Среднее поле на переходе растет как квадратный корень из критичности. Это свойство

Совокупности зашумленных осцилляторов снова иллюстрирует аналогию со средним полем

Теория фазовых переходов. Фаза среднего поля может быть произвольной; в

термодинамический предел постоянен (во вращающейся системе отсчета).

12,3

Обобщения

Мы описали две основные причины несогласованности в большой популяции ос-

Генераторы: распределение собственных частот и внешнего шума. Ряд связанных

проблемы, в которых, например, присутствуют оба этих фактора, вызвали большой интерес

Совсем недавно. В этом разделе мы рассмотрим некоторые выводы.

Модели, основанные на фазовом приближении

Шум и распределение частот

Естественным обобщением моделей, описанных в разделах 12.1 и 12.2, является общее

Объединение двух основных источников беспорядка: внешнего шума и распространения естественного

частоты. Модель такая:

Стр. Решебника 309

Обобщения

287

d φ k

dt = ω k + ξ k (t) +

ε

N

N

∑

j = 1

sin (φ j - φ k).

(12.29)

Плотность вероятности «одного осциллятора» теперь дополнительно зависит от частоты

ω: P (φ, ω, t). Среднее поле можно определить усреднением по распределениям

фазы и частоты:

Ке я

= ∫

2 π

0

d φ ∫

∞

−∞

d ω e i φ P (φ, ω, t) g (ω).

(12.30)

Это среднее поле управляет динамикой осциллятора, так что функция распределения

Подчиняется уравнению Фоккера – Планка

∂ P

∂ t = -

∂

∂φ [(ω + ε K sin (- φ)) P ] + σ 2 ∂ 2 P

∂φ 2

.

(12.31)

Система уравнений (12.30) и (12.31) дает самосогласованное описание

проблема. В общем случае при малой связи ε некогерентноеустановившеесясостояние P (φ, ω) =

1 / 2 π, K = 0 устойчиво. По мере увеличения связи переход в синхронизированное состояние

С ненулевым средним полем. Характер перехода зависит от конкретного

вид функции распределения g (ω) - этоможетбытьмягкая (сверхкритическая) бифуркацияпри

описанный в Разделе 12.2 или жесткий (докритический) (см. Bonilla et al. [1992]; Acebrón

и другие. [1998]).

Гистерезисный синхронизирующий переход

Другое возможное обобщение - рассмотреть фазовую динамику с инерцией, записав

Вместо (12.29) система уравнений Ланжевена второго порядка для связанных ротаторов

м

d 2 φ k

дт 2 +

d φ k

dt = ω k + ξ k (t) +

ε

N

N

∑

j = 1

sin (φ j - φ k).

(12.32)

Переход между несинхронным и синхронным состояниями теперь демонстрирует

гистерезис [Tanaka et al. 1997а, б; Hong et al. 1999c]. Это тесно связано с

Тот факт, что вращатель с одним приводом регулируется уравнениями

м

D 2

дт 2 +

d

дт + грех

= Я

Демонстрирует бистабильность: сосуществуют как стабильное вращающееся решение, так и устойчивое стационарное состояние

В определенном диапазоне вращающего момента I.

Общая функция связи: кластеры

В разделах 12.1 и 12.2 представлена ​​ простейшаяпривлекательнаясвязь, пропорциональнаясинусу.

Разности фаз. 2 Здесь мы продемонстрируем, что более сложные

Синусоидальную связь можно также обобщить на случай предпочтительного фазового сдвига между

Осцилляторы; мы обсудим этот случай при рассмотрении связанных джозефсоновских переходов, см.

Уравнение (12.43) позже.

Стр. Решебника 310

288

Популяции глобально связанных осцилляторов

Функции связи могут привести к дальнейшему усложнению коллективной динамики.

Okuda [1993] показал, что общая функция связи q (φ) междуидентичными (т. Е.

с одинаковой собственной частотой) фазовые осцилляторы могут приводить к образованию

Несколько кластеров. Все осцилляторы в кластере имеют одинаковую фазу, и существует постоянная

Фазовый сдвиг между разными кластерами. Модель гласит

d φ k

dt = ω 0 +

ε

N

N

∑

j = 1

q (φ j - φ k).

(12,33)

Если периодическая (т.е. q (φ) = q (φ + 2 π)) функциясвязи q содержит высшие гармоники,

образование кластеров может наблюдаться при некоторых начальных условиях. Один такой пример

показан на рис. 12.2.

Общая функция связи: функция порядка и шум

Дайдо [1992a, 1993a, 1995, 1996] ввел понятие «функции порядка» для

описывают генераторы типа (12.33) с распределением собственных частот:

d φ k

dt = ω k +

ε

N

N

∑

j = 1

q (φ j - φ k).

(12,34)

Функцию связи q в общем случае можно представить в виде ряда Фурье

q (φ) = ∑ l

q l e я 2 π l φ.

Предполагая, что фазы всех синхронных осцилляторов вращаются с частотой ¯ ω, мы

Можно ввести обобщенные параметры порядка как

Z l =

1

N

N

∑

k = 1

e i 2 π l (φ k - ¯ ω t),

0

1

2

3

4

5

φ k / 2 π

0

20

40

60

80

100

Индекс осциллятора k

Рисунок 12.2. Динамика

Население 100 пар

Осцилляторы, описанные

Уравнение (12.33) с q (φ) =

- c − 1 tan − 1 [(c sin φ) / (1 - c cos φ)]

для c = − 0,7 и ε = 1.

Население превращается в

Трехкластерное состояние, показанное

Стробоскопически иногда

п 2 π / ω 0. Чтобы достичь этого состояния

Мы должны выбрать

Соответствующий начальный

Условия; система

Многостабильный и может

Продемонстрировать разные

Шаблоны синхронизации.

Стр. Решебника 311

Обобщения

289

И перепишем уравнения движения в виде

d φ k

dt = ω k - ε H (φ k - ¯ ω t),

Где

H (ψ) = - ∑ l

q l Z l e - я 2 π l ψ.