С турбулентным поведением, которые связаны через диссипативную связь. Как представитель

Например, мы рассматриваем два связанных уравнения Курамото – Сивашинского.

∂ u 1

∂ t +

∂ 2 u 1

∂ х 2 +

∂ 4 u 1

∂ х 4 + и 1

∂ u 1

∂ x = ε (u 2 - u 1),

∂ u 2

∂ t +

∂ 2 u 2

∂ х 2 +

∂ 4 u 2

∂ х 4 + и 2

∂ u 2

∂ x = ε (u 1 - u 2).

(14.16)

Стр. Решебника 355

Пространственно распределенные системы

333

Известно, что уравнение Курамото – Сивашинского демонстрирует пространственно-временной хаос, если

пространственный домен достаточно велик (см., например, [Hyman et al. 1986; Bohr et al. 1998]). В

диссипативная связь пропорциональна ε истремитсясделатьсостояниядвухпространственных

Временные системы равны на всех участках и в любое время. Фактически, эту модель можно рассматривать

Аналогично системе связанных обыкновенных дифференциальных уравнений (14.10) и

(14.11): порог синхронизации определяется наибольшим показателем Ляпунова

пространственно-временного хаоса:

2 ε c = λ макс.

Проиллюстрируем синхронизацию в связанных уравнениях Курамото – Сивашинского в

Рис. 14.3.

Интересное явление наблюдается вблизи перехода к полному синхроимпульсу.

Низация. Как показано в главе 13, такой переход в нераспределенной системе является допустимым.

Сопровождается сильной модуляционной перемежаемостью из-за флуктуаций локального роста

U 1

0

50

100 150

0

100

200

300

400

Космос

Время

U 2

0

50

100 150

Космос

| u 2 - u 1 |

0

50

100 150

Космос

Рисунок 14.3. Синхронизирующий переход в паре Курамото – Сивашинский

уравнения (14.16). Временная эволюция полей u 1,2 и | u 1 - u 2 | представлен

с помощью полутонового кодирования. В интервале времени 0 < t <200 связь равна нулю,

ε = 0, иполянезависимы. Вмоментвремени t = 200 связь с

ε = 0.1> ε c включается, что приводит к синхронному пространственно-временному хаосу,

u 1 (x, t) = u 2 (x, t).

Стр. Решебника 356

334

Полная синхронизация II

тарифы. В распределенной системе (например, связанных уравнений Курамото – Сивашинского)

Скорость роста колеблется как в пространстве, так и во времени. Таким образом, наблюдается прерывистая картина,

всплески появляются, блуждают и исчезают довольно нерегулярно [Куртс и

Пиковский 1995].

Трансверсально синхронизированный хаос пространства-времени естественно возникает не только в искусстве.

Официально построенные модели типа (14.16), но в двух- и трехмерном (в пространстве)

Уравнения в частных производных. Что необходимо, так это асимметрия диффузионной операции.

Атор по пространственным координатам. Рассмотрим, например, систему реакция – диффузия

(14.14) в двумерной прямоугольной области 0 < x < L x, 0 < y < L y, где

Диффузия описывается оператором

D x

∂

∂ x 2 + D y

∂

∂ y 2

.

Собственные моды u ∝ cos (π n x x / L x) cos (π n y y / L y) имеют собственные значения

σ = π 2 (D x n 2

х L − 2

х + Д у п 2

у L − 2

У),

n x, y = 0, 1, 2,....

Предположим теперь, что D x L − 2

Икс

≪ D y L − 2

y, например, размер в x- направлении L x намного больше

Больше, чем в y -направлении L y. Тогда однородное состояние может быть неустойчивым.

Относительно многих мод, зависящих от x, но пространственная однородность по y сохраняется.

Таким образом, мы можем получить пространственно-временной хаос по координате x, но полный

Синхронизация по оси y.

Проиллюстрируем это на примере двумерного анизотропного комплекса Гинзбурга – Ландау

Уравнение (ср. (11.15))

∂ а (х, у, t)

∂ т

= а - (1 + ic 3) | а | 2 а + (1 + ic 1)

∂ 2 а

∂ х 2 + д 1

∂ 2 а

∂ y 2

.

(14.17)

Здесь чисто диффузионная связь в y -направлении может предотвратить поперечную нестабильность.

и наблюдаемое поле однородно по y (рис. 14.4б). Если поперечный диффузор

Постоянная d 1 мала, наблюдается двумерное турбулентное поле (рис. 14.4а).

Синхронизация связанных клеточных автоматов

Клеточные автоматы (см. [Gutowitz 1990] и ссылки в ней) демонстрируют более слабую

Хаотические свойства, чем решетки связанных карт. Ведь в клеточных автоматах не только

Дискретны во времени и пространстве, но само поле имеет только дискретные значения (обычно

Рассматриваются автоматы с двумя состояниями «0» и «1»). Тем не менее, некоторые сотовые

Автоматы могут демонстрировать нерегулярное поведение (это возможно только в бесконечных решетках).

Диссипативная связь клеточных автоматов не так тривиальна, как для дискретных отображений, поскольку

состояния между «0» и «1» не существуют. Таким образом, используется статистическая связь:

Состояния в некоторых пространственных узлах (выбранных с вероятностью p) становятся полностью идентичными,

В то время как состояния других сайтов остаются другими. Вероятность p играет роль

константа связи: для p = 1 синхронизация идеальна после одного временного шага; для

Стр. Решебника 357

Синхронизация как общее симметричное состояние

335

p = 0 нет синхронизации. Полная синхронизация происходит, если муфта