Быстро сходящаяся (и поэтому численно приятная) непрерывная фракция

P 1 =

(2 π) − 1

2

я ν - σ 2

ε

+

1

2

i ν - 2 σ 2

ε

+

1

2

i ν - 3 σ 2

ε

+ ···

(9.13)

Из уравнения. (9.12) при n = 0 получаем связь между первой гармоникой P 1 и потоком

S:

S = -

ν

2 π -

ε Im (P 1).

Таким образом, средняя разница частот равна

ψ = −ν - 2 πε Im (P 1).

Интересно, что действительная часть P 1 дает показатель Ляпунова фазы

динамика. Действительно, линеаризованное уравнение. (9.7) (в случае q (ψ) = sin ψ) имеетвид

d δψ

dt = ε cos ψ · δψ,

А средний логарифм возмущения растет как

λ = 〈

d ln δψ

Dt

〉 = Ε 〈 cos ψ 〉 = 2 π Re (P 1).

Показатель Ляпунова характеризует устойчивость фазы. Для исчезновения шума,

σ 2 = 0, устойчиво только синхронизированное состояние, в то время как квазипериодическое состояние имеет нулевое

Показатель Ляпунова. В случае σ 2 > 0 качественное различие исчезает:

Показатель Ляпунова отрицателен для всех несовпадений ν.

Приведены зависимости средней разности частот и ляпуновской

показатель степени от параметров системы на рис. 9.4. (Из выражения (9.13) видно

что величина P 1 фактически зависит от двух параметров ν / ε и σ 2 / ε; здесьмыисправляем

ε ипредставимнарис. 9.4 однопараметрическоесемействокривых.) Впределе σ 2 → 0 имеем

Получить результаты для чисто детерминированного случая, рассмотренного в главе 7. Эффект

шума состоит в том, чтобы размыть плато в зависимости разности частот ψ от

отстройка частоты ν, хотяпрималыхшумахотклонениявцентре

Области синхронизации экспоненциально малы.

Показатель Ляпунова всегда отрицательный, как в области синхронизации

около ν = 0 ивсостоянии, когдадетерминир ованный режим является квазипериодическим. Таким образом,

Фазовая динамика устойчива по отношению к возмущениям начальных условий. Этот

Приводит к возможности синхронизации двух идентичных генераторов, управляя ими

С таким же шумом (см. раздел 15.2).

Достаточно полную статистическую картину фазовой динамики можно сформулировать в следующем виде:

случай малого шума [Стратонович 1963]. Здесь фазовые сдвиги редки и хорошо

Стр. Решебника 265

Синхронизация при наличии шума

243

Отдельные события, длительность которых намного меньше характерного временного интервала между

их (см. кривую 2 на рис. 9.2). Таким образом, динамику фазы можно представить

как последовательность независимых скачков + 2 π и − 2 π. Посколькуфазабыстро«забывает»

Свой предыдущий скачок, весь процесс можно приблизительно считать пуассоновским,

характеризуется одним параметром - скоростью скачка. Если отстройка частоты ν равна

отличны от нуля, то скорости скачков в положительном и отрицательном направлениях G + и G - равны

Разные. В терминах этих скоростей можно выразить среднюю разность частот как

Средняя скорость фазового дрейфа

ψ = 2 π (G + - G -),

И дисперсия фазового распределения

〈 (Ψ - 〈 ψ 〉) 2 〉 = (2 π) 2 (G + + G -) t

Определяет постоянную диффузии. Приведенные выше формулы являются результатом наблюдения, что

Числа положительных (отрицательных) скачков за интервал времени t - случайные числа с

средние значения G ± t и дисперсии G ± t (процесс пуассоновский!); поскольку положительный

И отрицательные скачки статистически независимы, средние значения и дисперсии могут быть

просто добавил. Точные выражения для G ± даны Стратоновичем [1963], они

Здесь получаются как средние времена преодоления броуновской частицей барьеров

Потенциал. Диффузия через барьер в случае малого шума описывается уравнением

–2

–1

0

1

2

ν

–2

–1

0

1

2

Ω

ψ

–1,0

–0,8

–0,6

–0,4

–0,2

0,0

λ

а)

(б)

Рисунок 9.4. Показатель Ляпунова (а) и усредненная частота (б) зашумленных

периодический осциллятор под действием внешней силы, для ε = 1 иразличныхамплитудшума

(сплошная линия: σ 2 = 0,01; пунктирная линия: σ 2 = 0,1; пунктирная линия: σ 2 = 1; длинная пунктирная линия:

σ 2 = 10).

Стр. Решебника 266

244

Влияние шума

известная формула Крамерса [Risken 1989; Gardiner 1990], согласно которому

вероятность экспоненциально зависит от высоты преграды (см. рис. 9.1):

G ± ∝ exp (

- V ±

σ 2

).

Обычно одна из вероятностей намного больше другой, и мы наблюдаем

Последовательность сдвигов фазы, для которой средняя разность частот и фаза

Постоянные диффузии того же порядка величины. Только в центре

Область синхронизации, где барьеры потенциальной

V ± равны, а

средняя разность частот ψ исчезает, случайное блуждание показывает положительные и отрицательные

Прыгает с равной вероятностью. Константа диффузии в последнем случае экспоненциально

Маленький для исчезновения шума.

9.2.3

Синхронизация квазигармонической флуктуирующей силой

Здесь мы обсуждаем действие квазигармонической (узкополосной) внешней стохастической силы

на периодическом осцилляторе. Такая проблема естественно возникает, например, в теории фазового