Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2021-05-27 | 30 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
общая частота. Chaté и Manneville [1992] описали разные примеры.
Такого поведения.
11,3
Слабонелинейная колебательная среда
В разделе 11.2 мы охарактеризовали колеблющуюся среду с однофазной переменной.
Это возможно, если отклонения всех остальных переменных от описываемого предельного цикла:
Однородные периодические колебания малы. В противном случае нужно учитывать
Полные дифференциальные уравнения в частных производных для переменных состояния. Ситуация упрощена
Если колебания слабо нелинейны. В этом случае можно ввести сложный
Амплитуды A, зависящей от пространства и времени, и представить переменную состояния u (x, t) как
u = Re (A (x, t) e i ω t). Здесь ω - частотасобственныхколебаний. Уравнениедля
A может быть получен для конкретной задачи с помощью метода усреднения или
его вариации (см., например, [Kuramoto 1984; Haken 1993; Bohr et al. 1998]). Мы тут
Воспользуемся тем же подходом, что и в разделе 11.2: начнем с решетки слабонелинейных
Автогенератора и рассмотрим его непрерывный предел.
Комплексное уравнение Гинзбурга – Ландау
Одномерная решетка слабосвязанных нелинейных осцилляторов описывается
обобщение уравнений. (8.12):
D A k
dt = µ A k - (γ + i α) | A k | 2 A k + (β + i δ) (A k +1 + A k − 1 - 2 A k).
(11.14)
Здесь мы предполагаем, что все осцилляторы имеют одинаковые параметры. Переход на континент
в среде считается, что разность A k +1 - A k порядка x; соответственно
постоянные взаимодействия β и δ велики. Положив β = ˜ β (x) − 2 и δ = ˜ δ (x) − 2,
Мы получили
∂ A
∂ t = µ A - (γ + i α) | А | 2 + (~ β + я ~ δ) ∇ 2.
Здесь удобно использовать то же масштабирование, что и в разделе 8.2, т.е. нормировать время на µ
|
и амплитуду на √γ / µ, чтобыполучитьизвестноекомплексноеуравн ение Гинзбурга – Ландау
(CGLE):
Стр. Решебника 296 |
274
Синхронизация в колебательных средах
∂ a (x, t)
∂ т
= а - (1 + ic 3) | а | 2 а + (1 + ic 1) ∇ 2 а,
(11.15)
Описывающее слабонелинейные колебания в сплошной среде. Его условия
Имеют следующие физические значения: первый член справа описывает линейную
Рост колебаний; второй член описывает нелинейное насыщение (действительная часть
Коэффициент) и нелинейный сдвиг частоты (мнимая часть); последний термин описывает
Пространственное взаимодействие (диффузия) диссипативного (действительная часть) и реактивного (мнимая часть)
Типы. Чисто консервативная версия CGLE (т. Е. С чисто воображаемым
коэффициенты слева справа; формально это соответствует пределу c 1,3 →∞)
Нелинейное уравнение Шредингера, полностью интегрируемая гамильтонова система. В контексте
Для автоколебаний существенны диссипативные члены; кроме того, в некоторых
Ситуаций (изохронные колебания и чисто диссипативная связь) коэффициенты
C 1 и c 3 исчезают. Не претендуя на полное описание свойств CGLE
(см., например, [Shraiman et al. 1992; Cross and Hohenberg 1993; Chaté and Manneville
1996; Bohr et al. 1998]), здесь мы подчеркиваем только те особенности, которые важны
Точка зрения синхронизации.
CGLE имеет решения в виде плоских волн (ср. (11.5))
a (x, t) = (1 - K 2) exp [ i K x - i (c 3 + (c 1 - c 3) K 2) t ],
Которые можно интерпретировать как синхронизированные состояния в среде. Не все эти волны
Устойчивы, но существуют устойчивые длинноволновые решения, если
1 + с 1 с 3 > 0.
(11.16)
Чтобы увидеть, как возникает критерий (11.16), запишем фазовое приближение для
CGLE. Это приближение справедливо для состояний, медленно меняющихся в пространстве, где
диффузионный член (пропорциональный квадрату характеристического волнового числа) может
|
Можно рассматривать как небольшое возмущение. Таким образом, мы можем применить общую формулу (7.14)
Для возмущений вблизи пространственно однородного предельного цикла, чтобы получить уравнение для
Фаза. В эту формулу подставим фазовую зависимость в виде (ср. Уравнения (7.10))
И (7.16))
φ (X, Y) = загар
− 1
Y
Х -
C 3
2
ln (X 2 + Y 2)
И возмущение в виде
p X = 2 X (φ) - c 1 ∇ 2 Y (φ), p Y = 2 Y (φ) + c 1 ∇ 2 X (φ),
с a = X + iY = cos φ + i sin φ, чтобыполучить
∂φ
∂ t знак равно - c 3 + (1 + c 3 c 1) ∇ 2 φ + (c 3 - c 1) (∇φ) 2.
(11.17)
Это уравнение, конечно, совпадает с (11.4). Главное, что делает динамику-
Нетривиальной особенностью CGLE является возможная нестабильность фазы: фазовая диффузия
Стр. Решебника 297 |
Слабонелинейная колебательная среда
275
коэффициент в уравнении. (11.17) равно 1+ c 3 c 1, а когда оно отрицательно, пространственно однородное
синхронное состояние нестабильно. Критерий (11.16) был выведен Ньюэллом [1974], но
Нестабильность часто называют нестабильностью Бенджамина – Фейра после аналогичного лечения.
неустойчивости нелинейных волн на воде [Benjamin, Feir, 1967].
Физический механизм неустойчивости станет ясным, если мы сравним
Критерий Ньюэлла (11.16) к уравнению. (8.17), описывающее взаимодействие двух осцилляторов.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!