Лции обсуждаются. Наконец, в разделе 8.3 мы описываем синхронизацию релаксации

Генераторы «интегрировать и запустить». Сопряженным ротаторам не уделяется особого внимания:

Их свойства очень похожи на свойства осцилляторов.

8.1

Фазовая динамика

Если связь между двумя автоколебательными системами мала, можно вывести следующее:

Малкин [1956] и Курамото [1984], замкнутые уравнения для фаз. Подход

222

Стр. Решебника 245

Фазовая динамика

223

Здесь по сути то же, что и в разделе 7.1. Желательно прочитать этот раздел

Во-первых: ниже мы используем многие идеи, представленные там. Наша базовая модель - это система из двух

Взаимодействующие осцилляторы

Д х (1)

dt = f (1) (x (1)) + ε p (1) (x (1), x (2)),

Д х (2)

dt = f (2) (x (2)) + ε p (2) (x (2), x (1)).

(8.1)

Обратите внимание, что здесь мы не предполагаем никакого сходства между двумя взаимодействующими системами:

Они могут быть разной природы и иметь разные размеры. Также муфта может

Быть асимметричным. Мы предполагаем только, что автономная динамика (заданная функциями

F (1), (2)) можно отделить от взаимодействия (описываемого в целом разными терминами

p (1), (2)), пропорциональной константе связи ε. Этомотивированофизическим

Постановка задачи: у одного есть два независимых генератора, которые могут работать по отдельности.

Разумно, но которые тоже могут взаимодействовать. Таким образом, мы исключаем ситуацию, когда два колеблющихся

Режимы наблюдаются в сложной системе, которую нельзя разложить на две части. 1

Другой случай, не охватываемый системой (8.1), - это случай более сложной связи, требующей

Дополнительные динамические переменные. 2

Когда константа связи ε обращаетсявнуль, каждаясистемаимеетустойчивыйпредельныйциклс

частоты ω 1,2. Таким образом, как описано в разделе 7.1, мы можем ввести две фазы на

Циклы и в их окрестностях, 3 (ср. уравнение (7.3))

d φ 1

dt = ω 1,

d φ 2

dt = ω 2.

(8,2)

В общем случае частоты ω 1, ω 2 несоизмеримы, поэтому движение

Несвязанные осцилляторы квазипериодичны.

В первом приближении можно записать уравнения для фаз в связанных

Система, аналогичная (7.14), как

d φ 1 (х (1))

Dt

= ω 1 + ε ∑ k

∂φ 1

∂ x

(1)

k

п

(1)

k

(х (1), х (2)),

d φ 2 (х (2))

Dt

= ω 2 + ε ∑ k

∂φ 2

∂ x

(2)

k

п

(2)

k

(х (2), х (1)).

(8.3)

Предполагая, что при малой связи возмущения амплитуд малы, на

Rhs мы можем подставить значения переменных x (1), x (2) на циклы, где эти

1 Тем не менее некоторые многомерные системы (например, лазеры) могут генерировать два независимых

Режимы, которые можно рассматривать в рамках модели.

В электронике эта разница соответствует разнице между резисторами (нет новых

Уравнения) и связь с реактивными элементами, такими как конденсаторы и индуктивности (которые

требует дополнительных уравнений). Один из таких примеров будет рассмотрен в разделе 12.3.

По сравнению с разделом 7.1, мы опускаем здесь индекс «0», когда обозначаем естественный

Частоты; вместо этого мы используем индекс, соответствующий номеру осциллятора.

Стр. Решебника 246

224

Взаимная синхронизация двух взаимодействующих периодических осцилляторов

Переменные являются уникальными функциями только фаз. Таким образом, мы получаем замкнутые уравнения для

Фазы

d φ 1

dt = ω 1 + ε Q 1 (φ 1, φ 2),

d φ 2

dt = ω 2 + ε Q 2 (φ 2, φ 1),

(8.4)

с 2 π - периодическими (пообоимаргументам) функциями Q 1,2.

Возможность записи замкнутых уравнений для фазовых переменных означает, что в

Многомерное фазовое пространство переменных (x (1), x (2)) существует двумерное

инвариантная поверхность, параметризованная фазами φ 1, φ 2. Более того, эта поверхность является

тор, поскольку сдвиг на 2 π вкаждойфазеприводиткоднойитойжеточкефазовогопространства.

Этот двумерный тор полностью аналогичен инвариантному тору для

Неавтономная система, описанная в разделе 7.3. Есть два способа охарактеризовать

динамика на инвариантном торе. Во-первых, мы можем использовать малость параметра

ε иусредненныеуравнения. (8.4). Другойподходоснован на построении круга.

Карта.

8.1.1

Усредненные уравнения для фазы

2 π - периодическиефункции Q 1,2 в уравнениях. (8.4) можно представить в виде двойного Фурье

Ряд

Q 1 (φ 1, φ 2) = ∑

К, л

а

К, л

1

е ik φ 1 + il φ 2,

Q 2 (φ 2, φ 1) = ∑

К, л

а

Л, к

2

е ik φ 1 + il φ 2.

В нулевом приближении фазы вращаются с невозмущенными (собственными) частотами

φ 1 = ω 1 t,

φ 2 = ω 2 t,

А в функциях Q 1,2 все слагаемые соответствуют быстрым поворотам, кроме

Удовлетворяющий условию резонанса

k ω 1 + l ω 2 ≈ 0.

Предположим, что две собственные частоты ω 1,2 находятся почти в резонансе:

ω 1

ω 2 ≈

м

п

.

Тогда все члены ряда Фурье с k = nj, l = - mj резонансны и

Вносят вклад в усредненные уравнения. В результате получаем

d φ 1

dt = ω 1 + ε q 1 (n φ 1 - m φ 2),

d φ 2

dt = ω 2 + ε q 2 (m φ 2 - n φ 1),

(8.5)

Стр. Решебника 247

Фазовая динамика

225

Где

q 1 (n φ 1 - m φ 2) = ∑ j a

Nj, - mj

1

e ij (n φ 1 - m φ 2),

q 2 (m φ 2 - n φ 1) = ∑ j a

Mj, - nj

2

e ij (m φ 2 - n φ 1).

Для разности фаз двух осцилляторов ψ = n φ 1 - m φ 2 получаем

Из (8.5)

d ψ

dt = −ν + ε q (ψ),

(8,6)

Где

ν = m ω 2 - n ω 1,

q (ψ) = nq 1 (ψ) - mq 2 (−ψ).

(8,7)