Может наблюдаться при достаточно большом N .

Это огромное влияние граничных условий на динамику решетки имеет

Четкое физическое объяснение. В односторонне связанной решетке локально неоднородный

Возмущение затухает на каждом сайте; однако он не исчезает, а распространяется на

Соседний участок. В случае граничного условия (14.5) он со временем исчезает при

Последний сайт, в то время как для системы (14.6) он возвращается на первый сайт. На языке

Неустойчивости в распределенных динамических системах это соответствует конвективной неустойчивости,

Т.е. возмущение исчезает в том месте, где оно было наложено, но распространяется и

Растет вниз по течению. Другой случай, когда возмущение нарастает в том же месте

там, где она была наложена, называется абсолютной неустойчивостью (см., например, [Лифшиц, Питаевский

1981]).

Асимметричная местная связь

Случай асимметричной локальной связи объединяет черты диффузионной связи (13.3)

и односторонняя муфта (14.5):

L =















1 - γ

γ

0

0

...

0

ε

1 - ε - γ

γ

0

...

0

0

ε

1 - ε - γ

γ

...

0

...

0

0

0

Е

1 - ε















.

(14,7)

В этой модели, называемой решеткой связанных отображений, хаотические подсистемы образуют одноуровневую систему.

Размерная решетка со связью ближайших соседей. В термодинамическом пределе (

Число взаимодействующих отображений стремится к бесконечности) спектр собственных значений имеет вид

σ (К) = 1 - ε - γ + 2

√εγ cos K,

− π <K < π.

При ε = γ этотспектримеетщельпри K = 0:

Стр. Решебника 350

328

Полная синхронизация II

σ (K → 0) = 1 - (

√ε

-

√γ) 2 <1.

Этот зазор обеспечивает возможность полной синхронизации в решетке в одном и том же

Способ как для односторонней муфты, описанной выше. Для чисто симметричного диффузионного

связи ε = γ, щельисчезает: длиннаядиффузно - связаннаярешеткахаотической

Элементы не могут быть синхронизированы, потому что длинноволновые моды с малым K становятся

Нестабильный.

Глобальная связь (среднее поле)

В глобальной связи каждый элемент взаимодействует со всеми остальными, а взаимодействие между

Два элемента не зависит от «расстояния» между ними (см. раздел 4.3,

Главу 12 и рис. 4.24). В типичной ситуации рассматривается N одинаковых хаотических

Отображения (13.1), взаимодействующие друг с другом посредством диссипативной связи типа (13.3).

Поскольку количество взаимодействий для одного элемента равно N - 1, удобно нормировать

Константа связи с N. В результате получаются уравнения

х k (t + 1) = (1 - ε) f (x k (t)) +

ε

N

N

∑

j = 1

F (x j (t)),

к = 1,..., N. (14,8)

Систему (14.8) часто называют системой глобально связанных отображений или системой

Со средним полевым взаимодействием, потому что последний член справа является средним по всем

Элементы ансамбля.

Матрица взаимодействия L может быть представлен в виде

L = (1 - ε) Я +

ε

Н J,

Где я это единичная матрица, и все элементы матрицы J равны единице. Com-

Полная синхронизация - это режим, когда все состояния равны x 1 = x 2 = ··· = x N и

Подчиняются отображению (13.1), это, очевидно, решение системы (14.8). Собственные значения

Оператора муфты L может быть непосредственно вычислено: одно собственное значение равно 1

а все остальные N − 1 собственныхзначенийравны 1 − ε. Такимобразом, рас смотрение устойчивости приводит к

Условие синхронизации

λ + ln | 1 - ε | <0,

где λ - показательЛяпуновалокальногоотображения. Какивсережимывозмущения

Обладают такими же свойствами устойчивости (второе собственное значение матрицы связи равно

(N − 1) раз вырождены), согласно линейной теории, все моды растут, а состояния

Всех карт становятся разными. Однако численное моделирование модели (14.8)

показать гораздо более упорядоченную картинку. После некоторых переходных процессов наблюдается кластеризация:

Большие группы систем, имеющих одно и то же состояние. Проиллюстрируем этот эффект на

Рис. 14.2. Количество кластеров и распределение хаотических систем между ними.

Сильно зависит от начальных условий. При больших N наблюдаются ситуации как с

Несколько кластеров, и те, где число кластеров порядка N.

Стр. Решебника 351

Системы непрерывного времени

329

Кластеризацию можно рассматривать как слабую синхронизацию, где связь сильная.

Достаточно привести некоторые системы в такое же состояние, но полная синхронизация

Все системы тем не менее нестабильны. Отметим, что, как и в случае двух связанных

Карты (см. обсуждение в разделе 13.4), кластерные аттракторы могут иметь пронизанный бассейн

Границ, и поэтому очень чувствительны к небольшому шуму. Более того, формирование

Кластеры могут быть вызваны конечной численной точностью вычислений (аналогично