И поперечный показатель (иногда также называемый условным показателем или

субляпуновский) λ ⊥ задается формулой

λ ⊥ = 〈 f ′ z 〉.

Если этот показатель отрицательный, синхронное состояние z = z ′ линейно устойчиво. Обратите внимание, что

Поперечный показатель Ляпунова является одним из показателей Ляпунова симметричной

рического режима в полной четырехмерной системе (x, y, z, z ′) (поскольку симметрия

Нарушающее возмущение v не зависит от других возмущений), но не имеет

Связанных с показателями Ляпунова исходной трехмерной системы

(x, y, z) (для исходной системы любое возмущение z зависит от возмущений в

Х и у).

Идея синхронизации реплик легко обобщается для M -

размерная хаотическая система с воспроизводимым n < M уравнениями. Один говорит, что

Реплицированные переменные составляют ведомую или ведомую подсистему, а не реплицируемые

Переменные составляют ведущую или главную подсистему. Обратите внимание, что для реплики синхронно

Nization отсутствует параметр, описывающий муфту: можно сказать, что муфта

Всегда сильный, хотя и частичный - связаны только m переменных. Таким образом, можно только

Проверьте наличие данной хаотической системы и данных реплицированных переменных, если полная синхронизация

Возможна хронизация. В некотором смысле синхронизация реплик представляет собой свойство

Хаотических систем, обладающих некоторыми устойчивыми направлениями в фазовом пространстве; иногда это

Стабильность связана с конкретными переменными и группами переменных.

В качестве примера на рис. 14.5 показана синхронизация реплик для модели Лоренца.

(10.4). Здесь повторяются переменные y и z. Видно, что различия

| y ′ - y | и | z ′ - z | уменьшаются во времени, так что в конечном итоге симметричное хаотическое состояние

устанавливает в полной пятимерной системе. Пекора и Кэрролл [1990] обнаружили, что

При использовании координаты z в качестве драйвера один из поперечных показателей Ляпунова

Положительный, и синхронизация не происходит.

14,5

Библиографические примечания

Общее сцепление хаотических систем рассматривалось в [de Sousa Vieira et al.

1992; Heagy et al. 1994b; Gade 1996; Гуэмес и Матиас 1996; Лоренцо и др. 1996;

Стр. 360

338

Полная синхронизация II

Пекора и Кэрролл 1998; Фемат и Солис-Пералес 1999; Pasemann 1999]. Особый

случай глобальной связи изучался в [Kaneko 1990, 1991, 1997, 1998; Crisanti

и другие. 1996; Hasler et al. 1998; Занетт и Михайлов 1998a, b; Balmforth et al. 1999;

Glendinning 1999; Mendes 1999; Майстренко и др. 2000]. Эксперименты по всему миру

Связанных массивов хаотических электрохимических осцилляторов были выполнены Wang et al.

[2000a]. Гаде [1996] и Манрубия и Михайлов [1999] считали случайным

Нанесение хаотичных элементов.

Дольник и Эпштейн [1996] рассмотрели синхронизацию двух связанных хаотических

Химические осцилляторы. Эффекты полной синхронизации в распределенных системах

рассмотрены в [Пиковский 1984а; Ямада и Фудзисака 1984]. Частичная синхронизация

Хронизация в решетке лазеров теоретически и экспериментально исследована Терри.

и другие. [1999], см. Также [Vieira 1999].

Синхронизация пары пространственно-временных хаотических систем обсуждалась в

[Пиковский и Куртс 1994; Куртс и Пиковский 1995; Parekh et al. 1996; Зауэр

и Kaiser 1996; Hu et al. 1997; Кокарев и др. 1997; Цзян и Пармананда 1998;

Boccaletti et al. 1999; Grassberger 1999]. Синхронизация клеточных автоматов была

рассмотрено в [Morelli and Zanette 1998; Urias et al. 1998; Bagnoli et al. 1999;

Баньоли и Рехтман 1999; Grassberger 1999].

Синхронизация реплик обсуждалась в [Pecora and Carroll 1990, 1998; Кэрролл

И Pecora 1993a, b, 1998; Гупте и Амриткар 1993; Хиги и Кэрролл 1994; Трессер

И другие. 1995; Carroll 1996; Кэрролл и др. 1996; Гонсалес-Миранда 1996a, b; Коннур

Balmforth et al. 1997; Boccaletti et al. 1997; де Соуза Виейра и Лихтенберг

Duane 1997; Гуэмес и др. 1997; Kim 1997; Pecora et al. 1997b, c; Цзунхуа и

Шиганг 1997а, б; Кэрролл и Джонсон 1998; Джонсон и др. 1998; Он и Вайдья 1999;

Майнери и Рехачек 1999; Мацумото и Ниси 1999; Morgül 1999; Voss 2000].

0

1

2

3

Время

10 –4

10 -2

10 0

10 2

| y ′ – y |, | z ′ – z |

–50

0

50

100

У, г

а)

(б)

Рисунок 14.5. Реплика

Синхронизация в

Модель Лоренца. (а) Эволюция

переменных z и z ′

(верхняя кривая) и y и y ′

(нижняя кривая); воспроизведенный

Переменные показаны с

пунктирные линии. (б) Различия

| y - y ′ | (сплошная линия) и

| z - z ′ | (пунктир)

Экспоненциально уменьшаться в

Время.

Стр. Решебника 361

Библиографические примечания

339

Асимптотическая устойчивость синхронизации реплик изучалась в [Rong He and Vaidya

1992] с помощью функций Ляпунова. Экспериментальное наблюдение этого эффекта в

о лазерах сообщили Sugawara et al. [1994]. Некоторые аспекты синхронизации реплик

оказался полезным для построения схем связи [Куомо и Оппенгейм

1993; Куомо и др. 1993а, б; Гонсалес-Миранда 1999; Morgül and Feki 1999].

Стр. Решебника 362

Глава 15