Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-10-16 | 647 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для любых множеств A, B, C справедливы следующие тождества:
1. Коммутативность.
а) A È B = B È A (для объединения); б) A Ç B = B Ç A (для пересечения).
2. Ассоциативность.
а) A È (B È C) = (A È C) È C (для объединения);
б) A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C (для пересечения).
3. Дистрибутивность.
а) A È (B Ç C) = (A È B)Ç(A È C) (для объединения относительно пересечения);
б) A Ç(B È C) = (A Ç B)È(A Ç C) (для пересечения относительно объединения).
4. Закон де Моргана.
а) = Ç (дополнение к объединению есть пересечение дополнений);
б) = È (дополнение к пересечению есть объединение дополнений).
5. Идемпотентность.
а) A È A = A (для объединения);
б) A Ç A = A (для пересечения).
6. Поглощение.
а) A È (A Ç B) = A;
б) A Ç (A È B) = A.
7. Расщепление (склеивание).
а) (A È B) Ç (A È ) = A;
б) (A Ç B) È (A Ç ) = A.
8. Двойное дополнение. = A.
9. Закон исключенного третьего. A È = U.
10. Операции с пустым и универсальным множествами.
а) A È U = U; | г) A Ç Æ = Æ; |
б) A È Æ = A; | д) = U; |
в) A Ç U = A; | е) = Æ |
11. А \ В = A Ç .
Основные тождества алгебры множеств можно использовать для доказательства других тождеств.
Пример 1.22. Доказать тождество (A È B) \ В = A Ç .
Преобразуем левую часть тождества, используя тождество 11:
(A È B) \ В = (A È B) Ç .
Затем используем закон дистрибутивности (тождество 3б):
(A È B) Ç = A Ç È B Ç .
Используем закон исключенного третьего (тождество 9): B Ç = Æ.
Получим: A Ç È B Ç = A Ç È Æ.
Используем свойство пустого множества (тождество 10б): A Ç È Æ = A Ç .
Тождество доказано.
Доказательство тождеств можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна.
|
Пример 1.23. Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В)È (A Ç C).
Множества, стоящие в левой и правой частях тождества, изобразим с помощью диаграмм Эйлера – Венна (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Рис. 1.3 б) и рис. 1.3 д) иллюстрируют равенство множеств A \ (В \ C) и (A \ В)È(A Ç C).
Примеры тестовых заданий
ЗАДАНИЕ N 1.1 (- выберите один вариант ответа)
Операцией над множествами А и В, результат которой выделен на рисунке,
является…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) | 2) | |||
3) | 4) |
Решение следует из определения пересечения множеств и рис. 1.1 в) Верный ответ: 4)
ЗАДАНИЕ N 1.2 (- выберите один вариант ответа)
Число 2,5 принадлежит множеству…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) | 2) | |||
3) | 4) |
Решение. 2,5ÏZ, 2,5ÏN; 2,5ÎQ, но 2,5>2, поэтому 2,5ÏD. 2,5ÎR, неравенство
-3<2,5<2,6 выполняется, поэтому 2,5ÎС. Верный ответ: 2)
ЗАДАНИЕ N 1.3 (- выберите один вариант ответа)
А и В – множества действительных чисел: , .
Тогда множество равно
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) | 2) | 3) | 4) |
Решение. Изобразим множества А и В на числовой прямой:
Рис. 1.3
Из определения объединения множеств , рис. 1.1 б) и рис. 1.3 следует, что = (-4; 3). Верный ответ 1).
ЗАДАНИЕ N 1.4 (- выберите один вариант ответа)
Даны множества A ={ b, y } и B ={1,2,3}. Тогда декартовым (прямым) произведением является …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) | {(b, y,1),(b, y,2),(b, y,3)} | 2) | { b, y,1,2,3} | |
3) | {(1, b),(1, y),(2, b),(2, y),(3, b),(3, y)} | 4) | {(b,1),(b,2),(b,3),(y,1),(y,2),(y,3)} |
Решение. Из определения декартова произведения двух множеств следует, что оно содержит упорядоченные пары из двух элементов (варианты ответов 1, 2 – неверны), порядок следования элементов тот же, что у множеств в произведении, поэтому верный ответ 4).
ЗАДАНИЕ N 1.5 (- выберите несколько вариантов ответа)
Элементами множества натуральных чисел являются …
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) | 2) | 3) | - 5 | 4) | 5) |
Решение. Натуральные числа это целые положительные числа, т.е. 3 и 101. Верный ответ: 4), 5).
|
ЗАДАНИЕ N 1.6 (- выберите несколько вариантов ответа)
Даны два множества , . Из предложенных высказываний верными являются…
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) | 2) | 3) | 4) |
Решение. Очевидно, что XÌY; XÇY={2,4,6}=X; Y\X={0, 8}¹Y; YÈX={0,2,4,6,8}=Y¹X. Верный ответ: 1), 2).
Отображения. Отношения
Отображение множеств
Если каждому элементу хÎХ поставлен в соответствие один и только один элемент yÎY, то говорят, что определено отображение f множества X во множество Y. Обозначают y=f(x). Элемент у есть образ элемента х при данном отображении f, х - прообраз элемента у.
Отображение f -1, при котором каждому элементу множества Y ставится его прообраз из множества Х, называется обратным отображением для f.
Частным случаем отображения множества X во множество Y является отображение множества X на множество Y.
Отображение f множества X в Y называется сюръективным (отображением множества X на Y), если каждый элемент yÎY имеет хотя бы один прообраз.
Отображение X в Y называется инъективным, если для каждого элемента yÎY существует не более одного прообраза.
Если отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимно-однозначным).
Пример 2.1. Пусть Х={а, b, с, d}, Y={2, 4, 6}, Z={m, n, k, q}. Зададим отображения
f1: Х ® Y; f2: Х ® Y; f3: Y ® Z; f4: X ® Z:
f1: | a ® 2 | f2: | a ® 6 | f3: | 2 ® n | f4: | a ® m |
b ® 4 | b ® 4 | 4 ® q | b ® q | ||||
c ® 4 | c ® 4 | 6 ® k | c ® k | ||||
d ® 6 | d ® 6 | d ® n |
Отображение f1 X в Y является сюръективным, но не является инъективным (элемент "4" имеет два прообраза). Отображение f2 несюръективно (элемент "2" не имеет прообраза) и неинъективно. Отображение f3 является инъективным, но несюръективно (элемент " m" не имеет прообраза) и неинъективно. Отображение f4 сюръективно и инъективно, т.е. является биективным.
Обратными для рассматриваемых отображений являются:
f1-1: | 2® a | f2-1: | 2 ® Æ | f3-1: | m ® Æ | f4-1: | m ® a |
4 ® {b, c} | 4 ®{b, c} | n ® 2 | n ® d | ||||
6® d | 6® {a, d} | k ® 6 | k ® c | ||||
q ® 4 | q ® b |
Очевидно, биективное отображение между конечными множествами X и Y возможно только в случае, когда число элементов этих множеств совпадает.
Пример 2.2. Биективным отображением для бесконечных множеств может является, например, отображение f, установленное между множеством натурального ряда чисел А={1, 2, 3,... n,...} и множеством четных положительных чисел В={2, 4, 6,...} по типу n «2n.
|
Пусть f: X ® Y и g: Y ® Z - некоторые отображения. Суперпозицией этихотображений называется отображение f g: X ® Z, определяемое следующим образом: (f g)(x)=g(f(x)), xÎ X.
Заметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!