Физико-математическая модель движения пузырька в вязкой жидкости с учетом присоединенной массы и силы Бассе

Интерес к данной проблеме связан также с экспериментальными и теоретическими трудностями моделирования движения двухфазной системы ввиду сложности регистрирования быстропротекающих процессов и малых значений динамических параметров, требующих использование чувствительных элементов, и корректного построения моделей с учетом нестационарных слагаемых в уравнении движения, соответственно. В данном разделе мы приведем физико-математическую модель движения пузырька в вязкой жидкости с учетом присоединенной массы и силы Бассе и аналитическое решение для скорости всплытия пузыря для двух случаев:

1. в случае присутствия в жидкости поверхностно–активных веществ (ПАВ) [30]

2. случай без ПАВ, когда необходимо использовать поправку Адамара–Рыбчинского в силе сопротивления

 

Физико-математическая модель движения пузырька в случае присутствия в жидкости поверхностно–активных веществ (ПАВ)

В отличие от известных работ, посвященных данной проблеме, обзор которых приведен во введении, мы исследуем режим движения пузырька при малых числах Рейнольдса (Re<1).

Математическая модель строится при следующих допущениях:

1. Число Рейнольдса Re<1

2. В жидкости имеются поверхносно–активные вещества (ПАВ), которые препятствуют движению жидкости на поверхности пузыря. Поэтому обтекание пузыря происходит также, как и обтекание твердого шарика.

Введем обозначения:

r – радиус пузыря; - плотность жидкости; - скорость пузыря; t – время; - коэффициент динамической вязкости; g – ускорение силы тяжести.

На пузырь действуют силы:

1. инерции (масса газа в пузыре мала по сравнению с присоединенной массой жидкости).

2. вязкого сопротивления - .

3. ускорение силы тяжести - сила Архимеда.

4. сила Бассэ [30].

 

Приравнивая эти силы, получаем уравнения движения пузыря (далее )

. (1)

Поделим это уравнение на присоединенную массу жидкости . Получаем

.

Введем характерное время и безразмерное время . Получим

, где g <0.

В дальнейшем будем предполагать, что при [30]. Фактически это означает, что при пузырек неподвижно закреплен. При этом предположении уравнения движения принимают вид:

. (2)

Так как при , второе слагаемое в левой части можно представить в виде и записать уравнение в форме

.

Для ускорения пузыря введем обозначение и получим уравнение

. (3)

Последнее уравнение решено операционным методом И.М. Васениным [29]. Полагаем . При переходе к изображениям воспользуемся теоремой об интегрировании оригинала, согласно которой и теоремой умножения Бореля

.

(См. [30]).

В результате перехода к изображениям из (3) получим

.

Отсюда выражаем

.

С целью нахождения оригинала представим эту формулу в виде

, где . (4)

Согласно [30] оригинал равен

, (5)

где .

В нашем случае и оригинал можно вычислить по второй теореме разложения, согласно которой , где вычеты берутся по особым точкам функции [30].

Полагая находим особые точки и . Каждая из этих точек представляет собой полюс первого порядка, а функция является дробно-рациональной функцией вида .

Для таких функций [30].

Используя эту формулу, находим

,

.

Подставляя сумму вычетов в формулу (5) получим

(6)

Преобразуем каждый из двух интегралов, входящих в (6)

Аналогично найдем

.

Таким образом,

(7)

Интегрируя по с начальными условиями получим

(8)

Интегралы вычисляем по частям

Аналогично

Подставляя интеграл в (8) после приведения подобных найдем

Проверка:

При , и поэтому при

, , соответственно,

. Последний результат есть решение уравнения (8) при , что соответствует выходу на стационарную скорость подъема пузырька.