Числовая ловушка для двух взаимодействующих систем, см. раздел 13.3): если состояния двух

Системы совпадают в компьютерном представлении в какой-то момент, все будущие итерации будут

Также быть идентичными, даже если синхронизированное состояние нестабильно.

14,2

Системы непрерывного времени

Рассмотрение полной синхронизации в хаотических системах с непрерывным временем может быть

Выполняется так же, как и для дискретных отображений. Самая простая модель - линейная

Взаимодействие двух одинаковых хаотических систем. Каждая M -мерная хаотическая система является

Описывается набором нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Dx k

dt = f k (x 1,..., x M, t),

к = 1,..., M.

(14,9)

Эти уравнения могут быть неавтономными, что означает, что вынужденные системы также

Включены в рассмотрение.

0

200

400

600

800

0,0

0,5

1.0

Время

Икс

k

Рисунок 14.2. Эволюция ансамбля из 1000 глобально связанных логистических карт

x → 4 x (1 - x) с константой связи ε = 0,28. Итерацииначинаютсяс

Случайные начальные условия, равномерно распределенные в интервале (0,1, 0,9). Ценности

из х к показаны с полосами в каждом 50 - й итерации. После ≈ 750 итерацийсистема

Переходит в двухкластерное состояние.

Стр. Решебника 352

330

Полная синхронизация II

Естественный способ ввести диссипативную связь в пару идентичных систем 1 - это

Добавляя линейные симметричные члены связи к правой стороне (см. обсуждение диссипативной

Соединение в разделе 8.2)

Dx k

dt = f k (x 1,..., x M, t) + ε k (y k - x k),

(14.10)

Dy k

dt = f k (y 1,..., y M, t) + ε k (x k - y k).

(14.11)

При такой связи система имеет синхронное хаотическое решение x k (t) =

y k (t) = U k (t), и можно непосредственно изучить его устойчивость.

Для отклонений v k = y k (t) - x k (t) получаем линеаризованную систему

D v k

dt = J kj v j - 2 ε k v k,

(14.12)

где J kj = ∂ f k (U (t)) / ∂ x j - матрица Якоби частных производных. Асимптот

Фактически, при больших t решения этой линейной системы растут экспоненциально. Система

(14.12) M -мерно; следовательно, имеется M поперечных показателей Ляпунова (sim-

Аналогично существованию M обычных показателей Ляпунова в M -мерной некорректной

Системы (14.9)), причем наибольшая из них определяет устойчивость неоднородной

возмущения. Поскольку правая часть (14.12) зависит от констант связи ε k,

наибольший поперечный показатель Ляпунова λ ⊥ является функцией этих констант, а величина

Условие

λ ⊥ (ε k) <0

Определяет область синхронизации. Самый простой случай - когда все константы связи

имеют одинаковое значение ε 1 = ··· = ε M = ε. Тогдаспомощьюанзаца v k = e − 2 ε t ˜v k мы можем

Свести (14.12) к уравнениям

d ˜v k

dt = J kj ˜v j,

(14.13)

Описание линейных возмущений одиночной хаотической системы; их решения растут вместе с

наибольший показатель Ляпунова λ max. Условие устойчивости теперь имеет простой вид

2 ε > λ макс.

Другой тип синхронизации для систем с непрерывным временем - фазовая синхронизация.

Nization, обсуждалось в главе 10. Полная синхронизация более общая

В том смысле, что это может произойти в любой хаотической системе независимо от того, можно ли

Ввести фазы и частоты; это также можно наблюдать в автономных системах

Как в ведомых, так и в системах с дискретными картами времени. Однако полная синхронизация

Низация наступает только для больших муфт и только для идентичных систем, тогда как фаза

Синхронизация может наблюдаться для небольших муфт и для разных систем.

Идентичность означает также, что правые части имеют одинаковую явную зависимость от времени, т. Е.

Приводы обеих систем идентичны.

Стр. Решебника 353

Пространственно распределенные системы

331

14,3

Пространственно распределенные системы

Хаотическое движение в пространственно протяженных динамических системах часто называют пространственно–

Временной хаос с угасающими корреляциями как в пространстве, так и во времени. Популярные модели

Пространственно-временной хаос включает связанные решетки отображений, уравнения в частных производных и

решетки осцилляторов с непрерывным временем. Мы ссылаемся на книги [Канеко 1993; Bohr et al.

1998] и обзорные статьи [Chaté and Manneville 1992; Кросс и Хоэнберг 1993]

Для подробностей.

Понятие полной синхронизации применительно к пространственно-временному хаосу используется

В двух смыслах. Один из возможных типов синхронизации - идентичность хаотических движений.

На всех сайтах. В этом случае наблюдается пространственно однородный хаотический (по времени) режим

В распределенной системе. Другая возможность состоит в том, что динамика хаотична как в

пространство и время, но обладают некоторой симметрией. Например, в двух пространственных измерениях