Существует степенное распределение, соответствует слабо синхронизированному и слабо

Описанные выше десинхронизированные стадии.

Наименее тривиальным режимом является стадия слабой синхронизации, когда синхронизируется

Хроническое симметричное состояние в среднем устойчиво, но некоторые периодические орбиты являются поперечными.

Вылазка нестабильная. Отметим, что даже из-за существования единственного трансверсально неустойчивого стержня

риодической орбите следует, что трансверсально неустойчивые траектории можно найти везде:

Действительно, каждая периодическая орбита имеет плотное множество точек, которые сходятся к ней, траектория

Начиная с одной из этих точек, в конечном итоге будет следовать по периодической орбите и будет

Трансверсально неустойчивый. Итак, мы имеем кажущуюся парадоксальную ситуацию: аттрактор имеет

плотное множество непритягивающих траекторий. Это пример довольно тонкого

становятся важными различия между математическими определениями аттрактора. Таким образом, мы

напомните читателю здесь два популярных определения аттрактора динамической системы.

Топологическое определение

Здесь аттрактор определяется (см., Например, Каток, Хассельблатт [1995]) как компакт

A, имеющая такую ​​ окрестность U, что ⋂ n > 0 f n (U) = A и f k (U) ∈ U длянекоторого

k > 0. Это определение означает, что существует открытая окрестность, из которой все

Очки притягиваются к А.

Вероятностное (Милнора) определение

Милнор [1985] определил аттрактор как замкнутое множество, для которого область притяжения

ρ (A) имеетстрогоположительнуюмеру, инесуществуетстрогоменьшегомножества A ′ ∈ A, длякоторого

область притяжения совпадает с ρ (A) сточностьюдомножествамерыЛебегануль.

Разница между этими определениями очевидна: в определении Милнора допускается:

Способен по некоторым точкам уйти от аттрактора; это запрещено в топологической

Определение. Из вышеизложенного следует, что сильно синхронное состояние

Для больших связей является топологическим аттрактором, а слабосинхронный режим

Соответствует аттрактору в смысле Милнора, а не топологическому аттрактору.

Топологический аттрактор при ε c < ε < ε c, max больше, чем аттрактор Милнора - он во-

Включает траектории, отходящие от трансверсально неустойчивых орбит, и их неустойчивые

Коллекторы. Как мы видели в разделе 13.3, в состоянии слабой синхронизации

Плотность вероятности может иметь степенной хвост, если присутствует нижняя граница

Из-за небольшой неоднородности или шума. Геометрически это можно интерпретировать как

Расширение аттрактора Милнора до топологического аттрактора из-за небольшого шума или / и

Неоднородность.

Стр. Решебника 344

322

Полная синхронизация I

Локальные и глобальные загадки

Мы обсудили случай сверхкритической поперечной неустойчивости периодических орбит в

симметричный аттрактор, как показано на рис. 13.6. В этом случае новые трансверсально устойчивые

периодические точки появляются в окрестности симметричного состояния x = y. Соответственно,

Топологический аттрактор, который можно рассматривать как «оболочку» этих новых

рождаются асимметричные периодические орбиты. Аттрактор Милнора x = y притягивает почти

Все точки из его окрестности, но есть исключительные поперечные возмущения

Что растут. Тем не менее, эти нарастающие возмущения не могут уйти далеко от

Симметричное состояние, особенно если связь близка к критической связи первого

неустойчивость ε ≲ ε c, max, поскольку рост ограничен неустойчивыми многообразиями

Новорожденные асимметричные периодические орбиты. Фактически, почти все нарастающие возмущения

Возвращаются в симметричное состояние (кроме тех, которые лежат на устойчивых многообразиях

Несимметричных неподвижных точек). Такая ситуация называется локальной загадкой. Он существует рядом с

симметричное состояние при ε c < ε < ε c, max, и оно становится видимым при синхронизации

переход ε = ε c.

Иная ситуация наблюдается в случае докритических поперечных вил раздвоенных.

катион периодических орбит, принадлежащих симметричному аттрактору. Здесь при ε = ε c max

Пара симметричных неподвижных точек (периодических орбит) сталкивается с симметричными неподвижными

точка (периодическая орбита) и последняя становится трансверсально неустойчивой. В отличие от