Полустабильные Ленточные Графики

Ниже приведен набор определений, взятых из [Zn15] для описания
понятия полустабильного ленточного графа, занимающего центральное место в этой работе.

2.1. Ленточные графики. Под графом мы подразумеваем комбинаторный объект, состоящий из
вершин, ребер, которые разделяются на половины ребер и отношений падения. Мы избегаем изолированных

ГОМОЛОГИЯ ПОЛУСТАБИЛЬНЫХ ГРАФОВ

3

σ

0

σ

∞

σ

1

Рисунок 1.

Пример перестановок, определяющих ленту

График вокруг граничного цикла.

вершины. Этот объект аналогичен одномерному CW- комплексу с точностью до клеточного
гомеоморфизма.

Нам нужно будет рассмотреть специальный граф, гомеоморфный окружности S

1

только с
одним ребром и без вершин. Мы называем это полустабильным кругом. Следующее
определение ленточного графика допускает возможность наличия нескольких связанных
компонентов, некоторые из которых, возможно, являются полустабильными окружностями.

Ленточный граф Γ является конечным графом вместе с циклическим упорядочением на каждом множестве

Смежных полукруглых ребер к каждой вершине.

Если H- множество полукруглых ребер, а v- вершина Γ, пусть H

v

Быть набором полукруглых ребер

примыкает к этой вершине. Валентность вершины v равна тогда |H

v

|, мощность

H

v

Трехвалентный граф - это граф, для которого все вершины имеют валентность три. Циклический

Упорядочение в вершине v- это упорядочение H

v

Вплоть до циклической перестановки. Один раз

Циклическое упорядочение H

v

Выбирается циклическая перестановка H

v

Определяется (элемент

От

S

H

v

): он перемещает половину ребра к следующему в циклическом порядке. Определить по σ

0

То

Элемент

S

H

(группа перестановок, действующих на H), которая является продуктом

все циклические перестановки в каждой вершине. Кроме того, пусть σ

1

Быть той инволюцией, которая

меняет местами два полукруга на каждом ребре Γ. Обратите внимание, что σ

0

не действует на
полукруги, принадлежащие полустабильным окружностям (так как полустабильные окружности не имеют вершин).
Эти комбинаторные данные полностью определяют график ленты.

Если быть более точным, ленточный граф Γ можно построить из комбинаторных данных
следующим образом. Пусть H- конечное множество четной мощности вместе с подмножеством
(возможно, пустым) S ⊂ H, таким что |S| также четно. Пусть σ

1

∈

S

H

Будьте инволюцией

без фиксированных точек, при которых S инвариантно и σ

0

∈

S

Ч−С

быть таким, что σ

0

является продуктом циклических перестановок с непересекающейся поддержкой. Вершина Γ затем
задается как орбита σ

0

, в то время как ребро является орбитой σ

1

Множество вершин может

отождествляться с V (Γ) = (H − S)/ σ

0

и множество ребер с E(Γ) = H/ σ

1

.

Полустабильные окружности соответствуют парам полукруглых ребер на орбите σ

1

Которые принадлежат

К С.

Пусть σ

∞

= σ

− 1

0

σ

1

∈

S

Ч−С

где σ

1

ограничивается H − S. Набор острие является

определяется как C(Γ) = (H − S)/ σ

∞

⊔ S. Обратите внимание, что таким образом, каждый полустабильный круг
имеет два выступа, представленных каждым полукругом. Полукруги на орбите острия
образуют циклически упорядоченный набор полукругов, называемый граничным циклом. В случае, если

4

Джей Зи

U

НИГА

Рисунок 2.

Все три графика имеют только одно ребро. Первый - это
полустабильный круг с двумя полукруглыми краями и без вершин. Второй
- это петля с одной вершиной. Третье - ребро с двумя вершинами.
На первых двух графиках есть две точки, в то время как на третьем
- только одна.

Рисунок 3.

Каждый показанный график связанной ленты генерирует сферу

С тремя помеченными точками.

полустабильные окружности граничный цикл содержит только один элемент (соответствующее
полукруглое ребро, связанное с острием). Учитывая граничный цикл, не исходящий из
точки, представленной полуребром в S, его полуребра образуют граф, называемый граничным
подграфом

. Например, на рисунке 1 пограничный цикл, представленный в середине
, образует пограничный подграф с тремя ребрами и тремя вершинами (средний треугольник
в качестве подграфа). Причина таких названий станет очевидной позже. Для
полустабильного круга мы позволим σ

∞

Будьте личностью.

Острия и вершины валентности один или два будут называться различающимися

Очки

. Заметьте также, что знание σ

1

и σ

∞

Полностью определяет ленту

структура графика, так как у нас есть σ

0

= σ

1

σ

− 1

∞

.

Петля - это ребро, падающее только на одну вершину. Дерево - это связный граф T

С тривиальными

H

∗

(T).