Пиковский и Руффо, Physical Review E, Vol. 59, 1999, стр. 1633–1636. Авторские права

Г. Американским физическим обществом.

Стр. Решебника 318

296

Популяции глобально связанных осцилляторов

˙ x k = −ω k y k - z k + ε X,

˙ y k = ω k x k + ay k,

˙ z k = 0,4 + z k (x k - 8,5).

(12,47)

Эта модель похожа на формулу. (12.29) потому что здесь как распределение естественных

частоты ω k и шум (из-за внутренней хаотической динамики) присутствует. Синхро-

Переход к инициализации в системе (12.47) проиллюстрирован на рис. 12.7. Расчет

Наблюдаемые частоты k показывают, что при ε = 0,1 большинствоосцилляторов

Взаимно синхронизированы. Дополнительно изображаем последовательные максимумы

Переменная x k для каждого осциллятора. Эти максимумы имеют широкое распределение как ниже, так и

Выше порога синхронизации, что означает, что осцилляторы остаются хаотическими

Хотя они синхронизированы по фазе.

12,4

Библиографические примечания

Исследования больших популяций осцилляторов имеют относительно короткую историю: они стали

Популярны только с появлением достаточно мощных компьютеров. Среди ранних

мы упоминаем работу Winfree [1967], который также дал обзор лежащих в основе

биологические наблюдения и Павлидиса [1969]. Начиная с произведений Курамото

[1975, 1984], которые представили и решили фазовую модель, описанную в разделе 12.1,

Проблема вызвала большой интерес. Были применены различные математические подходы.

разработан Strogatz et al. [1992], ван Хеммен и Врезински [1993], Ватанабе

и Strogatz [1993], Watanabe и Strogatz [1994] и Acebrón et al. [1998]. Окуда

[1993], Дайдо [1992a, 1993b, a, 1995, 1996], Кроуфорд [1995], Кроуфорд и Дэвис

[1999], Strogatz [2000] и Balmforth and Sassi [2000] рассматривали общую связь

–20

–10

0

10

20

Икс

k

–20

–10

0

10

20

y

k

–20

–10

0

10

20

Икс

–20

–10

0

10

20

Y

а)

(б)

Рисунок 12.6. Проекции фазовых портретов одного осциллятора (а) и

среднее поле (12,46) (б) в ансамбле (12,45) с a = 0,25. Отметим, что для этого

Значение параметра система Рёсслера имеет так называемый аттрактор воронки, топологически

отличается от показанного на рис. 10.1а. Колебания среднего поля равны

предположительно из-за конечного размера ансамбля N = 10 000.

Стр. Решебника 319

Библиографические примечания

297

Функции. Ансамбли зашумленных фазовых генераторов исследовали Строгац и Миролло.

[1991], Bonilla et al. [1992], Bonilla et al. [1998], Hansel et al. [1993], Кроуфорд

[1994], Stange et al. [1998, 1999], Hong et al. [1999a] и Reimann et al. [1999].

Сдвиг фазы в функции связи или, что почти то же самое, задержка может изменить

динамика, как было обсуждено Сакагути и Курамото [1986], Christiansen et al.

[1992], Yeung and Strogatz [1999], SH Park et al. [1999a], Reddy et al. [1999]

и Choi et al. [2000]. Случайные фазовые сдвиги в связи могут создавать стеклообразные состояния.

(т.е. состояния с очень многими стабильными конфигурациями) [Daido 1992b; Bonilla et al. 1993;

Park et al. 1998]. Хоппенстедт и Ижикевич [1999] продемонстрировали, что Курамото

Система с квазипериодическим мультипликативным форсированием может работать как нейронная сеть.

Работа. Фазовые осцилляторы с инерцией демонстрируют гистерезисный переход первого рода.

[Tanaka et al. 1997а, б; Hong et al. 1999c, b]. Эффекты конечного размера описывались

Доусон и Гертнер [1987], Дайдо [1990] и Пиковски и Руффо [1999].

Глобально связанные джозефсоновские переходы (или, что то же самое, ротаторы), с и без

шум был рассмотрен Шиномото и Курамото [1986], Сакагучи и др. [1988b],

Рисунок 12.7. Последовательные максимумы x max

k

И наблюдаемые частоты k по сравнению с естественными

частот ω k в ансамбле из 5000 связанных систем Рёсслера (12.47) с

а = 0,15. Собственные частоты распределены по закону Гаусса с

среднеквадратичное значение ω = 0,02. (а, б) Связь ε = 0,05 немногониже

Порог перехода. Среднее поле почти равно нулю, а наблюдаемые частоты

совпадают с естественными. (в, г) Выше порога (ε = 0,1) большаячасть

осцилляторы образуют когерентное состояние (плато на (d)), а амплитуды остаются хаотическими.

(за исключением окна с периодом 3 для ω ≈ 0,97). Из [ Пиковский и др.

1996].

Стр. Решебника 320

298

Популяции глобально связанных осцилляторов

Strogatz et al. [1989], Golomb et al. [1992], Wiesenfeld et al. [1996], Цанг и др.

[1991b] и Визенфельд [1992]. В частности, расширенные состояния в этой системе привлекли внимание

большой интерес [Цанг и др. 1991a; Николс и Визенфельд 1992; Swift et al. 1992;

Строгац и Миролло 1993].

Ансамбли слабонелинейных осцилляторов изучались Ямагути и Симидзу.

[1984], Bonilla et al. [1987], Миролло и Строгац [1990a], Мэтьюз и Строгац

[1990] и Matthews et al. [1991]. Некоторые эффекты здесь, например, коллективный хаос [Хаким