В этом . Если в дополнение все Z

i

они полустабильны, мы называем это полустабильной последовательностью.
Изоморфизм ленточных графов с допустимыми последовательностями
- это изоморфизм ленточных графов, сохраняющий допустимые последовательности.

Замечание 2.16. Длина последовательности будет соответствовать максимальному порядку
связанного полустабильного ленточного графика. Обратите также внимание, что существует естественная биекция
между парами ленточных графиков с нулевой длиной и P- меткой.

Пренебрежимо малое подмножество (Γ, Z

•

) представляет собой последовательность D

•

= (D

0

, Д

1

,..., D

k

) такой, что все

D

i

Являются незначительными и удовлетворяют D

i

⊂ Д

i − 1

И Д

i

⊂ З

i

. Вызовите N (Γ, Z

•

) набор из

пренебрежимо малые подмножества (Γ, Z

•

).

Замечание 2.17. Легко проверить, что у нас есть биекция между пренебрежимо малыми подмножествами
Γ и пренебрежимо малыми подмножествами (Γ, Z

•

) с помощью естественного ограничения. Более того,
мы можем свернуть по ничтожно малым подмножествам так же, как мы делали это раньше. Задана
допустимая последовательность Z

•

И незначительное подмножество D

•

Мы определяем краевой коллапс

из (Γ, Z

•

) вдоль D

•

как (Γ / Γ

D

0

, (Z/D)

•

) где (Z/D)

•

является последовательностью, вызванной
краевым коллапсом. Можно показать, что результат также допустим и имеет такую же
длину.

Теперь, когда мы знаем, как сворачиваться вдоль ничтожных подмножеств, мы также хотим
иметь возможность сворачивать допустимые последовательности вдоль полустабильных подмножеств, но нам нужно
быть осторожными в том, как мы определяем новую последовательность. Пусть (Γ, Z

•

) быть графом ленты с P - меткой
вместе с допустимой последовательностью. Подмножество S ⊂ E(Γ) складывается
относительно (Γ, Z

•

) если у нас есть Z

i

Это для всех меня. Это последнее определение похоже на
концепцию складного подмножества для полустабильных ленточных графов и выполняет ту же
функцию. По следующей лемме мы предполагаем, что S полустабильна в Γ, иначе мы
всегда можем свернуть первую S − S

Sst

получение допустимой последовательности той же длины
, что и в предыдущем замечании.

Лемма 2.18.

Учитывая складывающееся подмножество S относительно (Γ, Z

•

) и полустабильный

в Γ мы можем индуцировать новую допустимую последовательность (Z/S)

•

Индуктивно.

Доказательство. Пусть i- целое число, удовлетворяющее S ⊂ Z

i

и С ⊂

/ Z

i+1

Тогда у нас есть (Z/S)

j

=

Z

j

для j ≤ i. Множество (Z/S)

i+1

= S ∪ Z

i+1

И (Z/S)

i+2

= Z

i+1

. Теперь, если S ∩ (Z

i+1

−

ПОЛУСТАБИЛЬНАЯ ГОМОЛОГИЯ ГРАФОВ

15

Z

i+2

) = ∅ тогда (Z/S)

i+3

= (S − Z

c

i+1

) ∪ Z

i+2

И (Z/S)

i+4

= Z

i+2

, в противном случае

Мы получили бы (Z/S)

i+3

= Z

i+2

. Мы можем продолжать этот процесс до последнего шага:
либо мы исчерпываем все S, что означает, что последним элементом последовательности будет
(Z/S)

l

= Z

k

, или мы получим (Z/S)

l

= S − Z

с
к

Где k - длина Z

•

и l длина
новой последовательности. Можно показать, что полученная последовательность допустима и
будет иметь l > k, поскольку S полустабильна в Γ. Полученная пара тогда (Γ, (Z/S)

•

).

Предложение 2.19.

График ленты с Р - меткой вместе с допустимой последовательностью

Z

•

Может использоваться для построения полустабильного ленточного графика с P- меткой.

Доказательство. Для i > 0 мы всегда можем свернуть Z

i

− Z

Sst

i

Так как эти наборы незначительны из - за

К максимализму. Поэтому мы можем предположить, что все Z

i

являются полустабильными для i > 0.

непересекающееся объединение Γ / Γ

Z

1

⊔ ˆ

Γ

Z

1

естественно наследует полустабильную структуру ленточного графа
посредством инволюции, идентифицирующей исключительные вершины с соответствующими
исключительными граничными циклами. Связанные компоненты ˆ

Γ

Z

1

− Зет

ST

1

Являются полустабильными

круги. Компоненты в Γ / Γ

Z

1

Содержат только вершинные узлы и, следовательно, все те

компоненты имеют нулевой порядок. Все компоненты ˆ

Γ

Z

1

имейте по крайней мере один
cuspnode, связанный с вершиной - узлом в компоненте нулевого порядка, и, следовательно, все эти
компоненты имеют порядок один. P - маркировка естественным образом индуцирует P- маркировку на
полустабильном ленточном графике. Мы можем индуктивно применить этот процесс к ˆ

Γ

Z

i

и

Z

i+1

, таким образом, получая P- меченый полустабильный ленточный граф (Γ / Γ

Z

1

⊔ ˆ

Γ

Z

1

/ Γ

Z

2

⊔ · · · ⊔

ˆ

Γ

Z

k

, i, x).

Теперь настала очередь описать связь между ленточными графами с полустабильными
последовательностями и полустабильными ленточными графами с украшениями по касательным направлениям.

Теорема 2.20.

Существует естественная биекция между классами изоморфизма P-
меченых ленточных графов с полустабильными последовательностями и классами изоморфизма P - меченых
полустабильных ленточных графов с украшениями по касательным направлениям. Эта идентификация
сохраняет классы изоморфизма пренебрежимо малых и складных полустабильных подмножеств (по
отношению к заданным структурам) и коммутирует с краевым коллапсом
соответствующих множеств.

Доказательство. Пусть Γ - ленточный граф с P- меткой и Z

•

полустабильная последовательность. Эти данные
генерируют полустабильный ленточный график с P- меткой в соответствии с предложением 2.19. Чтобы получить
украшения по касательным направлениям, достаточно отслеживать, где
на исходном графике были прикреплены половинки вершины - узла. Это соответствие
естественным образом сводится к соответствию классам изоморфизма.

Теперь предположим, что у нас есть полустабильный ленточный график с P- меткой, украшенный
касательными направлениями. Украшения по касательным направлениям позволяют нам реконструировать
ленточный граф с P- меткой, используя конструкцию склеивания вершин - узлов и
граничных циклов. Поскольку это определяется только с точностью до изоморфизма, это соответствие
хорошо определено в классах изоморфизма. На представителе каждый компонент
полустабильного графика индуцирует подграф ленточного графика. Вместе с порядком
это определяет последовательность подграфов Z

•