Автоколебания – колебания в некон-

Сервативных системах, поддерживае-

Мые за счет непериодических источ-

Точников.

 

Александр Андронов [5]

 

Автоколебательные системы

 

 

В реальных окружающих нас в природе и в технике колебательных системах имеют место те или иные силы сопротивления. Это приводит к тому, что свободные колебания в таких системах затухают и сами системы являются неконсервативными. Затухание свободных колебаний представляется достаточно естественным их свойством. Поскольку на преодоление сил сопротивления необходимо затратить определенную работу, собственные колебания осциллятора будут затухать, если со стороны нет притока энергии. Однако оказывается, что в определенных ситуациях в неконсервативном осцилляторе могут возникать в некотором смысле самопроизвольные колебательные движения. Диссипативные системы, в которых генерируются такие колебательные движения, называются автоколебательными, и их изучению и посвящен данный раздел. Типичными автоколебательными системами являются скрипичная струна, по которой равномерно скользит смычок, различные радиотехнические генераторы. Автоколебательным явлением будет и возникновение скрипа, когда мы пишем мелом на доске или протираем хрустальный бокал. Автоколебаниями являются и флаттер крыла самолета, и свист телеграфных проводов. Автоколебательными системами являются часы, двигатели внутреннего сгорания да практически все технологические устройства, в которых имеют место незатухающие колебания при отсутствии периодической подкачки извне. Чтобы пояснить суть явления автоколебаний, рассмотрим простейший линейный осциллятор с сухим трением.

 

Линейный осциллятор

С сухим (кулоновским) трением

 

В случае движения по твердой поверхности обычно можно считать, что возникающая между соприкасающимися телами величина силы трения скольжения не зависит от скорости и постоянна[6]. В поле тяжести эта сила пропорциональна силе нормального давления на поверхность  вдоль которой происходит движение

,                              (4.1)

 

где  – коэффициент трения, а  – скорость движения. Таким образом, линейный осциллятор (2.3), на который действует сила трения (4.1), описывается уравнением

 

.                           (4.2)

 

Это уравнение можно заменить системой двух уравнений

для ,

для .                    (4.2а)

Легко установить, что движение этого осциллятора будет периодическим и затухающим, причем на -м полупериоде амплитуда колебания равна . График колебаний показан на рис. 4.1. Траектория движения на фазовой плоскости ,  имеет вид сворачивающейся спирали (рис. 4.2).

Рис. 4.1. Характер колебаний при наличии

сухого трения

 

 

Рис. 4.2. Траектория движения на фазовой плоскости осциллятора

с сухим трением

Активная колебательная система.

Генератор Ван-дер-Поля

 

Что произойдет, если на осциллятор (4.2) действует сила с «положительным» коэффициентом трения? Обращаясь к эквивалентной системе уравнений (4.2а), можно показать, что теперь движение осциллятора будет ускоряющимся. Его траектория на фазовой плоскости описывается разворачивающейся спиралью и показана на рис. 4.3. Как реализовать подобную систему? Ясно, что для этого требуется источник энергии. Простейший пример механической автоколебательной системы показан на рис. 4.4. Здесь приведен обычный линейный осциллятор, представляющий собой груз (материальную точку) на пружинке, двигающийся в горизонтальной плоскости, так что в данный момент времени его скорость равна . В свою очередь груз находится на движущейся с постоянной скоростью ленте. Действующую на груз силу трения будем считать силой трения скольжения. Она, очевидно, зависит от относительной скорости движения груза по ленте и равна

 при  и  при .

В такой системе возникают, как принято говорить, автоколебания, т. е. незатухающие колебания, поддерживаемые в нелинейной диссипативной системе внешними источниками энергии[7]. Вид и свойства этих колебаний определяются самой системой и не зависят от начальных условий[8].

Последовательное изучение автоколебательных систем было начато более полувека назад при исследовании различных радиотехнических устройств. Типичной автоколебательной системой является ламповый автогенератор, показанный на рис. 4.5. Здесь  и r – соответственно индуктивность, емкость и сопротивление в цепи колебательного контура,  – взаимная индукция между анодной цепью и колебательным контуром в цепи сетки. Напряжение на сетке лампы (или на обкладках конденсатора) описывается уравнением

,                       (4.3)

где  – анодный ток, который является функцией напряжения, поэтому уравнение (4.3) можно переписать так:

.             (4.3а)

Здесь . Возникающие в -контуре малые колебания через индуктивность  управляют анодным током лампы. При некоторых условиях этот ток может приводить к усилению колебаний в контуре. Амплитуда этих колебаний будет нарастать, когда диссипативные потери в контуре меньше, чем вносимая таким образом энергия. Итак, в диссипативной системе устанавливаются стационарные периодические колебания, потери энергии компенсируются анодным током.

 

 

Рис. 4.3. Траектория движения на фазовой плоскости осциллятора

с «положительным» трением

Рис. 4.4. Механический пример

автоколебательной системы                      Рис. 4.5. Ламповый автогенератор

 

 

Теперь разберемся в условиях, которые необходимы, чтобы подобный автоколебательный режим в системе возник.

Если ток пропорционален напряжению , то уравнение (4.3а) становится линейным

                        (4.3в)

и наличие индуктивности  просто приводит к уменьшению эффективной диссипации в цепи. Следовательно, в линейной системе автоколебательный режим отсутствует[9], и для их возникновения нелинейность уравнения (4.3а) принципиальна. В общем же случае ток является нелинейной функцией напряжения, т. е. его можно аппроксимировать полиномом

.

В частности, если , приходим к уравнению Ван-дер-Поля

.                   (4.4)

Dynamical chaos will be used to denote

the sensitive dependence of the phase-space

trajectories upon the initial conditions of the

                                           system.

J.R. Dorfman

 

 

Поскольку в естественных науках

теорию нельзя доказать – ее можно

                                                      только опровергнуть.

 

Герман Хакен

 

Динамические системы.