Фазы. Синхронизация проявляется как согласованность в ансамбле, которая проявляется

Стр. Решебника 306

284

Популяции глобально связанных осцилляторов

Сам ненулевым средним полем. Базовую модель можно записать как систему связанных

Уравнения Ланжевена с зашумленными силами ξ i (t):

d φ k

dt = ω 0 +

ε

N

N

∑

j = 1

sin (φ j - φ k) + ξ k (t).

(12.16)

Частоты всех осцилляторов равны, поэтому удобно ввести фазы

Во вращающейся раме

ψ k = φ k - ω 0 t

Чтобы получить

d ψ k

dt =

ε

N

N

∑

j = 1

sin (ψ j - ψ k) + ξ k (t).

(12.17)

Ниже предполагается, что зашумленные члены являются гауссовыми с нулевым средним, δ - коррелированнымив

временные и независимые для разных осцилляторов:

〈 Ξ n 〉 = 0,

〈 Ξ m (t) ξ n (t ′

) 〉 = 2 σ 2 δ (t - t ′) δ mn.

Качественно возможные явления синхронизации можно описать следующим образом.

На фазу влияют два фактора: шум приводит к распределению фаз.

0

200

400

k

0

π

2 π

ψ

k

–5

0

5

Ω

k

0

200

400

k

0

200

400

k

а)

(б)

(c)

Рисунок 12.1. Динамика популяции из 500 фазовых осцилляторов, управляемая

Уравнение (12.1). Распределение собственных частот - лоренцево (12.13) с

γ = 0,5 и¯ ω = 0; критическое значение связи ε c = 1. (a) Докритическая связь

ε = 0,7. Осцилляторынесинхронизированы, среднееполеколеблется (из - за

эффекты конечного размера) около нуля. (б) Ситуация, близкая к критической, ε = 1.01. Оченьмаленький

Часть населения около центральной частоты синхронизируется. Наблюдаемые

частоты k = 〈 ˙φ k 〉 для этих увлеченных осцилляторов одинаковы. (в) ε = 1,2, a

Большая часть популяции синхронизирована, среднее поле велико. Амплитуда

среднее поле K ≈ 0.1 для (b) и K ≈ 0.41 для (c), чтохорошосогласуетсяс

Формула (12.14).

Стр. Решебника 307

Генераторы с шумом

285

В однородной совокупности, поэтому это уменьшает среднее поле. Взаимодействие означает влечение

Фаз, которые стремятся образовать кластер и произвести ненулевое среднее поле. Для

ε / σ 2 → 0 шумсильнееитенденциякнекогерентностипобеждает, апри

ε / σ 2 →∞ выигрываетвзаимодействие, ифазыкорректируютсвоизначения. Мыожидаем

получить синхронизирующий переход при некоторой критической прочности связи ε c.

Аналогично (12.2) введем среднее поле согласно

Z = X + iY =

1

N

N

∑

k = 1

е я ψ к

(12,18)

И перепишем систему (12.17) в виде

d ψ k

dt = ε (- X sin ψ k + Y cos ψ k) + ξ k (t).

(12.19)

Цель теории - написать самосогласованное уравнение для распределения

Фазы. Предположим, что среднее поле Z является медленной (по сравнению с шумом) функцией

Время, и поэтому его можно рассматривать как детерминированный член в уравнении Ланжевена.

Тогда (12.19) представляют собой уравнения Ланжевена для отдельного зашумленного осциллятора, аналогичные

Уравнение (9.7). Соответствующее уравнение Фоккера – Планка для плотности вероятности

Фаза

∂ P (ψ, t)

∂ т

= ε

∂

∂ψ

[(X sin ψ - Y cos ψ) P ] + σ 2 ∂ 2 P

∂ψ 2

.

(12.20)

Теперь исследуем термодинамический предел N →∞. Вэтомпределенаселение

среднее (12.18) можно заменить средним по распределению P (ψ, t):

Z = X + iY = ∫

2 π

0

d ψ P (ψ, t) e i ψ.

(12.21)

Уравнения (12.20) и (12.21) представляют собой окончательную самосогласованную систему уравнений

Для неизвестной функции распределения и среднего поля. Обратите внимание, что эта система

нелинейная, поскольку множители X и Y в (12.20) зависят от P (ψ, t) согласно

Уравнение (12.21).

Для анализа системы разложим плотность P в ряд Фурье

P (ψ, t) =

1

2 π ∑ l

P l (t) e il ψ.

(12.22)

Обратите внимание, что согласно формуле. (12.21) среднее поле - это в точности комплексная амплитуда

первая мода Z = X + iY = P ∗ 1 = P − 1 и из-за нормировки амплитуда

моды нуля равняется единице, P 0 = 1. Подставляя (12.22) в (12.20) и разделяя

Гармоники Фурье дают бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

DP l

dt = −σ 2 l 2 P l +

l ε

2

(P l − 1 P 1 - P l +1 P ∗ 1).

(12.23)

Запишем первые три уравнения

˙ P 1 =

ε

2

(P 1 - P 2 P ∗ 1

) - σ 2 P 1,

(12,24)

Стр. Решебника 308

286

Популяции глобально связанных осцилляторов

˙ P 2 = ε (P 2

1 - П 3 П * 1

) - 4 σ 2 P 2,

(12,25)

˙ P 3 =

3 ε

2

(P 2 P 1 - P 4 P ∗ 1

) - 9 σ 2 P 3.

(12,26)

Прежде всего отметим, что однородное распределение фаз, где все моды Фурье

(кроме P 0) в нуль, является решением этой системы. Линеаризуя это состояние, мы

видим, что единственная потенциально нестабильная мода - это первая: она устойчива, если ε <2 σ 2 и

неустойчиво, если ε > 2 σ 2. Это как раз критическое значение муфты, а нестабильная

мода - это среднее поле P 1 = Z ∗. Чтобы получить устойчивое состояние за пределами нестабильности

Порог, мы должны принять во внимание нелинейные члены. Полезно отметить

что вблизи порога ε ≈ 2 σ 2 вторая мода затухает довольно быстро по сравнению с

характерный временной масштаб нестабильности (т. е. | ε - 2 σ 2 | ≪ σ 2). Более того, мы можем

оценка | P 2 | ∼ | P 1 | 2 (из (12.25)) и | P 3 | ∼ | P 1 | 3 (из (12.26)). Таким образом, полагая

˙ P 2 ≈ 0, P 3 ≈ 0 - хорошееприближение, котороепозволяетнамвыразить P 2 через P 1

Алгебраически и получить

˙ Z = (ε 2 - σ 2) Z -

ε 2

8 σ 2 | Z | 2 Z.

(12,27)

Это уравнение нормальной формы для бифуркации Хопфа (в теории ги-

дродинамической неустойчивости (его также называют уравнением Ландау – Стюарта), описывающим

Появление макроскопического среднего поля в популяции шумно связанных осцилляторов.

Его стационарное решение

| Z | 2 = (ε - 2 σ 2)

4 σ 2

ε 2

.

(12,28)