Поле u ( x , y , t ) может быть y- независимым, демонстрируя одномерное пространство -

Хаос времени в х. Мы обсуждаем эти два аспекта полной синхронизации пространства -

Хаос времени внизу.

Пространственно однородный хаос

Один из способов построения модели пространственно-временного хаоса - это построение пространственно-временного хаоса.

Распределенная система как массив или непрерывный набор отдельных хаотических элементов. Такой

Систему можно рассматривать как прямое продолжение решетки связанных периодических

Осцилляторы (см. уравнение (11.14)). Помимо решеток связанных отображений, описываемых формулой (14.7),

В этом контексте популярны две модели. Один из них представляет собой дискретную решетку связанных хаотических

Генераторы. Аналогично системе двух осцилляторов (уравнения (14.10) и (14.11))

Модель можно записать как

Д х к

dt = f (x k) + ∑

{ j }

ε (x j - x k),

Где суммирование в члене связи ведется по соседям элемента k. В

случай непрерывного в пространстве поля u (r, t) = (u 1,..., u M), модель

Уравнения реакции-диффузии часто используются как обобщение уравнений. (14,9)

∂ u k

∂ t = f k (u) + D k ∇ 2 u k,

к = 1,..., M.

(14.14)

Эта система естественным образом появляется при описании химической турбулентности [Kuramoto 1984;

Kapral and Showalter 1995], где переменные u k описывают концентрации различных

Химические реактивы; они развиваются во времени из-за химических реакций и в космосе из-за

К распространению.

Синхронным решением этой системы является пространственно однородный хаотический (в

Время) состояние U (t) регулируется уравнениями. (14.9). Он существует, если граничные условия допускают

такое решение, например, они не имеют потока ∇ u k | B = 0 (эти граничные условия

Естественный для химических систем). В химической интерпретации синхронный режим

Стр. Решебника 354

332

Полная синхронизация II

Означает однородное распределение реагентов в пространстве. Для распределенной системы

Существует много поперечных мод, и условие устойчивости можно сформулировать как

Условие отрицательности всех поперечных показателей Ляпунова. Для системы (14.14)

Эти моды являются собственными модами оператора Лапласа с соответствующей границей

Условия. Пусть v

(l)

k

(r) - собственная функция лапласиана с собственным значением σ:

D k ∇ 2 v

(l)

k = −σ (l) v

(l)

k

.

Тогда для устойчивости возмущения v (l) получим линейную систему

D v

(l)

k

dt = J kj v

(l)

j - σ v

(l)

k

,

(14.15)

Что эквивалентно (14.12). Таким образом, для каждой пространственно неоднородной моды

Линеаризованные уравнения (14.15) дают спектр поперечных показателей Ляпунова, а

Для устойчивости пространственно однородного хаоса все они должны быть отрицательными. Как

Связь в (14.14) симметричная (чисто диффузионная), эффекты конвективной неустойчивости отсутствуют,

Как описано в Разделе 14.1.1, может произойти. Для области характеристической длины L, то

второе собственное значение имеет порядок L − 2. Следовательно, в термодинамическом пределе L →∞

Спектр оператора диффузии не имеет щели (длинноволновые возмущения затухают медленно).

Полная синхронизация в этом пределе невозможна: только для относительно небольших систем.

Могут ли все поперечные показатели Ляпунова быть отрицательными. Физически это означает, что в

В большой системе всегда присутствуют длинноволновые моды, у которых показатели Ляпунова близки

К наибольшему показателю хаотического пространственно однородного решения, и эти моды

Поэтому нестабильны.

Здесь уместно сделать одно замечание. Выше мы всегда предполагали пространственно-временной хаос.

быть «нормальным», т. е. с положительными показателями Ляпунова. Есть несколько примеров

Об «аномальном» пространственно-временном хаосе с отрицательными показателями Ляпунова см.

[Кратчфилд и Канеко 1988; Politi et al. 1993; Bonaccini and Politi 1997]. Этот

«Стабильный» хаос возникает из-за нестабильного возмущения конечного размера, которое не может быть устранено.

записано линеаризацией [Torcini et al. 1995]. Здесь все наши аргументы, основанные на

Линейный анализ устойчивости не применяется.

Поперечная синхронизация пространственно-временного хаоса

Пространственно-временной хаос может быть неоднородным в некоторых пространственных направлениях, но быть синхронным.

хронизируется в других. Самый простой пример - две распределенные системы