Между импульсами у нас есть автономный генератор, поэтому вся проблема может быть решена.

Делится на две задачи: решение автономных уравнений между импульсами и нахождение

действие δ - импульса. Обезадачиразрешимы, еслиучестьдействиесилы

(7.64) на простом нелинейном осцилляторе (7.6). Уравнение имеет вид

Г А

dt = (1 + i η) - (1 + i α) | А | 2 A + i ε p (t).

(7,65)

Здесь форсировка введена таким образом, что импульс изменяет переменную Im (A)

на ε инеменяетпеременную Re (A): Im (A +) = Im (A -) + ε, Re (A +) =

Re (А -). Решение уравнения. (7.65) между импульсами определяется формулами (7.9) и

эволюцию за время T (начиная с точки θ 0, R 0) можно записать как

R (T) = (1 +

R 2

0

R 2

0

е − 2 Тл)

− 1/2

,

θ (T) = θ 0 + (η - α) T -

α

2

Ln (R 2

0 + (1 - R 2

0) е − 2 Тл).

(7,66)

Представление изменения полярных координат R, θ вовремяимпульсакак

R + = √ R 2

- + 2 R - ε sin φ - + ε 2,

θ + = tan − 1 (tan θ - +

ε

R - cos θ -)

(7,67)

Завершает построение отображения. Тем не менее формулы (7.66) и (7.67) могут быть

значительно упрощается, если мы рассматриваем малое форсирование ε ≪ ​​ 1 ипринимаемсоответственно

что отклонения амплитуды R от единицы (амплитуды предельного цикла) малы.

Обозначим переменные непосредственно перед n- м импульсом как R n, φ n. Тогда для переменных

Сразу после импульса из (7.67) получаем

R + ≈ R n + ε sin φ n,

φ + ≈ φ n + ε cos φ n.

Стр. Решебника 235

Карта окружности и кольца

213

Подставляя это в решение (7.66), мы получаем отображение кольца (ср. [Za-

slavsky1978])

R n +1 = 1 + (R n - 1 + ε sin φ n) e − 2 T,

φ n +1 знак равно φ n + (η - α) T + ε cos φ n - α (R n - 1 + ε sin φ n) (1 - e − 2 T).

Если период воздействия большой, T ≫ 1, токартакольцевогопространстваоченьсжатая.

в R -направлении. Пренебрежение вариациями R дает карту круга:

φ n +1 = φ n + (ω 0 - α) T + ε cos φ n - αε sin φ n.

(7,68)

Отметим, что два нелинейных члена в (7.68) имеют разные вклады в фазу

сдвиг колебаний по фазе силы. Член ε cos φ n описывает

прямое влияние силы на фазу, а член αε sin φ n описывает

Влияние амплитудных возмущений: сила изменяет амплитуду, а поскольку

колебания неизохронны, возникает дополнительный фазовый сдвиг, пропорциональный α

(см. обсуждение в разделе 7.2.3).

7.3.4

Большая сила и переход к хаосу

Как мы видели, при малой амплитуде воздействия динамика карты кольцевого пространства имеет вид

Простая (фактически эквивалентная динамике отображения окружности): либо квазипериодическая

С иррациональным числом вращения или синхронизированным, когда число вращения рациональное.

В обоих случаях существует притягивающая инвариантная кривая. Для иррациональных чисел вращения

Эта кривая заполнена траекториями и является эргодической; для рационального числа вращения существует

- устойчивая (узел) и неустойчивая (седловая) периодическая орбита на кривой (или нескольких пар

Устойчивых и неустойчивых орбит), а кривая состоит из неустойчивых многообразий

Седло. Если форсирование невелико, единственная возможность для синхронизированного режима быть

Разрушена бифуркация седло-узел.

При больших амплитудах внешней силы возможны и другие переходы от синхросигнала.

Хронизация, и они обычно приводят к хаотическому поведению. Эти переходы были

описано в [Aronson et al. 1982; Афраймович, Шильников, 1983], и мы ссылаемся на

Читатель к этим бумагам для подробностей. Есть три основных сценария перехода на

Хаос, как следует.

Сценарий I

Первый сценарий - это переход к хаосу через удвоение периода стабильной

периодическая орбита (рис. 7.18). Здесь постоянно появляется странный аттрактор из

Стабильный узел и остается отделенным от седла. Движение становится хаотичным, но

Тем не менее, число вращения четко определено и остается рациональным, поэтому кажется, что

Режим работы можно охарактеризовать как синхронный, но с хаотической модуляцией.

Обратите внимание, что в этом сценарии инвариантная кривая становится негладкой до первого

Удвоения периода и не существует в виде гладкой кривой при дальнейших бифуркациях. В

Стр. Решебника 236

214

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Причина в том, что для удвоения периода множитель периодической орбиты

должен проходить через − 1, поэтомусначалаондолженстатьсложным. Затемузелстановится

фокус, а инвариантная кривая имеет вид, показанный на рис. 7.18а.

Сценарии II, III

При втором и третьем сценариях инвариантная кривая может потерять гладкость и

преобразовать в довольно дикий набор, как показано на рис. 7.19. Нет манящего хаоса

Пока, но некоторые из его предшественников существуют, в частности, в регионах с локальной нестабильностью в

Фазовое пространство. Эти области остаются временными, пока существует стабильный узел, но