Периодической орбите число вращения, очевидно, рационально, и оно

независимо от начальной точки. При линейном вращении ε = 0 всеточкина

окружности периодичны, но это вырождение исчезает в нелинейном случае ε = 0.

Обычно периодические точки нелинейного отображения изолированы. Если периодический орбита

имеет период q, а за q итераций фаза φ совершает p оборотов (так что

φ n + q = φ n + 2 π p), то число вращения ρ = p / q.

Теперь рассмотрим периодические орбиты, начиная с тех, которые имеют период один, т. Е.

с неподвижными точками. Они соответствуют основному резонансу T ≈ T 0, поэтому мы

положим ρ = 1 ирассмотриморбитыс q = p = 1. Эти орбиты удовлетворяют

φ + 2 π = φ + ω 0 T + ε F (φ)

И являются решениями уравнения

ω 0 T - 2 π + ε F (φ) = 0.

Решение существует, если

− ε F мин ≤ ω 0 T - 2 π ≤ ε F макс,

(7,56)

Более того, в этой области параметров есть как минимум два решения. Это просто

чтобы проверить, что одна из них устойчива (с d φ n +1 / d φ n <1) и одна нестабильна (с

d φ n +1 / d φ n > 1). Для общих функций F, имеющих более одного минимума и

Максимум, решений одного периода может быть больше двух, но они

Всегда появляются парами: стабильный и нестабильный. Важно отметить, что

Соотношение (7.56) определяет область синхронизации с числом вращения 1 на

плоскость параметров (η, ε) (сравнитеРис. 7.4a иРис. 7.15 позже).

Свойства периодических орбит с более длинными периодами качественно одинаковы.

Как орбиты с периодом один. Действительно, повторяя уравнение. (7.49) q раз дает

Также круговая карта типа (7.49) с некоторой более сложной зависимостью от

параметры η, ε. Фиксированнаяточкаэтойповторяющейсякарты, удовлетворяющая

φ q = φ 0 + 2 π p

(7,57)

является периодической орбитой отображения (7.49) с числом вращения ρ = p / q.

Стр. Решебника 229

Карта окружности и кольца

207

Область синхронизации, соответствующую числу вращения p / q, может быть

найдено в первом приближении по ε. Предполагая, что ω 0 T = 2 π p / q + εκ

в (7.49) и сохраняя (итерацией этого отображения) только слагаемые O (ε), получим

φ n + q = φ n + ε q κ + 2 π pq · ε ˜ F (φ n)

(7,58)

С нелинейной функцией, заданной

˜ F (φ n) =

F (φ n) + F (φ n + 2 π p

q) + ··· + F (φ n + (q - 1) 2 π p

q

)

q

.

(7,59)

Если представить F (φ) ввидерядаФурье

F (φ) =

∞

∑

к = −∞

А к е ik ф,

то функция ˜ F имеет вид

˜ F (φ) =

∞

∑

l = −∞

а lq e ilq φ,

(7.60)

то есть, он состоит только из гармоник 0, ± д, ± 2 д,... исходной 2 π - периодической

Функция F. Используя (7.58) и (7.57), получаем область синхронизации (ср.

(7,56))

− ε ˜ F min < ω 0 T - 2 π

п

q < ε ˜ F макс.

(7,61)

Поскольку функция ˜ F получается из F посредством эффективного усреднения (7.59), ее

Амплитуда уменьшается с q, и поэтому при больших q синхронизация

Интервал небольшой. Более того, как видно из (7.60), если исходная нелинейная

функция F не содержит гармоник ± lq, область синхронизации

с числом вращения p / q обращается в нуль в первом приближении по ε.

Это в точности так для синусоидальной окружности (7.51). Здесь следует учитывать

Члены более высокого порядка, что приводит к следующей оценке ширины

область синхронизации [Арнольд 1983]

η ∼ ε q.

(7,62)

Так как в круговой карте возможны только два режима, а именно периодический и

квазипериодически, мы можем построить диаграмму состояний, как показано на рис. 7.15. Все регионы

синхронизации имеют форму вертикальных языков [Arnold 1961], теперь называемых

Арнольд говорит на языках. Кончик языка с числом вращения ρ = p / q

касается точки ε = 0, η = 2 π p / q. Все пространство на плоскости

Параметров между языками соответствует квазипериодическим движениям с

Иррациональные числа вращения.

Языки Арнольда образуют вертикальные полосы на плоскости параметров, поэтому

порядок рациональных чисел на прямой ε = 0 повышеннавсюобласть

Стр. Решебника 230

208

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

0 < ε <1. Этоозначает, чтодлякаждого ε мыимеемупорядоченнуюпоследовательность

Интервалы синхронизации со всеми возможными рациональными числами вращения. В

В частности, эти интервалы всюду плотны: между каждыми двумя

В квазипериодических режимах с разными числами вращения существует

Область синхронизации.

С топологической точки зрения квазипериодический режим неустойчив и

синхронное состояние является устойчивым: при фиксированном изменении ε и η синхронизация

происходит на интервалах η, аквазипериодичностьнаблюдаетсянаизолированных

Точки. Это означает, что квазипериодическое состояние можно разрушить произвольным

Небольшое возмущение. Однако с вероятностной точки зрения квазипериодическая

режимов многочисленны: 11 как было доказано Арнольдом [1961], при малых ε

Мера Лебега всех интервалов синхронизации стремится к нулю при ε → 0; это

Означает, что возмущения, нарушающие квазипериодичность, скорее

Исключительный.

8. При фиксированной амплитуде ε числовращения ρ какфункцияпараметра η