Эта карта зависит от двух параметров, их физический смысл прямо следует из

Уравнение (7,49). Параметр η = ω 0 T = 2 π T / T 0 пропорционален отношению

Период силы и период автоколебаний. Это зависит от

частота внешней силы. Параметр ε пропорционаленамплитуде

внешняя сила. При ε = 0 имеемлиней ное вращение (сдвиг окружности), а ε управляет

Уровень нелинейности 10 в отображении (7.51). Наша цель - описать динамику

уравнения (7.51) на плоскости параметров (η, ε); мыделаемэтоввидеследующих

Предложения.

1. Поскольку мы рассматриваем фазу по модулю 2 π, т. Е. Наокружности 0 ≤ φ <2 π,

динамика не изменится, если к параметру η добавить± 2 π. Этоозначает, что

диаграмма состояний периодична по η спериодом 2 π. Поэтомуобычнотолько

В литературе рассматривается интервал 0 ≤ η <2 π наплоскостипараметров.

Однако для наших целей случай резонанса η ≈ 2 π (чтоозначает

T ≈ T 0) является наиболее важным. Отметим также, что 2 π (η - 1) = 2 π (T - T 0) / T 0 равно

эквивалентен параметру ν, характеризующемуотстройкуча стоты (см.

Уравнение (7.23) выше).

2. Отображение (7.51) обратимо, если | ε | ≤ 1 инеобратимымпри | ε | > 1. (Для

общего отображения (7.49) обратимость не выполняется, когда ε F ′ (φ) = − 1 внекоторойточке φ.)

Линия ε = 1 называетсякритической: надней может происходить хаотическая динамика.

Фактически, вблизи критической линии карта круга больше не представляет собой

Реальная динамика вынужденной системы (7.5) и полное M -мерное кольцо

Вместо этого следует рассмотреть карту. Обсуждаем границы действия

Карта круга в разделе 7.3.4. В этом разделе мы описываем обратимую динамику,

в предположении, что ε <1.

10 Строго говоря, исходный автогенератор с ε = 0 являетсянелинейнойсистемой, нов

В контексте круговой карты неудобный случай удобно рассматривать как линейную карту. Этот

Является следствием линейности фазового уравнения (7.3).

Стр. Решебника 227

Карта окружности и кольца

205

3. При ε = 0 динамика (7.51) представляетсобойтривиальноелинейноевращениенаокружности, которое

является периодическим или квазипериодическим в зависимости от того, является ли параметр η / 2 π

рациональный или иррациональный. При ε > 0 динамикутакжем ожно охарактеризовать

Единственный параметр, называемый числом вращения. Для данной начальной точки ф 0 в

число оборотов определяется как средний фазовый сдвиг за одну итерацию:

ρ (φ 0) = lim

п →∞

Ф п - ф 0

2 π n

.

(7,52)

Известно (см., Например, [Katok, Hasselblatt 1995]), что число вращения

не зависит от начальной точки φ 0 и одинаково для прямого (n →∞)

и обратных (n →−∞) итераций. Этопростоследуетизмонотонности

Характер карты: итерации разных начальных точек не могут отличаться более

чем 2 π, т ак что ρ независитот φ 0. Таким образом, ρ зависитотпараметров

только круговая карта. Ясно, что при ε = 0 числовращения ρ = η / 2 π.

Есть только два типа динамики: движения с рациональной и иррациональной.

Числа вращения. Прежде чем вдаваться в подробности, обсудим интерпретацию

Число вращения через колебания исходной системы (7.5).

Поскольку n измеряет время в единицах внешнего периода T, число вращения

Можно переписать как

ρ = lim

t →∞

Т (φ (t) - φ (0))

2 π т

= ω,

(7,53)

Где мы вводим наблюдаемую частоту

Как средняя скорость

Чередование фаз

= lim

t →∞

φ (t) - φ (0)

т

.

Соотношение (7.53) показывает, что число вращения - это отношение наблюдаемых

Частота колебаний к частоте внешней силы. (Обратите внимание, что это соотношение

Должен быть инвертирован, если карта круга написана для фазы внешнего

Силы, как для рассмотренного выше осциллятора принудительной релаксации.)

Иррациональное число вращения соответствует квазипериодической динамике

фаза. Согласно теореме Данжуа [Denjoy 1932; Каток и Хассельблатт

1995], в случае иррационального числа вращения ρ нелинейноеотображениеокружности

(7.51) можно преобразовать подходящей заменой переменной φ = g (θ) (с

очевидное свойство g (θ + 2 π) = 2 π + g (θ)) сдвигаокружности

θ n +1 знак равно θ n + 2 πρ.

(7,54)

Решение (7.54) тривиально, поэтому решение отображения окружности дается

от

φ n = g (θ 0 + n 2 πρ).

(7,55)

Стр. Решебника 228

206

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Любая 2 π - периодическаяфункцияот φ (например, любаяизисходныхпеременныхфазовогопространства

X k), следовательно, является квазипериодической функцией дискретного времени n.

Согласно формуле. (7.53) иррациональное значение ρ означает, чтонаблюдаемое

Частота и частота внешней силы несоизмеримы, и

Это две основные частоты квазипериодического движения.

Если круговая карта имеет периодическую орбиту, число вращения является рациональным. Действительно, на