Мы считаем все параметры равными. Кроме того, мы предполагаем, что связь

чисто диссипативный (см. обсуждение ниже), δ = 0. Наконец, выбираячастоту

ω = (ω 1 + ω 2) / 2 можно положить 1 = - 2 =

И получить

˙ A 1 = (i + µ) A 1 + β (A 2 - A 1),

˙ A 2 = (- i + µ) A 2 + β (A 1 - A 2).

Линейный анализ устойчивости дает собственные значения

λ = µ - β ± √β 2 - 2.

Таким образом, установившееся состояние A 1 = A 2 = 0 является устойчивым, если µ < β <(µ 2 + 2) / 2µ. Физически,

Эту устойчивость, вызванную взаимодействием, можно легко понять, если отметить, что диффузионная

Связь приводит к дополнительному рассеянию в каждой системе, и это рассеяние не может

Компенсироваться принудительным воздействием от другого генератора, если расстройка велика.

Стр. Решебника 252

230

Взаимная синхронизация двух взаимодействующих периодических осцилляторов

8.2.3

Привлекательное и отталкивающее взаимодействие

Сведем систему (8.14) - (8.16) к одному уравнению для фазы. Мы можем

сделайте это, если связь мала, т. е. если параметры β и δ можносчитать

Небольшой. Фактически, мы могли бы получить это с помощью приближения фазовой динамики, изложенного в

Раздел 8.1, но, поскольку мы уже усреднили уравнения. (8.14) - (8.16), проще

Вывести фазовое уравнение непосредственно из них. В первом приближении амплитуды

R 1,2 незначительно отклоняются от невозмущенных значений R 1,2 = 1:

R 1,2 ≈ 1 + r 1,2,

г 1,2 ≪ 1.

Вставляя это в уравнения. (8.14) и (8.15) дают в первом приближении

˙ г 1,2 = -2 г 1,2 + β (COS ψ - 1) ∓ δψ грех.

Мы видим, что возмущения амплитуды сильно затухают, поэтому можно считать

˙ r 1,2 ≈ 0, чтобыполучить

R 1,2 = 1 +

β

2 (cos ψ - 1) ∓

δ

2

грех ψ.

Подставляя это в (8.16), получаем

˙ψ = −ν - 2 (β + αδ) sin ψ.

(8.17)

Это уравнение совпадает с уравнением. (8.8) эффективная константа связи ε = − 2 (β +

αδ).

Рассмотрим сначала идентичные осцилляторы, ν = 0. Изуравнения (8.17) что

Стабильная разность фаз между фазами двух осцилляторов зависит от знака

коэффициент β + αδ. Е сли он положительный, то стабильная разность фаз равна 0, и мы

иметь притяжение фаз; если он отрицательный, стабильная разность фаз равна π и

Наблюдается отталкивающее взаимодействие. Поучительно обсудить физический смысл

Эти два типа взаимодействия.

Прежде всего, следует различать диссипативную и реактивную связь. в

В системе (8.10) и (8.11) слагаемые, пропорциональные D 1,2, являются реактивными, а слагаемые

Пропорциональные B 1,2 являются диссипативными. В самом деле, пренебрегаем на минуту нелинейным

и диссипативные члены (т. е. положим f 1,2 = 0) и рассмотрим линейный консервативный колебательный

Торс. Тогда результат связи становится понятным: члены связи пропорциональны

В D 1,2 сдвигают только собственные частоты, а члены, пропорциональные B 1,2, приносят

Диссипация. 8 Эти эффекты проявляются и в нелинейном случае. в

термины, используемые Аронсоном и др. [1990] два члена связи соответствуют скаляру (B)

И нескалярная (D) связь. Чтобы понять происхождение этих понятий, перепишем

Уравнение (8.10) как система двух уравнений первого порядка

˙ х 1 = у 1,

8 Видно, что дивергенция фазового объема определяется выражением - (B 1 + B 2), ср. [Шмидт и

Черников 1999].

Стр. Решебника 253

Слабонелинейные осцилляторы

231

˙ y 1 = - ω 2

1 x 1 + f 1 (x 1, y 1) + D 1 (x 2 - x 1) + B 1 (y 2 - y 1).

Мы видим, что член, пропорциональный B 1, описывает линейную связь через переменную

Y в уравнении для y, тогда как член, пропорциональный D 1, описывает линейную связь

Через переменную x в уравнении для y. В общем, если колебательная система

Записывается как система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, скалярный член

Связывает аналогичные переменные, в то время как нескалярный член описывает перекрестную связь.

Физически диссипативная связь, пропорциональная β, приводитвдвижениедвевзаимодействующиесистемы.

Переходит к более однородному режиму, в котором их состояния совпадают (если, конечно,

что β > 0). Врезультатеэтасвязьнапрямуюспособствует «синфазной» синхронизации

Осцилляторы, в соответствии с формулой. (8.17). Напротив, влияние

Реактивная связь априори не ясна. Чтобы описать влияние разных типов

зависимости от фазовой динамики рассмотрим рисунки на рис. 8.1 и 8.2.

На рис. 8.1 показан случай изохронных осцилляторов (α = 0). Панель (а)

Показывает взаимодействие из-за диссипативной (скалярной) связи: только коэффициенты B в

Уравнения. (8.10) и (8.11) присутствуют. Муфта действует как сила в направлении оси y,

И эта сила пропорциональна разнице y -переменных на двух предельных циклах.

Таким образом, соединение фаз является привлекательным. 9 Если фазы близки, действие не закончится.

Весь период колебаний, но только тогда, когда y -переменные достаточно разные

ferent, т. е. когда x близок к минимуму или к максимуму. Панель (b) показывает