Количество колебаний в единицу времени. Результирующая зависимость частоты

Разница (рис. 10.12) дает типичную картину области синхронизации. В

фазовая диаграмма различных режимов (в зависимости от связи ε ичастоты

рассогласование ν) демонстрируеттриобластикачественноразличающегосяповеденияследующимобразом.

(I) Область синхронизации, где частоты заблокированы, 1 = 2. это

Важно отметить, что порога синхронизации практически нет; это

Особенность фазово-когерентного аттрактора Ресслера.

(II) Область несинхронизированных колебаний, где | 1 - 2 | = | б | > 0. В

По аналогии со случаем периодических осцилляторов, эту частоту b можно рассматривать

Как «частота биений».

(III) В этой области колебания в обеих системах исчезают из-за диффузионной связи.

Этот эффект известен для периодических систем как гибель (или гашение) колебаний.

(см. главу 8).

Стр. Решебника 285

Библиографические примечания

263

Поучительно охарактеризовать синхронизирующий переход с помощью

Показатели Ляпунова (см. Рис. 10.13). Динамическая система шестого порядка (10.12) имеет шесть

Показатели Ляпунова. При нулевой связи мы имеем вырожденную ситуацию двух независимых

Дентные системы, каждая из которых имеет один положительный, один нулевой и один отрицательный показатель степени.

Два нулевых показателя соответствуют двум независимым фазам. С муфтой,

Фазы становятся зависимыми и вырождение снимается: только одна ляпуновская экспо-

Nent должен оставаться в точности равным нулю. Заметим, однако, что при малой связи

Второй нулевой показатель Ляпунова также остается крайне малым (фактически численно

Неотличимы от нуля); это соответствует «квазипериодической» динамике

Фазы, в которых обе они могут быть сдвинуты. Только при относительно сильном сцеплении,

Когда наступает синхронизация, второй показатель Ляпунова становится отрицательным: теперь

Фазы заблокированы, и связь между ними стабильна. Обратите внимание, что два

Наибольшие показатели остаются положительными во всем диапазоне связей, что означает, что

Амплитуды хаотичны и независимы: связанная система остается в гиперхаотической

Государственный.

10,3

Библиографические примечания

В своей презентации мы следовали статьям [Rosenblum et al. 1996; Пиковский

и другие. 1997b], где разные определения фазы для хаотических систем, а также

Обсуждались прямые и косвенные характеристики синхронизации. Фазовая синхронизация

Хронизация хаотических осцилляторов периодической внешней силой описывалась формулой

а)

0

0,04

0,08

ε

0

0,02

0,04

ν

0

0,1

0,2

∆ Ω

0,0

0,1

0,2

ν

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

ε

я

II

III

(б)

Рисунок 10.12. (а) Область синхронизации двух связанных осцилляторов Ресслера

(10.12): график разности наблюдаемых частот

= 〈 ˙θ 1 - ˙θ 2 〉 как

функция связи ε ирассогласования ν имеетобласть, где

Исчезает.

(б) схематическая диаграмма, показывающая области несинхронной (II) и

Синхронное (I) движение и колебание смерти (III). Схема приблизительная,

окна периодического поведения в областях I и II не показаны. Панель (b)

Перепечатано из Осипова и др., Physical Review E, Vol. 55, 1997, стр. 2353–2361.

Авторское право 1997 г. Американского физического общества.

Стр. Решебника 286

264

Фазовая синхронизация хаотических систем

Пиковский [1985], наблюдавший увеличение дискретной спектральной составляющей в

спектр мощности ведомой системы, по Стоуну [Stone, 1992], который стробоскопически наблюдал

периодически пинали систему Рёсслера, а Вадивасовой и соавт. [1999]. Подобные эффекты в

Связанные осцилляторы, в частности перекрытие спектральных пиков из-за взаимодействия,

обсуждались Ланда и Перминов [1985], Анищенко и др. [1991], Ланда и

Розенблюм [1992], Анищенко и др. [1992] и Ланда и Розенблюм [1993].

Фазовая синхронизация в терминах периодических орбит рассмотрена Пиковским.

и другие. [1997c], Zaks et al. [1999] и SH Park et al. [1999a]. Синхронизация

Переход и масштабные свойства перемежаемости были описаны Пиковским и др.

[1997a], Rosa Jr. et al. [1998] и Ли и др. [1998]. Эффекты фазовой синхронизации

Можно также наблюдать в больших ансамблях, решетках и хаотически колеблющихся средах,

см. [Brunnet et al. 1994; Горячев и Капрал 1996; Пиковский и др. 1996; Осипов

и другие. 1997; Брюннет и Шате 1998; Горячев и др. 1998; Blasius et al. 1999] и

Раздел 12.3. Рассмотрена синхронизация хаотической системы стохастической силой.

в [Пиковский и др. 1997b].

Экспериментальные наблюдения фазовой синхронизации хаоса проводились для

электронные схемы [Пиковский 1985; Parlitz et al. 1996; Рулков 1996], плазма [Роза

Jr. et al. 2000] и лазеры [Tang et al. 1998а, в]. См. Также специальный выпуск по этой теме

[Куртс (ред.) 2000].