Накладывает условие, что полная мощность производной должна быть четной. Этот

Означает, что все возможные дополнительные члены в правой части уравнения. (11.4) имеют либо более высокие

производные или более высокие нелинейности (например, 4 φ, (∇φ) 2 ∇ 2 φ). Полагая ∇φ∼ L − 1,

мы можем оценить эти дополнительные члены порядка L − 4, L − 6,..., т. е. намного меньше

чем члены порядка L − 2, представленные в (11.4). Мы увидим в Разделе 11.3,

Однако, если характерный масштаб фазовых вариаций конечен, следует

Включить члены более высокого порядка в (11.4).

Плоские волны и цели

Рассмотрим сначала среду одинаковых осцилляторов, т. Е. Среду с ω (x) =

Постоянный. В этом случае уравнение. (11.4) имеет плоские волновые решения

Стр. Решебника 292

270

Синхронизация в колебательных средах

φ (х, t) знак равно K x + (ω + β K 2) t + φ 0.

(11,5)

Колебания в среде синхронны, но в целом частота отклоняется

От естественного, а фазовый сдвиг между разными точками отличен от нуля. В

Знак коэффициента β определяетдисперсиюволн, т. е. будетлиихчастота

Растет или уменьшается с волновым числом (первый случай более типичен). Который

Реализация решения семейства (11.5) зависит в основном от граничных условий. Для

граничные условия с нулевым градиентом ∇φ∣

∣ B = 0, единственно возможное значение волны

Число K равно нулю. Таким образом устанавливается пространственно однородный профиль фазы,

С идеальной синхронизацией между всеми точками среды (т. е. все фазы

Равны). Последний этап этого процесса описывается линеаризованной версией

(11.4) которое является уравнением диффузии, так что характерное время начала

синхронизация L − 2, где L - длина системы.

В бесконечной одномерной среде возможны более сложные структуры из-за

Нелинейности (11.4). В частности, две плоские волны могут образовывать стационарный переход.

ция [Курамото 1984]:

φ (x, t) = ω t + β (a 2 + b 2) t + ax +

α

β

Ln cosh

б β

α

(x + 2 a β t).

(11,6)

Это решение зависит от двух параметров a и b, которые определяют асимптотику плоских волн.

тотики при x → ± ∞. Полагаядляопределенности β b > 0, для больших | х |

φ ∼ K ± x + (ω + β K 2

±

) t,

К ± = а ± Ь.

(11,7)

Положение сочленения перемещается со скоростью − 2 a β. Иногдастыкбывает

Называется доменной стенкой, она также может быть источником или стоком волн. Анализ

Соотношения (11.7) показывают, что при β > 0 выигрываетволноваякартинасбольшейчастотой:

Переход движется в сторону меньшей частоты.

Для периодических граничных условий плоские волны (11.5) со всеми K такими, что K L =

м 2 π возможны. Можноопределить«топологическийзаряд» (или«пространственноевращение»).

Номер») фазового профиля как

Q =

1

2 π ∫

L

0 ∇φ d φ,

Которые могут иметь только целые значения. Эта величина измеряет фазовый сдвиг вдоль

Средняя. Ясно, что топологический заряд сохраняется в процессе эволюции,

Поэтому любой начальный фазовый профиль, имеющий заряд Q, в конечном итоге эволюционирует к плоскости

волна (11.5) с волновым числом K = Q 2 π / L.

Когда профиль собственных частот ω (x) нетривиален, следующая формула Хопфа – Коула

Трансформация

φ =

α

β

Пер у

(11,8)

Помогает преобразовать нелинейное уравнение. (11.4) к линейному уравнению

Стр. Решебника 293

Пространственно непрерывные фазовые профили

271

∂ u

∂ t =

β

α

ω (x) u + α ∇ 2 u.

(11.9)

Это можно рассматривать как уравнение Шредингера мнимого времени с потенциалом

- (β / α) ω (x). В асимптотическом (t →∞) решениипреобладаетперваямода, имеющая

Самая низкая скорость распада. Наибольшее собственное значение

λ u =

β

α

ω (x) u + α ∇ 2 u

(11.10)

Таким образом дает частоту стационарных колебаний. При определении этой частоты

следует тщательно учитывать граничные условия; из-за нелинейного преобразования-

Ции (11,8) они зависят от пространственного числа вращения Q.

Предположим, что частотный профиль асимптотически однороден: ω → ω 0 при

x → ± ∞, ноимеетлокальныймаксимум (м ы предполагаем, что Q = 0, поэтому u → 0 при

x → ± ∞). ЭтосоответствуетуравнениюШредингераслокальнымминимумом

(максимум) потенциала в зависимости от знака β. Этоизвестноизэлементов

Квантовой механики, которая в одном измерении потенциал типа ямы всегда

хотя бы одно дискретное собственное значение λ 1 в интервале ω max > λ > ω 0. Таким образом, ведущие

собственная функция имеет форму колебаний с частотой λ 1: небольшая область с

Сильно увеличенная (для положительного β) частотадоминируетнадвсей средой. Если местный

Неоднородность соответствует потенциальному холму, задача на собственные значения (11.10) не имеет

Дискретные собственные значения и наблюдаемая частота - это частота однородных областей. А

аналогичная ситуация наблюдается в двух- и трехмерном вариантах задачи: