Компьютерное моделирование и точность метода

молекулярной динамики.............................................................................. 91

 

11. Полевое описание систем многих частиц................................................. 96

Уравнение Лиувилля. Управляющие уравнения для открытых

систем. Релаксационное управляющее уравнение.

Сокращение уровня описания

 

12. Феноменологическая гидродинамика.................................................... 107

Концепция сплошной среды. Уравнения сохранения.

Определяющие соотношения ньютоновских жидкостей.

Коэффициенты переноса. Граничные условия для

уравнений гидродинамики

 

13. Идеальный (совершенный) газ................................................................. 119

Уравнения движения. Распространение малых

возмущений в газе. Скорость звука. Ударные волны

 

14. Нелинейные волны с дисперсией............................................................. 126

Гравитационные волны на поверхности жидкости.

Физическая природа дисперсии. Нелинейные волны I.

Уравнение Бюргерса. Уравнение Кортевега – де Вриза.

Солитоны. Спиральные волны в сердечной мышце

 

15. Уравнения сохранения смесей газов или жидкостей........................... 137

Уравнения переноса смесей газов и жидкостей.

Диффузия. Уравнение диффузии. Коэффициент

диффузии

 

16. Уравнения многожидкостной гидродинамики..................................... 143

Уравнения переноса. Определяющие соотношения.

Методы осреднения

 

17. Определяющие соотношения неньютоновских жидкостей................. 149

Нелинейно-вязкие жидкости. Вязкоупругие жидкости.

Нелинейные определяющие соотношения

18. Прямое численное моделирование II...................................................... 157

Метод вихревой динамики. Динамика системы

точечных вихрей. Метод вихревой динамики

 

19. Ламинарно-турбулентный переход......................................................... 165

Задача гидродинамической устойчивости.

Линейная устойчивость плоскопараллельных течений.

Вторичная неустойчивость течений. Конвективная

неустойчивость Рэлея – Бенара

 

Литература ......................................................................... 177

 

Fortis imaginatio generat casum [1].

 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

 

Идея написать курс лекций с подобным названием родилась давно, однако в силу обстоятельств ее не удавалось осуществить. Я вновь к ней вернулся, когда профессора В.И. Денисов и
Ю.Г. Соловейчик обратились ко мне с предложением прочитать нечто подобное для студентов и магистрантов НГТУ. В этом смысле можно сказать, что без их инициативы этот курс так и не родился бы, и мне хотелось бы выразить им свою признательность.

Познание обусловлено по крайней мере двумя движущими силами: любопытством человека, который не устает задаваться вопросом почему, и необходимостью изучать в созидательных целях. Всякое научное исследование тех или иных явлений и процессов начинается с наблюдения, которое обязано быть повторяющимся, и заканчивается построением модели. Сам процесс построения долгое время был, да и сегодня все еще в значительной мере остается, искусством, поскольку алгоритмов построения моделей все еще не существует.

Система отечественного инженерного образования традиционно строилась на освоении огромного фактического материала некоторой предметной области. Грубо говоря, освоение специальности происходило примерно так же, как изучение анатомии человека – необходимо выучить весь анатомический атлас. Однако, если в медицине такой подход оправдан и является первой исходной ступенью обучения, то в инженерной практике он явно недостаточен, а возможно, и порочен. Связано это в первую очередь с тем, что ежедневно появляется огромное число новых элементов, в «атласе» не зафиксированных. Кроме того, любые типовые объекты, включая однояйцовых близнецов, никогда не тождественны. В такой ситуации приоритетным в образовании, и в инженерном в частности, является изучение принципов создания тех или иных объектов (станков, паровых котлов, вычислительных машин и компьютерных программ, теплоэлектростанций и жилых домов, спутников, нефтепроводов и т.п.) и методов построения их математического описания – математических моделей. Это и есть фундаментализация инженерного образования. Именно так и ведется обучение в классических и технических университетах. При таком подходе к изучению любой дисциплины вырабатывается настоящий системный подход, любой предмет перестает восприниматься как простой набор формул и правил.

В сегодняшнем быстро меняющем свой технологический облик мире искусство построения моделей должно стать достоянием многих приходящих в лаборатории или на производство специалистов. Этому способствует то, что модели приобрели единый базис, их стали формулировать, пользуясь единым языком – языком математики. При этом выяснилось, во-первых, что многие модели в далеких предметных областях, казавшиеся совершенно разными, являются фактически одинаковыми, а, во-вторых, появился хотя и зыбкий, но вполне осязаемый путь построения математических моделей. Сегодня методологией построения моделей занимаются в нескольких разделах математики, прикладной математики, информатики и в некоторых других отраслях науки. В математике моделью называется некоторое множество элементов с заданной на нем системой отношений. В настоящем курсе мы не будем затрагивать этой проблемы. Цель его состоит в том, чтобы познакомить читателей с уже существующими математическими моделями. Поскольку курс ориентирован на специалистов в области прикладной математики, структурообразующим элементом цикла лекций явились уравнения. Все процессы и явления, с которыми человечеству приходится иметь дело, в той или иной степени меняются со временем. Скорость изменения различных величин – важнейшая, а часто и определяющая их характеристика. Но скорость некоторой величины – это ее производная по времени, т. е. модели всех природных или технологических процессов будут содержать производные или интегралы по времени. В связи с этим появились шесть частей курса.

 

Часть I. Модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.

 

Часть II. Модели, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных.

 

Часть III. Модели, описываемые интегральными уравнениями.

 

Часть IV. Модели, описываемые интегродифференциальными уравнениями.

 

Часть V. Модели, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями.

 

Часть VI. Конечно-разностные модели.

 

Безусловно, дать сколько-нибудь полное представление обо всех моделях даже одного класса (скажем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями) в рамках одного курса было бы не просто. Однако цель состояла в том, чтобы дать общее представление о типах существующих моделей и их характерных чертах. Этим же диктовался и отбор материала. Я старался рассказать о наиболее типичных моделях. Кроме того, я не касался моделей, обсуждаемых в традиционных курсах. По этой причине, например, в этом цикле лекций практически не затронуты уравнения Максвелла. Конечно, на отборе материала сказались и некоторые мои личные пристрастия. Но в мире нет совершенства.

Второй важный мотив – это обсуждение нелинейных моделей. Динамика большинства реальных систем (и природных, и искусственного происхождения) описывается нелинейными уравнениями. Необходимость практического их изучения стимулировала появление и быстрое развитие нескольких новых разделов математики, механики, физики, которые сейчас часто объединяют названием «теория нелинейных явлений».

Сложность изучения нелинейных систем, т. е. систем, описываемых нелинейными уравнениями, состоит в том, что до сих пор не развиты общие методы построения решений таких уравнений. На практике мы вынуждены использовать те или иные приближенные методы. Наиболее развиты здесь различные методы последовательных приближений, когда в качестве нулевого приближения берется решение соответствующей линейной задачи, а затем находятся поправки, связанные с нелинейными членами.

 

 

Нелинейные эффекты часто определяют качественно новые явления, которые в линейной теории просто отсутствуют. Именно с этим связана нетривиальность проблемы создания приближенных методов решения нелинейных задач. Эти методы, оперируя на каждом этапе линейными дифференциальными уравнениями, должны описать эффекты, в принципе в линейной теории отсутствующие. История их создания драматична, а у истоков теории стояли А. Пуанкаре, Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов,
Б.В. Галеркин, А.А. Андронов и другие выдающиеся математики, механики, физики.

Линейные уравнения чрезвычайно важны, но все тайны Господа, включая рождение человека, сокрыты в нелинейностях. Я старался привлечь внимание к тем особенностям рассматриваемых задач, благодаря которым нелинейность оказывается причиной новых явлений. Одна из замечательных черт теории нелинейных процессов состоит в том, что она дает возможность обнаружить множество таких явлений. При этом неожиданно оказывается, что подобные явления доступны исследованию методами, которые, будучи интересными и поучительными сами по себе, не являются трудными и не требуют применения сложного математического аппарата.

 

Часть I. Модели,