Усреднения и получить универсальные уравнения, зависящие от нескольких существенных параметров.

Мы будем следовать здесь подходу Аронсона и др. [1990]. Как мы уже

Описал метод усреднения в разделе 7.2, здесь мы просто модифицируем уравнения

Для учета двунаправленной связи.

8.2.1

Общие уравнения

Возьмем два осциллятора, как правило, разные, и соединим их линейно.

¨ х 1 + ω 2

1 х 1 = F 1 (х 1, ˙ х 1) + D 1 (х 2 - х 1) + B 1 (˙ х 2 - ˙ х 1),

(8.10)

¨ х 2 + ω 2

2 х 2 = F 2 (х 2, ° х 2) + D 2 (х 1 - х 2) + B 2 (˙ х 1 - ˙ х 2).

(8.11)

Здесь ω 1,2 - частоты линейных несвязанных осцилляторов. Некоторые комментарии

Чтобы.

(i) Мы считаем связь линейной по переменным x 1,2, ˙ x 1,2. Это

оправдано, если собственные частоты ω 1 и ω 2 близки, что соответствует

Резонанс 1: 1. Действительно, главные члены справа - те, которые имеют

частоты ω 1,2, и такие члены линейны. Если линейные члены обращаются в нуль, имеем

рассматривать термины более высокого порядка; в этом случае синхронизация будет слабее.

(ii) Члены связи выбираются пропорциональными разностям переменных

И их производные. Эта связь исчезает, если состояния двух систем

совпадают x 1 = x 2, ˙ x 1 = ˙ x 2. Aronson et al. [1990] называют это сцеплением

«Диффузный». Другой возможностью может быть «прямое» соединение, где, например,

Уравнение (8.10) изменяется на

¨ х 1 + ω 2

1 х 1 = F 1 (х 1, ° х 1) + D 1 х 2 + B 1 ˙ х 2.

Разница между «прямой» и «диффузной» связью будет важна в

Учитывая явление «колебательной смерти», иначе свойства

Синхронизация одинакова для обоих типов муфт. 7

Как это обычно делается в методе усреднения, ищем колеблющееся решение

с некоторой общей (пока неизвестной) частотой ω, смедленноменяющейсякомплексно й амплитудой

Tudes A 1,2. Использование анзаца

х 1,2 (т) = 1

2

(A 1,2 (t) e i ω t + c. C.),

у 1,2 (t) = 1

2

(i ω A 1,2 (t) e i ω t + c. c.)

Мы обсуждаем разницу между членами связи, пропорциональными B 1,2 и D 1,2, в разделе

8.2.3.

Стр. Решебника 250

228

Взаимная синхронизация двух взаимодействующих периодических осцилляторов

Получаем следующие общие уравнения для медленно меняющихся комплексных амплитуд

A 1,2 (ср. Уравнение (7.41))

˙ A 1 = - i 1 A 1 + µ 1 A 1 - (γ 1 + i α 1) | A 1 | 2 A 1 + (β 1 + i δ 1) (A 2 - A 1),

˙ A 2 = - i 2 A 2 + µ 2 A 2 - (γ 2 + i α 2) | A 2 | 2 А 2 + (β 2 + я δ 2) (А 1 - А 2).

(8.12)

Здесь параметры частотной расстройки в первом приближении можно представить в виде

В виде

1,2 = ω 1,2 - ω.

Параметры связи β 1,2, δ 1,2 пропорциональны константам связи

В 1,2, Д 1,2. Остальные параметры µ 1,2, γ 1,2, α 1,2 такие же, как в формуле. (7.41).

Вводя действительные амплитуды и фазы согласно A 1,2 = R 1,2 e i φ 1,2, мы

получить систему четырех действительных уравнений:

˙ R 1 = µ 1 R 1 (1 - γ 1 R 2

1) + β 1 (R 2 cos (φ 2 - φ 1) - R 1) - δ 1 R 2 sin (φ 2 - φ 1),

˙φ 1 = - 1 - µ 1 α 1 R 2

1 + δ 1 (R 2

R 1

cos (φ 2 - φ 1) - 1) + β 1

R 2

R 1

sin (φ 2 - φ 1),

˙ R 2 = µ 2 R 2 (1 - γ 2 R 2

2) + β 2 (R 1 cos (φ 1 - φ 2) - R 2) - δ 2 R 1 sin (φ 1 - φ 2),

˙φ 2 = - 2 - µ 2 α 2 R 2

2 + δ 2 (R 1

R 2

cos (φ 1 - φ 2) - 1) + β 2

R 1

R 2

sin (φ 1 - φ 2).

(8.13)

Примечательно, что члены связи зависят только от разности фаз, так что мы можем

уменьшить количество уравнений, введя разность фаз ψ = φ 2 - φ 1.

С этой переменной система (8.13) принимает вид

˙ R 1 = µ 1 R 1 (1 - γ 1 R 2

1) + β 1 (R 2 cos ψ - R 1) - δ 1 R 2 sin ψ,

˙ R 2 = µ 2 R 2 (1 - γ 2 R 2

2) + β 2 (R 1 cos ψ - R 2) + δ 2 R 1 sin ψ,

˙ψ = - ν + µ 1 α 1 R 2

1 - µ 2 α 2 R 2

2 + (−δ 1

R 2

R 1 + δ 2

R 1

R 2) cos ψ + δ 1 - δ 2

- (β 1

R 2

К 1 + β 2

R 1

R 2) грех ψ.

Здесь ν = ω 2 - ω 1 - расстройка (рассогласование) собственных частот.

Приведенные выше уравнения являются довольно общими, и анализ всех возможных случаев

Слишком громоздко. Мы можем уменьшить количество параметров, если предположим, что

генераторы идентичны, за исключением их линейных частот, т. е. µ 1 = µ 2 = µ и т. д.

Кроме того, мы можем нормировать время на µ и амплитуды на √γ / µ, чтобыполучить

избавиться от двух параметров. Тогда оставшиеся коэффициенты β, δ следуетрассматриватькак

Стр. Решебника 251

Слабонелинейные осцилляторы

229

нормализовано к µ, а α какнормализованок γ / µ; дляпростотымыиспользуем,

Однако те же обозначения и перепишем систему как

˙ R 1 = R 1 (1 - R 2

1) + β (R 2 cos ψ - R 1) - δ R 2 sin ψ,

(8.14)

˙ R 2 = R 2 (1 - R 2

2) + β (R 1 cos ψ - R 2) + δ R 1 sin ψ,

(8.15)

˙ψ = −ν + α (R 2

R 2

2) + δ (-

R 2

R 1 +

R 1

R 2) cos ψ - β (R 2

R 1 +

R 1

R 2) грех ψ.

(8.16)

Эти уравнения были подробно изучены Аронсоном и др. [1990]. Здесь мы не

Хотите представить все свои результаты; мы скорее обсуждаем наиболее важные физические эффекты.

Прежде чем продолжить, напомним физический смысл параметров в уравнениях. (8.14) -

(8.16). Параметр α описываетнелинейныйсдвигчасто ты одиночного осциллятора;

изохронным колебаниям соответствует α = 0. Параметр ν - отстройка

собственные частоты; при совпадении частот ν = 0. Параметры δ и β

- константы связи, мы их классифицируем ниже.

Если осцилляторы изохронны (α = 0), переходксинхр онизирующему типу

Обычно происходит через бифуркацию седло-узел, при которой возникает предельный цикл, аналогично

К сценарию, описанному в разделе 8.1. Более сложная структура бифуркаций

наблюдается для неизохронного случая α = 0.

8.2.2

Смерть колебания или гашение

Интересное явление - гибель (гашение) колебаний - можно наблюдать, если

Связь носит диффузный характер, не имеет аналогов в случае периодического воздействия и

прямая муфта. Здесь при достаточно большой связи β иотстройкечастоты ν величина

origin R 1 = R 2 = 0 становится устойчивым, и колебания в обеих системах затухают из-за

Сцеплению.

Чтобы продемонстрировать это, запишем линеаризованные уравнения (8.12), где для простоты