Имеет постоянные значения в областях синхронизации, т. е. эта функция принимает

Различные постоянные значения на плотном множестве подынтервалов. Эта функция также

непрерывный и монотонный [Katok, Hasselblatt 1995] и называется дьявольским

лестница (рис. 7.16). Мера всех рациональных подынтервалов обращается в нуль при

ε → 0, ноонравенполноймеренакритическойпрямой ε = 1. Дьявольский

Лестница с положительной мерой точек между постоянными подынтервалами

Называется неполным, а случай, когда мера всех постоянных подынтервалов равна

полная (т. е. равная мере Лебега) называется полной чертовой лестницей.

Множество всех иррациональных чисел вращения канторовского типа можно охарактеризовать следующим образом:

его фрактальные размерности см. [Jensen et al. 1983] для подробностей.

Переход в синхронизацию и обратно происходит через седло-узел.

Раздвоение. Это точно такой же переход, который мы описали в

Раздел 7.1.7, поэтому мы не будем здесь повторять подробности. Основной результат (7.35) можно

Непосредственно применяться к зависимости числа вращения от частоты

Так же, как иррациональные числа многочисленны среди реальных.

η / 2 π

ε

1/2

3/5 2/3 3/4

1/1

5/4 4/3 7/5

3/2

Рисунок 7.15. Майор Арнольд

Языки в синусоиде

Карта (уравнение (7.51)). Советы

Регионы с рациональным

Числа вращения коснитесь

ось ε = 0 прирациональныхзначениях

из η / 2 π. Обратитевниманиенасимметрию

η → 2 π - η.

Стр. Решебника 231

Карта окружности и кольца

209

Отстройка: вблизи границ области синхронизации следует

Закон квадратного корня

| ρ - ρ 0 | ∼ | η - η c | 1/2.

(7,63)

Отметим, что зависимость (7.63) дает лишь «огибающую» для вращения

число, которое как функция η насамомделесодержитбесконечномногомалыхшагов.

Все приведенные выше результаты действительны для гладких однозначных круговых карт. Как у нас

Видно при рассмотрении релаксационных осцилляторов, в некоторых ситуациях карта круга

Не обратима и может иметь как плоские участки, так и несплошности. Некоторый

Свойства таких отображений близки к гладкому случаю. Число вращения может

Для монотонных отображений с разрывами, и может быть либо

Рациональный или иррациональный. Основное отличие от гладкого случая состоит в том, что режимы

со стабильными периодическими орбитами может быть в изобилии, например, в отображениях с конечными плоскими

Области и без вертикальных скачков могут существовать квазипериодические режимы, но они

обычно занимают набор с нулевой мерой в пространстве параметров [Boyd 1985;

Веерман 1989]. Здесь переход к синхронизации не происходит через

Гладкая бифуркация седло-узел, но может быть и резкой.

Когда квазипериодическая внешняя сила действует на периодическое колебание, мы можем написать

Вместо уравнения. (7,48)

d φ

dt = ω 0 + ε Q (φ, ω 1 t, ω 2 t),

0,6

1.0

1.4

0,6

1.0

1.4

ρ

η / 2 π

Рисунок 7.16. Дьявола

Лестница: зависимость

Число вращения на

параметр η длясинуса

Карта круга (уравнение (7.51)) с

ε = 1. Основныеплато

Соответствуют рациональным

Не все

Рациональные интервалы

Изображен, поэтому

Регионы на концах

Большие интервалы выглядят как

Пробелы.

Стр. Решебника 232

210

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

где Q (·, ·, ·) 2 π - периодиченповсемсвоимаргументам. Здесьунасестьдвавнешних

частоты ω 1, ω 2, которые считаются несоразмерными. Это уравнение

Описывает движение на трехмерном торе, а в качестве отображения Пуанкаре мы

Получим вместо (7.51) квазипериодически вынужденное отображение окружности типа (см.

[Ding et al. 1989; Glendinning et al. 2000] для подробностей).

φ n +1 = φ n + η + ε 1 sin φ n + ε 2 sin (2 π

ω 2

ω 1

п + а).

Как следует из результатов Германа [1983], число вращения (7.52)

Существует и для этой карты. Динамика может быть синхронизирована по фазе, если

ρ =

П 2

Q 2

ω 2

ω 1 +

П 1

Q 1

,

Или несинхронизировано в противном случае. В синхронизированном состоянии наблюдаемые

Частота колебаний - это рациональное сочетание двух внешних

Частоты; в несинхронизированном состоянии происходит движение с тремя

Несоизмеримые частоты. Квазипериодическая движущая сила также может быть

анализируется в контексте слабонелинейных осцилляторов (см. [Ланда и

Таранкова 1976; Landa 1980, 1996] для подробностей).

Теория круговой карты имеет непосредственное применение для синхронизации.

Свойства вынужденных осцилляторов. Прежде всего, дает полное качественное описание.

Динамики для малых и средних форсировок. Основное сообщение (по сравнению с

Теории разделов 7.1 и 7.2, где мы ограничились

Приближение по амплитуде воздействия) состоит в том, что существует не только основная синхронизирующая