Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2021-05-27 | 30 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Условия согласованности, по аналогии с теорией среднего поля фазы второго порядка
Переходы. Итак, мы устанавливаем
= ¯ ω t,
K = константа, ψ k = φ k - ¯ ω t,
Чтобы получить
d ψ k
dt = ω k - ¯ ω - ε K sin ψ k.
(12,5)
Это уравнение совпадает с (7.24) и имеет синхронные и асинхронные решения
Следующим образом.
(i) Синхронное решение
ψ k = sin − 1
ω k - ¯ ω
ε K
(12,6)
существует, если собственная частота k- го осциллятора близка к ¯ ω:
| ω k - ¯ ω | ≤ ε К. Соответствующие осцилляторы увлекаются средним полем.
(ii) Асинхронное решение, в котором фаза ψ k вращается согласно уравнению
(12.5) существует, если | ω k - ¯ ω | > Ε К. В этом асинхронном состоянии фазы не
Равномерно распределены; это будет учтено ниже.
Следующим шагом является определение вкладов субпопуляций синхронных
И асинхронные осцилляторы к среднему полю. Чтобы вычислить уравнения. (12.3) в пределе
N →∞ необходимознатьраспределениеразностейфаз n (ψ). Всоответствии
Для двух типов решения, мы разложим это распределение на синхронное и
асинхронные части, n s (ψ) и n as (ψ).
Стр. Решебника 304 |
282
Популяции глобально связанных осцилляторов
Для осцилляторов, увлекаемых средним полем, разность фаз ψ равнавремени -
Независима и определяется собственной частотой согласно (12.6), так что
распределение n s (ψ) можетбытьполученонепосредственноизраспределениясобственныхчастот
n s (ψ) = g (ω) ∣∣
∣
∣
d ω
г ψ ∣∣∣
∣
= ε Kg (¯ ω + ε K sin ψ) cos ψ, -
π
2 ≤ψ≤
π
2
. (12,7)
Для необученных осцилляторов фаза вращается, но для каждого ω k мы можем получить
|
Распределение фаз непосредственно из уравнения. (12,5). Поскольку фаза вращается неравномерно
во времени вероятность наблюдения значения ψ обратнопропорциональнавращению
скорость в этой точке | ˙ψ |. Такимобразом, призаданном ω k распределение фаз имеет вид
P (ψ, ω) ∼
1
| ˙ψ |
.
Подставляя (12,5) в приведенное выше и нормализуя выходы
P (ψ, ω) = (| ω - ¯ ω - ε K sin ψ | ∫
2 π
0
d ψ
| ω - ¯ ω - ε K sin ψ |
)
− 1
= √
(ω - ¯ ω) 2 - ε 2 K 2
2 π | ω - ¯ ω - ε K sin ψ |
.
(12,8)
Теперь нам нужно усреднить это распределение по g (ω), чтобыполучитьраспределение
фазы асинхронных генераторов:
n как (ψ) = ∫ | ω− ¯ ω |> ε K
g (ω) P (ψ, ω) d ω
= ∫
∞
¯ ω + ε K
g (ω) √ (ω - ¯ ω) 2 - ε 2 K 2
2 π (ω - ¯ ω - ε K sin ψ)
d ω
+ ∫
¯ ω − ε K
−∞
g (ω) √ (ω - ¯ ω) 2 - ε 2 K 2
2 π (−ω + ¯ ω + ε K sin ψ)
d ω.
Обозначая ω− ¯ ω = x и используя симметрию распределения частот g (¯ ω + x) =
g (¯ ω - x), последнюю формулу можно переписать в более компактном виде
n как (ψ) = ∫
∞
ε K
g (¯ ω + x) x √ x 2 - ε 2 K 2
π [ x 2 - ε 2 K 2 sin 2 ψ ]
Dx.
(12.9)
Теперь с помощью распределений n s и n as мы получаем самосогласованное
Уравнение для среднего поля
Ke i ¯ ω t = ∫
π
− π
e i ψ + i ¯ ω t [ n s (ψ) + n as (ψ)] d ψ.
(12.10)
Прежде всего отметим, что согласно (12.9) асинхронная часть распределения n as (ψ)
имеет период π по ψ, поэтомуоннедаетвкладавинтеграл (12.10). Такимобразом, мыполучаемдва
вещественные уравнения (действительная и мнимая части (12.10)):
К = ε К ∫ π / 2
− π / 2
cos 2 ψ · g (¯ ω + ε K sin ψ) d ψ,
(12.11)
Стр. Решебника 305 |
Генераторы с шумом
283
0 = ε K ∫ π / 2
− π / 2
cos ψ sin ψ · g (¯ ω + ε K sin ψ) d ψ.
(12.12)
Уравнение (12.12) определяет частоту, и мы видим, что ¯ ω былправильнымвыбором:
|
Это уравнение выполняется за счет симметрии частотного распределения. Мы
Осталось с формулой. (12.11), который определяет амплитуду среднего поля K. Закрытый
аналитическое решение может быть найдено только для некоторых специальных распределений g (ω).
Рассмотрим в качестве точно решаемого примера лоренцево распределение
g (ω) =
γ
π [(ω - ¯ ω) 2 + γ 2 ]
.
(12.13)
Тогда для этого распределения интеграл в (12.11) может быть вычислен точно. Через некоторое время
Манипуляциями получаем амплитуду когерентного решения
К = √ 1 -
2 γ
ε
.
(12.14)
Это нетривиальное среднее поле существует, если связь превышает критическое значение ε c = 2 γ.
Переход к синхронизации напоминает фазовый переход второго рода и может
характеризоваться критическим показателем 1/2: K ∼ (ε - ε c) 1/2. Это также верно для
общие унимодальные распределения g (ω). Посколькупрималых K только осцилляторы с
ω ∼ = ¯ ω синхронизированы, тольколокальныесвойствафункции g в окрестности
Максимум важен около порога синхронизации. Это видно из
Уравнение (12.11), где при малых K только окрестность ¯ ω даетвкладвсреднееполе.
Таким образом, полагая K малым и разлагая g (¯ ω + ε K sin ψ) в (12.11) втейлоровский
Ряд
g (¯ ω + ε K sin ψ) ≈ g (¯ ω) +
g ′′
2
ε 2 K 2 sin 2 ψ,
После подстановки в (12.11) получаем
ε c =
2
π g (¯ ω)
,
K 2 ≈
8 г (¯ ω)
| g ′′ | ε 3 (ε - ε c).
(12.15)
Проиллюстрируем синхронизирующий переход в популяции осцилляторов с
Результаты численного моделирования представлены на рис. 12.1.
12,2
Зашумленные генераторы
Здесь мы рассматриваем совокупность одинаковых осцилляторов при наличии внешних
Шум. Обычно рассматривают статистически независимые равномерно распределенные шумовые силы.
Для каждого осциллятора. В такой популяции наблюдаемые частоты всех элементов равны
Очевидно, равны, но из-за шума генераторы могут иметь полностью независимые
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!