Между двумя наблюдаемыми частотами связанных осцилляторов.

0

200

400

600

800

1000

Время

–30

–20

–10

0

10

ψ / 2 π

а)

3

− π

0

π

ψ

(г)

(c)

1

2

(б)

Рисунок 9.2. (а) Снимки ланжевеновской динамики с различной амплитудой шума σ 2

и несовпадение ν. Кривая 1: диффузия фазы в «свободном» зашумленном генераторе.

(ε = 0). Кривая 2: небольшойшумиумеренноерассогласование; промахиредки. Кривая 3:

То же рассогласование, что и для кривой 2, но более сильный шум; промахи появляются довольно часто и

фаза вращается быстрее. В (b) - (d) гистограммы фазы, взятые по модулю 2 π, имеютвид

Показаны для кривых 1–3 соответственно. Свободная диффузия дает однородную

Распределение. В противном случае распределение фазы имеет максимум вблизи стабильной

фазовое положение бесшумной системы. Из [Пиковский и др. 2000].

Стр. Решебника 262

240

Влияние шума

высота барьера) шум скольжения невозможны и наблюдаемая частота остается прежней

Фактически ноль. Только когда барьеры достаточно малы, возникают проскальзывания и синхронизация

строго говоря, уничтожен. Мы проиллюстрируем эти две возможности на рис. 9.3.

Здесь мы хотели бы обсудить определение синхронизации в шумных

Системы. Если кто-то предпочитает определять синхронизацию как идеальное увлечение частоты,

без сдвигов фазы, то ситуация на рис. 9.3b не удовлетворяет этому определению.

Для шумных систем нам кажется разумным ослабить требование точной

совпадение частот, а для описания процесса как на рис. 9.2 и 9.3b, где

Частоты почти подстраиваются, синхронизируются или почти синхронизируются.

Мы также можем принять другую точку зрения на динамику Ланжевена, сосредоточив внимание на вопросах

Ция: как периодическая сила влияет на зашумленную фазовую динамику. Из качественного

Из рисунка рис. 9.1 видно, что сила подавляет не только скорость дрейфа

частица, но и диффузия. Константа диффузии может обращаться в нуль для ограниченного шума;

Но даже для неограниченного гауссовского шума он может стать экспоненциально малым в центре

Области синхронизации, как мы продемонстрируем ниже для случая белого шума.

9.2.2

Количественное описание белого шума

Теперь мы хотели бы представить количественное описание синхронизации в прессе.

Возникновение шума. Мы можем сделать это, если предположим, что шум имеет хорошие статистические свойства.

Если он гауссовский и δ - коррелированный, мощнаятеория, основаннаянатеорииФоккера–Планка.

уравнение, можно применить [Стратонович 1963; Risken 1989; Гардинер 1990]. Следовательно

мы используем это предположение в оставшейся части этого раздела. Среднее значение шума ξ равно

Принимается равным нулю (в противном случае он может быть поглощен параметром отстройки частоты

ν: ν → ν - 〈 ξ 〉), а его интенсивность характеризуется одним параметром σ 2, см.

Уравнение (9.5). Мы следуем здесь интерпретации Стратоновича стохастического дифференциала

уравнение (9.7). Тогда плотность распределения вероятностей фазы P (ψ, t) подчиняется

уравнение Фоккера – Планка (УФЭ) [Стратонович, 1963; Risken 1989; Гардинер 1990]:

ψ

ψ

Ω

Ω

а)

ν

ν

(б)

Рисунок 9.3. Разность частот в зависимости от рассогласования для ограниченного (а) и неограниченного (б)

Шум. Плато (область синхронизации) сохраняется при небольшом ограниченном шуме,

Но исчезает в случае неограниченного шума.

Стр. Решебника 263

Синхронизация при наличии шума

241

∂ P

∂ t = -

∂ [(- ν + ε q (ψ)) P ]

∂ψ

+ σ 2 ∂ 2 P

∂ψ 2

.

(9.9)

Аналогично, мы можем написать

∂ P

∂ t +

∂ S

∂ψ =

0,

Где поток вероятности S определяется как

S = - P

DV

г ψ -

σ 2 ∂ P

∂ψ

,

(9.10)

И V - потенциал, задаваемый формулой. (9.8).

Мы ищем стационарную (не зависящую от времени) плотность вероятности. Стационарный

решение СПУ (9.9) должно быть 2 π - периодическимпо ψ, илегкопроверить, что

следующее выражение удовлетворяет как уравнение. (9.9) и это условие:

¯ P (ψ) =

1

С ∫ ψ + 2 π

ψ

Ехр (

V (ψ ′) - V (ψ)

σ 2

) d ψ ′.

(9.11)

Константу C можно найти из условия нормировки ∫

2 π

0

¯ P (ψ) d ψ = 1.

Используя решение (9.11), можно найти постоянный поток вероятности S

S =

σ 2

C (1 - e 2 πνσ − 2

),

что напрямую связано со средней разностью частот ψ. Действительно, вычисляя 〈 ˙ψ 〉

Из уравнения Ланжевена (9.7) и используя (9.10), получаем

ψ = 〈 ˙ψ 〉 = 〈 − ν + ε q (ψ) 〉 = ∫

2 π

0

-

DV

d ψ ¯

Р (ψ) d ψ = 2 π S.

Для продолжения рассмотрим типичный вид члена связи q (ψ) = sin ψ. В

В этом случае константы S, C могут быть выражены через функции Бесселя комплексного

порядка [Стратонович 1963], но для практических численных целей непрерывный ГРП

Представление решения, описанного Рискеном [1989], более удобно.

Представляя ¯ P (ψ) ввидерядаФурье

¯ P =

+ ∞

∑

−∞

P n e в ψ

И подставив это в (9.10), получаем бесконечную систему

- (в σ 2 + ν) P n +

ε

Я

(P n − 1 - P n +1) = S δ n, 0.

(9.12)

Из условия нормировки следует, что P 0 = 1 / 2 π, аизреальности¯ P следует, что P - n =

P ∗ n. Переписывая (9.12) при n > 0 как

P n

P n − 1

Знак равно

1

(ν + в σ 2) 2 i

ε +

P n +1

P n

Стр. Решебника 264

242

Влияние шума

и повторяя это соотношение, начиная с n = 1, мы можем представить решение в виде