения можно сделать заключение о заболеваемости определёнными болезнями в данном городе.

Вариационный ряд – это статистическое распределение, состоящее из вариант и соответствующих им частот.

Характеристики выборки:

Среднее арифметическое:

Среднее квадратичное среднего арифметического выборки

где n – объём выборки. Величина среднего арифметического называется также точечной оценкой математического ожидания, а доверительный интервал – интервальной оценкой истинного значения измеряемой величины

 

Билет 11. Оценка параметров генеральной совокупности по характеристикам её выборки (точечная и интервальная). (Параметры генеральной совокупности и характеристики выборки.Формулы, пояснения).

 

Генеральная совокупность –большая статистическая совокупность.

Точечная оценка.

Из генеральной совокупности производятся разные выборки одинакового объёма, равнымn. Их выборочные средние x₁, x₂, x₃,..., x_i,... являются случайными величинами, распределёнными по нормальному закону, их математическое ожидание равно математическому ожиданию генеральной совокупности, т.е. генеральной средней:

При достаточно большой выборке за генеральную среднюю приближённо принимают выборочную среднюю, математическое ожидание дисперсий и среднее квадратическое отклонение различных выборок, составленных из генеральной совокупности, при больших объёмах выборок приближённо равно генеральной дисперсии и генеральному среднему квадратическому отклонению соответственно.

Интервальная оценка

Интервальной оценкой генеральной средней пользуются при небольшом объёме выборки.

В этом случае указывается интервал (доверительный интервал), в котором с определённой (доверительной) вероятностью p находится генеральная средняя. Доверительная вероятность определяет вероятность, с которой генеральная средняя попадает в интервал:

Где положительное число e (эпсилон) характеризует точность оценки.

Наиболее часто p принимает интервалы 0,95; 0,99; 0,999. Чем больше p, тем шире интервал, тем больше e.

Для выборок небольшого объёма в выражении доверительного интервала точность оценки определяется по формуле:

– коэффициент Стьюдента, – среднее квадратическое выборки

Соответственно, подставив данное выражение в неравенство

получаем общий вид интервала для генеральной средней в доверительной вероятности

 

 

 

Билет 12. Графические характеристики случайных величин. Гистограмма. Характеристики положения (мода, медиана, выборочная средняя). Примеры.

Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁; n₁), (x₂;n₂).

Гистограмма частот – совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии, основания прямоугольников одинаковы и равны a, а высоту равны отношению частоты к a.

 

 

Наиболее распространёнными характеристиками статистического распределения являются средние величины: мода, медиана и выборочная средняя.

 

Медиа́на — равна варианте, которая расположена в середине статистического распределения, делит статистический ряд на два равные части.

Мода – равна варианте, которой соответствует наибольшая частота.

Выборочная средняя – определяется как среднее арифметическое значение вариант статистического ряда.

 

Билет 13. Прямые и косвенные измерения. Погрешности измерений. Абсолютная и относительная погрешности измерений. Систематическая, приборная, грубая, случайная погрешности. Примеры.

При прямом измерении числовые значения искомой величины получаются непосредственным сравнением её с мерой (пример – измерение температуры тела медицинским термометром)

Косвенные измерения – это измерения, которые сводятся к нахождению искомой величины по известной зависимости между нею и непосредственно измеренными величинами (например, определение массы тела при взвешивании с учетом выталкивающей силы, определение вязкости жидкости по скорости падения в ней шарика)

Погрешность измерений - этоколичественная характеристика качества измерений.

x_i = x_i – X₀

Абсолютная погрешность измерения( x) – это разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины.

Качество измерений характеризуется относительной погрешностью, которая показывает процентную долю погрешности от истинного значения измеряемой величины

* 100%

В величины погрешностей измерений дают вклад несколько различных источников. Им соответствуют, так называемые, грубые, систематические, инструментальные (приборные) и случайные погрешности.

Грубые погрешности – резко изменяют результат измерения и возникают в результате промахов, допускаемых персоналом и неконтролируемых резких изменений в условиях измерений.

Систематические погрешности – имеют постоянные по величине и знаку значения, в ходе всей серии повторных измерений и возникают в результате дефектов измерительных приборов или нарушения методики измерений.

Приборные погрешности – являются характеристикой любого измерительного инструмента и не могу быть равны нулю

Случайные погрешности – являются следствием непредсказуемых статических процессов и объекте измерения, и измерительном приборе, а также случайныхизмерений в условиях проведения опыта. (например, показания электронного термометра, измеряющего температуру воздуха будут варьировать в результате конвекции, вариаций напряжения питания датчика температуры.)

 

Билет 14. Методы оценки приборной и случайной погрешностей. Коэффициент Стьюдента. Методы оценки косвенных измерений. Примеры.

Для оценки приборных и случайных погрешностей нужно предварительно исключить грубые и систематические погрешности. Случайные погрешности подчиняются нормальному распределению. Искомый результат оказывается в доверительном интервале

X₀ = x + S - когда a = 68% (a – доверительный интервал)

X₀ = x + 2S – когда a = 95%

X₀ = x + 3S – когда а = 99,7%

При малом объёме выборки (5,4,3 измерения) доверительные интервалы для результатов измерений определяют по формуле:

X₀ = x + t_aⁿS_x, где t_aⁿ – коэффициент Стьюдента для различных a – доверительных вероятностей, n – числа повторных измерений. S_x - среднее квадратическое среднего арифметического выборки.

Если учесть вклад инструментальной (приборной) погрешности, то общая погрешность будет равна квадратному корню из суммы квадратов случайной и приборной погрешностей.

(брать из методичкиМонича и Малиновской, с. 115 внизу)

Методы оценки косвенных измерений:

Погрешность косвенных измерений определяется как корень из суммы квадратов частных производных по прямо измеряемым величинам, помноженных на погрешности измеряемых величин.

(брать с. 117 методичкаМонича и Малиновской)

Пример – в ходе одной из лабораторных работ были определены погрешности косвенных измерений импеданса живой ткани на разных частотах.