Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2022-09-15 | 30 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Поскольку в правильном решении свободного нелинейного осциллятора секулярных членов появляться не должно, необходимо разработать такую процедуру решения уравнения, когда в каждом приближении подобные члены из решения исключаются. Построение процедуры рассмотрим на примере осциллятора с кубической нелинейностью.
Уравнение для осциллятора с кубической нелинейностью получается из общего уравнения (2.4), если в правой части сохранить только первый и третий члены
. (3.7)
Если бы мы воспользовались разложением, аналогичным (3.2), то пришли к системе уравнений
(3.8)
Решение порождающего (первого) уравнения при начальных условиях (3.3а) по-прежнему записывается в форме x (0) =
A 0cosw0 t. Второе же уравнение после подстановки х (0) приоб-ретает вид
.
Таким образом, мы пришли к уравнению колебаний с периодической вынуждающей силой, одна из частот которой совпадает с частотой свободных линейных колебаний. Поэтому при t ® ¥, x (1) ® ¥ и принятый метод решения не приводит к успеху. Недостаток метода состоит в том, что частота в нулевом приближении принимается равной частоте линейной задачи w = w0. Как следствие и в последующих приближениях правые части содержат функции с кратными частотами w = n w0. Таким образом, делается попытка построить решение с периодом линейной задачи
Т 0 = 2p¤w0. В действительности в нелинейных системах, если и возможны периодические решения, их период не совпадает с периодом Т 0, а зависит от параметра нелинейности e1. Именно это противоречие и приводит к возникновению резонансных членов в правых частях уравнений (3.8). Чтобы избежать появления секулярных членов, будем поэтому искать не только решение х в виде ряда по малому параметру, но и частоту w:
|
(3.9)
или
С учетом (3.9) уравнение (3.7) принимает вид
Приравнивая к нулю выражения при каждой степени e1, по-лучим
(3.10)
Система (3.10) отличается от (3.8) тем, что w соответствует периоду нелинейных колебаний и находится в процессе решения, а не является заданной величиной. В последующих приближениях правые части периодичны с тем же периодом Т = 2p¤w. Таким образом, строится согласованное решение.
Как и в случае квадратичной нелинейности, будем строить решение с начальными данными х (0) = А, (0) = 0. Этому условию будет удовлетворять система данных
(3.11)
Первое уравнение (нулевое приближение) системы (3.10) с начальными данными (3.11) имеет решение
(3.12)
а второе уравнение (первое приближение) принимает вид
(3.13)
Условием отсутствия резонанса является равенство нулю коэффициента при cos w t. Из этого условия следует, что
. (3.14)
Частное решение уравнения (3.13) в этом случае имеет вид
,
а общее решение уравнения первого приближения можно записать так:
,
где в силу начальных условий (3.11) B 1 = 0, .
Искомое решение уравнения (3.7) с точностью до членов первого порядка определяется тогда соотношениями
,
. (3.15)
Из (3.15) следует, что если частота свободных линейных колебаний не зависит от амплитуды колебаний, то частота свободных колебаний нелинейной системы определяется как свойствами системы, так и амплитудой. В частности, например, частота колебаний математического маятника будет определяться величиной начального угла отклонения от положения равновесия.
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!