Перейдем к аналитическому рассмотрению проблемы, следуя подходу

Миролло и Строгац [1990b]. Предположим сначала, что осцилляторы идентичны, с

собственная частота ω 0. Медленное движение задается функцией x = f (φ), где φ -

фаза, удовлетворяющая ˙φ = ω 0. Медленное движение соответствует росту фазы от

От 0 до 2 π ипри φ = 2 π происходитсрабатывание.

Для двух осцилляторов мы имеем течение на двумерном торе (рис. 8.3); это

сводится к одномерному отображению Пуанкаре. Выберем прямую φ 1 = 0

В качестве секущей, что означает, что мы ищем фазу второго осциллятора на

Моменты времени, когда срабатывает первый осциллятор. Построение отображения Пуанкаре

φ

(0)

2

→ F (φ

(0)

2

) проиллюстрировано на рис. 8.3. Начнем с точки 0 с координатами

φ 1 = 0, φ 2 = φ

(0)

2

. На первом этапе замедленного движения точка 1 с φ

(1)

2

= 2 π, φ

(1)

1

Знак равно

2 π - φ

(0)

2

Достигается. В этот момент срабатывает второй осциллятор и фаза первого.

тоже меняется. Поскольку мы предположили, что переменная x изменяется на ε, новаяфаза

2

φ 2

φ 2

φ

(c)

φ

2 π

0

1

2 π

φ

2 π

0

1

2 π

φ

2 π

0

1

2 π

4

0

1

3

2

0

1

0

2

3

1

3

а)

(б)

Рисунок 8.3. Построение отображения Пуанкаре для связанного интегрирования и огня.

Генераторы. Сплошные линии, медленные движения («интегрировать»); пунктирные линии - быстрые прыжки («огонь»).

Показаны три возможных типа траектории, начиная с φ 1 = 0. В (а) осцилляторы

не стреляйте одновременно. В (b) срабатывание осциллятора 2 вызывает срабатывание

осциллятор 1. В (c) срабатывание осциллятора 1 вызывает срабатывание осциллятора 2.

Стр. Решебника 256

234

Взаимная синхронизация двух взаимодействующих периодических осцилляторов

первый осциллятор задается формулой φ

(2)

1

= f − 1 (f (φ

(1)

1) + ε), где f − 1 - функция

обратный к f. Теперь возможны два случая. Если φ

(2)

1

≥ 2 π срабатываетпервыйосциллятори

фазы обоих осцилляторов перескакивают в ноль (рис. 8.3b), поэтому F (φ

(0)

2) = 0. В противном случае существует

еще один кусок медленного движения к точке φ

(3)

1

= 2 π, φ

(3)

2

= 2 π - φ

(2)

1

, с последующим

срабатывание осциллятора 1. При этом срабатывании изменяется фаза φ 2, и снова либо срабатывание

осциллятора 2 индуцируется (рис. 8.3c), и фаза φ 2 перескакивает на 2 π, 10 или срабатывание

не индуцировано, и конечной точкой отображения Пуанкаре является φ

(4)

2

= f − 1 (f (φ

(3)

2) + ε)

(Рис. 8.3а).

Легко видеть, что в силу симметрии отображение Пуанкаре φ 4

2 = F (φ 0

2

) можно написать

как двойная итерация карты h:

F (φ) = h (h (φ)),

h (φ) = f − 1 (f (2 π - φ) + ε).

(8.18)

Отображение h называется отображением стрельбы. Полученное отображение Пуанкаре имеет два плато, на которых

F (φ) = 0 или F (φ) = 2 π игладкаяобластьмеждуними, см. Рис. 8.4. Гладкий

Область дается формулой. (8.18) и зависит от формы колебаний f. Миролло

и Строгац [1990b] продемонстрировали, что если f монотонно и вогнуто вниз (т. е.

f ′ > 0, f ′′ <0), то гладкая часть отображения F строго расширяется (т. е.

Производная больше единицы). Это означает, что никакие другие аттракторы Пуанкаре

map возможны, кроме φ = 0. Точкапритяжения φ = 0 точносоотве тствует

До состояния полной синхронности, когда два генератора срабатывают одновременно.

Приведенную выше конструкцию легко обобщить на случай различных (в частности,

В частности, имеющие разные собственные частоты) осцилляторы. Медленное движение на рис. 8.3.

теперь будет прямой, не параллельной диагонали, но имеющей наклон ω 1 / ω 2.

Полученное отображение Пуанкаре имеет гладкую часть (которая, как и уравнение (8.18), имеет вид

Не до нуля, чтобы показать, что здесь мы имеем два срабатывания генератора 2 во время одного срабатывания

Осциллятор 1.

(б)

φ

φ

(φ)

(φ)

F

F

а)

Рисунок 8.4. Карта негладкого круга, описывающая синхронизацию релаксации

генераторы. (а) Генераторы идентичны; единственный аттрактор - неподвижная точка

φ = 0. (б) Осцилляторыимеютразныесобственныечастоты. Опривлечении

Периодическая орбита (пунктирная линия) только одно событие зажигания происходит одновременно в обоих

Осцилляторы; другие стрельбы не совпадают.

Стр. Решебника 257

Библиографические примечания

235

Представлен суперпозицией различных отображений срабатывания) и части, где

новая фаза (по модулю 2 π) тождественноравнанулю, см. рис. 8.4b. Устойчиваяпериодическаяорбита

это отображение обязательно проходит через точку φ 1 = φ 2 = 0, т. е. существует ровно один

Случай совпадающих стрельб. Пример синхронизации 2: 3 в системе с

Соотношение собственных частот ω 1 / ω 2 = 1,55 показано на рис. 8.5.

Свойства этого негладкого отображения Пуанкаре аналогичны свойствам гладкого.

(см. раздел 7.3). Основное отличие заключается в конструкции чертовой лестницы и