Периодической, а постоянная диффузии D измеряет качество самоподдерживающегося

Колебания, что является важной характеристикой часов и электронных генераторов.

В случае δ - коррелированногогауссовскогошума

K (t) = 〈 ξ (τ) ξ (τ + t) 〉 = 2 σ 2 δ (t),

(9,5)

распределение фазы также гауссово с дисперсией 2 σ 2 t (так что диффузия

константа равна интенсивности шума D = 2 σ 2). Это позволяет рассчитать

автокорреляционная функция естественной наблюдаемой x (t) = cos φ. Простыерасчеты

Дают экспоненциально затухающие корреляции

〈 X (t) x (t + τ) 〉 = 1

2 опыта [- 1

2

τσ 2 ] cos ω 0 τ,

Что соответствует лоренцевой форме спектра мощности с центром в точке

средняя частота ω 0. Ширина спектрального пика σ 2, т. Е. Пропорциональна величине

Константа диффузии фазы.

9.2

Синхронизация при наличии шума

9.2.1

Качественная картина ланжевеновской динамики

Как мы видели в разделе 7.1, основные особенности фазовой динамики фиксируются

усредненным уравнением (ср. уравнения (7.24) и (8.6)):

Стр. Решебника 260

238

Влияние шума

d ψ

dt = −ν + ε q (ψ),

(9,6)

где ψ - разностьфазосциллятораивнешнейсилы.

Естественный способ описать влияние шума - включить шумовой член в правую и правую стороны.

Рассмотреть уравнение Ланжевена

d ψ

dt = −ν + ε q (ψ) + ξ (t)

(9,7)

с аддитивным шумовым членом ξ (t). Таким образом, уравнение (9.7) описывает ситуацию, когда

Автогенератор запускается одновременно периодическим и стохастическим движением.

Сигнал.

Физически динамику Ланжевена (9.7) удобно интерпретировать как случайную

блуждание «частицы» в одномерном потенциале (см. рис. 9.2 ниже). Действительно,

Детерминированная сила в правой части (9.7) может быть записана как

− ν + ε q (ψ) = -

DV

d ψ

,

V (ψ) = νψ - ε ∫

ψ

Q (x) dx.

(9,8)

Кроме того, движение чрезмерно затухает, поскольку фаза ψ неимеетинерции. 1 Без

Шума, «частица» либо попадает в минимум наклонного потенциала, либо скользит

вниз по нему (рис. 9.1). Потенциал с минимумом дает устойчивые стационарные состояния 2 и

Описывает синхронизацию, а монотонный потенциал соответствует квазипериодическому

Состояние с вращающейся фазой (см. также качественное обсуждение в разделе 3.4).

Шум мало влияет на квазипериодическое состояние: здесь средняя скорость

Движение «частицы» отличное от нуля и лишь незначительно изменяется из-за шума. На

Напротив, влияние шума на синхронное состояние может быть значительным. Действительно, это

Может вытолкнуть «частицу» из устойчивых положений и, если шумовая сила велика, она

Может вывести «частицу» из одного состояния равновесия в другое. Фаза тогда

изменяется на ± 2 π, иэтособытиеназывается фазовым сдвигом. Мы проиллюстрируем этот процесс на

Рис. 9.2. Для проскальзывания фазы «частица» должна преодолеть потенциал

1 Частица с затуханием обычно подчиняется уравнению m ¨ x + γ ˙ x + dV / dx = 0 (ср. Уравнения (7.69) и

(7.71)), но при очень большом затухании (γ →∞) второйпроизводнойможнопренебречьи

получить уравнение типа (9.6). Такое же уравнение можно получить в пределе m → 0.

Для простоты изложения рассмотрим только ситуацию с одним минимумом потенциала

в интервале [0, 2 π).

-

∆

∆

а)

(б)

V +

V

Рисунок 9.1. Фаза как

«Частица» в наклонном

потенциал V (ψ). а) Дело

синхронизации:

Потенциал имеет минимум

И частица остается там.

(б) Вне

Область синхронизации

«Частица» скользит вниз. Из

[Пиковский и др. 2000].

Стр. Решебника 261

Синхронизация при наличии шума

239

барьер V ±, так что вероятность скольжения может быть мала. В целом вероятность

Скольжения растет с интенсивностью шума и уменьшается с высотой преграды. Таким образом, если

ν = 0, вероятностипроскальзывания + 2 π и − 2 π различны, такчтовсреднем

«Частица» движется в одном направлении и наблюдаемая разность частот ψ = 〈 ˙ψ 〉

Отличен от нуля. 3 Временная эволюция фазы напоминает таковую в бесшумной системе.

вблизи синхронизирующего перехода (сравните рис. 9.2 с рис. 7.5), только теперь

Фазовые сдвиги появляются нерегулярно.

Однако здесь следует различать случаи ограниченного и неограниченного шума.

В случае неограниченного (например, гауссова) шума могут возникать очень большие толчки и проскальзывания.

Возможны даже при высоких барьерах V. В этой ситуации появляются промахи для

любой ненулевой интенсивности шума, и для любого ненулевого ν вероятностиправогоилевого

накладки разные. Таким образом, разность частот ψ является монотонно убывающей

функция ν иобластьсинхронизации (область, где ψ = 0) исчезает.

Другой сценарий возникает, если шум ограничен. Теперь для небольших (относительно

3 Для удобства введем обозначение ψ = 〈 ˙ψ 〉; это соответствует разнице

Между наблюдаемой частотой осциллятора и частотой внешней силы, или