И получим из (11.1) систему N - 1 уравнений

d ψ k

dt = k + ε [ q (ψ k − 1) + q (ψ k +1) - 2 q (ψ k)], k = 1,..., N - 1.

(11.2)

Здесь k = ω k +1 - ω k - разности частот. Для стационарного состояния ˙ψ k = 0

получаем линейную трехдиагональную алгебраическую систему для неизвестных u k =

q (ψ k); имеет уникальное решение. Проблема в том, чтобы обратить это соотношение и найти

0

1

2

3

ε

–2

–1

0

1

2

Ω

k

Рисунок 11.1. Зависимость наблюдаемых частот k = 〈 ˙φ k 〉 от связи

постоянная ε врешеткеизпятиосцилляторов (11.1). Собственныечастоты

− 1,8, − 1,1, 0,1, 0,9, 1,9, афункциясвязи q (x) = sin x. С

Увеличение силы связи, сначала осцилляторы 1 и 2 образуют кластер на

ε ≈ 0,4. Затемпри ε ≈ 0,6 появляетсякластеросцилляторов 4 и 5. Осциллятор 3 присоединяетсякнему

при ε ≈ 1,4. Наконец, при ε ≈ 3 всеосцилляторысинхронизируются.

Стр. Решебника 290

268

Синхронизация в колебательных средах

ψ k = q − 1 (u k). Поскольку функция связи q (ψ) периодическая, существуетмногообратных

Решений при условии, что все компоненты u k решения лежат в интервале (q min, q max).

Как было доказано Эрментроутом и Копеллом [1984], если функция связи имеет

один минимум и один максимум, из всех возможных 2 N − 1 корней только одно решение

Устойчиво, тогда как другие неподвижные точки - это седла и неустойчивые узлы. На критическом

связь, при которой для некоторого l, u l = q min или u l = q max устойчивая неподвижная точка

Исчезает через бифуркацию седло-узел и появляется периодическая орбита. Фазовое пространство

Системы (11.2) представляет собой (N - 1) -мерный тор, а возникающий периодический

траектория вращается в направлении переменной ψ l. В результате 〈 ˙ψ k 〉 = 0 для всех

k, за исключением k = l, где 〈 ˙ψ l 〉 = 0. В терминах фаз φ k это означает, что

все осцилляторы 1,..., l имеют одинаковую наблюдаемую частоту 1, тогда как частота

2 всех осцилляторов l + 1,..., N имеют разное значение. Таким образом, два кластера син-

появляются хронизированные осцилляторы. Обратите внимание, что разности фаз ψ k не являются постоянными,

но колеблются, потому что обычно все ψ k являются периодическими функциями времени. Дальнейшая де-

Увеличение константы связи приводит к бифуркациям, при которых кластеры расщепляются,

И т. д. Для большой решетки и случайных собственных частот типичная картина такая, как на

Рис. 11.2.

0

20

40

60

80

100

Сайт k

–2

0

2

–2

0

2

Ω

k

–2

0

2

а)

(б)

(c)

Рисунок 11.2. Кластеры в решетке (11.1) из 100 фазовых осцилляторов со случайными естественными

Частоты (нормально распределенные с единичной дисперсией) и функция связи

д (х) = грех х. (а) Двухкластерное состояние при ε = 4. (б) Многиеотносител ьно большие кластеры при

ε = 1. (c) Нескольконебольшихкластеровплюсмножествонесинхронизированныхосцилляторовпри ε = 0,2.

Стр. Решебника 291

Пространственно непрерывные фазовые профили

269

11.2

Пространственно непрерывные фазовые профили

Во многих случаях осцилляторы нельзя рассматривать как дискретные устройства, а скорее как

сплошная колебательная среда. Типичный пример - периодическая химическая реакция в

Сосуд, где в каждой точке наблюдаются колебания, и эти осцилляторы связаны

Через диффузию. Здесь фаза является функцией пространственных координат и времени, и наш первый

Цель состоит в том, чтобы вывести уравнение в частных производных, описывающее его эволюцию.

Один из возможных подходов, основанный на фазовом приближении однородных колебаний.

Основные решения дифференциальных уравнений в частных производных будут описаны в разделе 11.3. Здесь

Начнем с решеточных уравнений (11.1) и рассмотрим их непрерывный предел. В этом

Предел, расстояние между соседними узлами стремится к нулю, а константа связи

стремится к бесконечности. Если мы положим ε = ˜ ε (x) − 2 и разложим q в ряд Тейлора, мы получим

d φ k

dt = ω k + ˜ ε q ′ (0)

φ к -1 - 2 φ к + φ к +1

(х) 2

+ ˜ ε q ′′ (0)

(φ k +1 - φ k) 2 + (φ k - φ k − 1) 2

Х) 2

+ ···.

(11,3)

В непрерывном пределе мы должны положить φ k +1 - φ k = O (x), поэтому второе и

третьи слагаемые в правой части при x → 0 сходятсяковторойпроизводной, а

квадрат первой производной фазы. Легко проверить, что все остальные термины в

В этом пределе расширения исчезают. В результате получаем

∂φ (х, t)

∂ т

= ω (x) + α ∇ 2 φ (x, t) + β (∇φ (x, t)) 2.

(11,4)

Это уравнение справедливо, если α > 0; впротивномслучаепротивофазныеколебаниярешеткиравны

Стабильны, а их описание в непрерывном пределе требует специального анализа.

Уравнение (11.4) обычно справедливо, если пространственные изменения фазы медленные; более

Именно, если характерный масштаб длины L стремится к бесконечности. Действительно, частичное различие

Основное уравнение для фазы может содержать только свои производные, но не саму фазу.

(поскольку динамика инвариантна относительно фазовых сдвигов). Далее, симметрия x → - x