Локальная неоднородность, имеющая большую / меньшую частоту, чем излучает окружающая среда

концентрические волны и порождает целевой узор в зависимости от знака β.

Влияние шума: шероховатость против синхронизации

Даже небольшой шум может испортить синхронизацию в большой системе. Смоделируем

однородная (ω = постоянная) зашумленнаяколебательнаясредасподходомЛанжевена,

т.е. добавить флуктуирующий член к правой части (11.4):

∂φ (х, t)

∂ т

= ω + α ∇ 2 φ (x, t) + β (∇φ (x, t)) 2 + ξ (x, t).

(11.11)

Это уравнение хорошо известно в теории придания шероховатости границам раздела как уравнение Кардара –

Уравнение Паризи-Чжана (см., Например, [Barabási and Stanley 1995; Halpin-Healy and Zhang

1995]). В нашем контексте интерфейс - это фазовый профиль φ (x, t), а шероховатость

Означает разработку приблизительной функции x (с большими отклонениями от ее среднего значения)

Из изначально плоского профиля.

Чтобы продемонстрировать огрубление, рассмотрим линеаризованный вариант (11.11):

где мы пренебрегаем членом ∼ (∇φ) 2:

∂φ (х, t)

∂ т

= ω + α ∇ 2 φ (x, t) + ξ (x, t).

(11.12)

Стр. Решебника 294

272

Синхронизация в колебательных средах

В теории придания шероховатости границам раздела Ур. (11.12) называется уравнением Эдвардса – Уилкинсона.

уравнение. Выполняя преобразование Фурье в пространстве, мы можем переписать (11.12) в виде набора

Линейные независимые уравнения для мод Фурье

d φ K

dt = ωδ K, 0 - α K 2 φ K + ξ K (t).

Если мы предположим, что шум является гауссовским δ - коррелированнымвпространст ве и времени, то все

компоненты Фурье ξ K являются независимыми δ - коррелированнымивовременипроцессами, имеющими

той же интенсивности 〈 ξ K (t) ξ K ′ (t ′) 〉 = 2 σ 2 δ KK ′ δ (t - t ′). Таким образом, спектральный состав

Ненты φ K (t) также являются независимыми процессами. Записывая для каждого φ K формулу Фоккера – Планка

уравнение, получаем гауссово стационарное распределение с дисперсией Var (φ K) =

σ 2 α − 1 K − 2. Таким образом, пространственный спектр фазового профиля φ (x, t) пропорционален

K − 2, и можно показать (см., Например, [Halpin-Healy and Zhang 1995]), что то же самое

Верно и для нелинейного уравнения Кардара – Паризи – Жанга (11.11).

Дисперсия мгновенного фазового профиля Var (φ) = 〈 (φ - 〈 φ 〉) 2 〉 может быть

рассчитывается как интеграл по пространственному спектру. Поскольку интеграл расходится при K → 0,

Необходимо учитывать обрезание при наименьшем волновом числе K 0, соответствующем

к длине системы L: K 0 ∼ L − 1 (необходимо еще одно обрезание на малых масштабах, чтобы избавиться от

расходимости ультрафиолета). На этом этапе результат начинает зависеть от размера

системы d:

Var (φ) ∼ ∫

C

L − 1

K d − 1 K − 2 d K ∼







L

d = 1

Ln L

d = 2

постоянная d ≥ 3.

(11.13)

Шероховатость - это свойство неограниченного роста ширины «границы раздела» с увеличением

Размер системы. Как следует из уравнения. (11.13) шероховатость существенно зависит от

Размерность системы, т. е. от того, является ли колебательная среда одно-, двух-,

Или трехмерный. Пространственный спектр можно интегрировать без расхождения по

Размеры больше трех, поэтому в этом случае шероховатости нет: отклонение

Интерфейс конечно даже для очень больших систем. В отличие от этого, фазовый профиль

грубая по размерам d = 1, 2.

Для фазовой динамики переход огрубление – огрубление может быть интер-

как переход декогерентность-когерентность (см. [Gallas et al. 1992; Grinstein

и другие. 1993]). Начнем с шероховатого одномерного случая. Обратите внимание на то, что из-за

К пространственной однородности наблюдаемые частоты в (11.11) одинаковы во всех точках

(что неудивительно, ведь собственные частоты тоже равны). Таким образом, в

Чувство совпадения наблюдаемых частот колебания синхронизированы.

Однако они непоследовательны. В каждый момент времени можно увидеть фазовый профиль

как кривая типа случайных блужданий (это видно из пространственного спектра ∼ K − 2).

Таким образом, локально в пространстве фазы не сильно различаются, а на малых пространственных

В масштабах можно считать колебания синхронизированными. Однако для большей длины

шкала характерная разность фаз превышает 2 π инеткорреляциимежду

Стр. Решебника 295

Слабонелинейная колебательная среда

273

можно увидеть фазы, взятые по модулю 2 π. Еслимыпосмотримнанекоторуюфазозависимуюнаблюдаемую,

например, sin φ, егосреднеезначениепосредебудетпостояннымвовремени, какивслучае

Полностью независимые колебания. В этом смысле огрубление означает декогеренцию в

Большие системы. И наоборот, если фазовый профиль не грубый, т. Е. Если вариации

фаза по всей системе меньше 2 π, тонетолькочастоты

Всех колебаний совпадают, но и фазы коррелированы и усреднение