Полустабильная гомология графов

13

полустабильного ленточного графика. Обратите также внимание, что дополнительное условие имеет смысл только
тогда, когда у нас есть полустабильная структура ленточного графа (которая несет инволюцию).
Теперь, когда выполняется полный коллапс граничного подграфа, соответствующего
узлу, этот подграф не исчезнет. Вместо этого он создаст полустабильный круг.
Индуцированная инволюция без фиксированных точек свяжет старый вершинный узел и
вновь сгенерированный вершинный узел с обоими вершинами этого полустабильного круга. Таким образом
, индуцированная инволюция удовлетворяет условию связывания только острых узлов с
вершины - узлы и наоборот. Другим следствием является то, что полустабильное подмножество (в
отличие от незначительного) полустабильного ленточного графа с P- меткой может
содержать граничные подграфы, приводящие к вершинам - узлам.

Определение 2.13.

Если Γ - полустабильный ленточный граф с P- меткой, а Z ⊂ E(Γ) -
сворачиваемое подмножество ребер, то коллапс ребер представляет собой новый полустабильный ленточный
граф с P- меткой, определенный следующим образом.

• В виде ленточного графика с P- меткой коллапс ребра равен Γ /Z. Обратите внимание, что

изменение определения пренебрежимо малого подмножества создает полустабильные круги для
каждого полного коллапса гомотопического круга без помеченных точек, который
соответствует узлу острия.

• Существует функция нового порядка, определенная индуктивно. Для этого мы выражаем Z

как непересекающееся объединение Z = ⊔ Z

i

k

Так что Z

i

k

Является множеством всех ребер порядка i

k

в Z, где k = {1, 2, 3,...}. Мы можем предположить, что я

k

’ ы находятся в восходящем

приказ. Определите функцию порядка на Γ /Z

i

1

Следующим образом.

–

Все подключенные компоненты в Γ / Γ

Z

i1

Порядка меньше или равного i

1

Выполняйте их приказы.

–

Порядок любого подключенного компонента в ˆ

Γ

Z

Sst

i1

Это я

1

+ 1.

–

Все подключенные компоненты в Γ / Γ

Z

i1

На порядок больше, чем я

1

Увеличение

Их заказ по одному.

Это определяет функцию порядка на Γ /Z

i

1

= Γ / Γ

Z

i1

∪ ˆ

Γ

Z

Sst

i1

. По замечанию 2.8
мы можем продолжать этот процесс индуктивно на k до тех пор, пока не сгенерируем
функцию порядка для Γ /Z.

• Возможно, существуют новые индуцированные узлы вместе с инволюцией без

фиксированные точки. В случае полного коллапса гомотопического круга без
помеченных точек, соответствующего вершинному узлу, старый вершинный узел и
вновь сгенерированный вершинный узел связаны с обоими вершинными узлами
сгенерированного полустабильного круга. Следуя индуктивной
конструкции в предыдущем пункте, можно показать, что результирующая инволюция без фиксированной
точки удовлетворяет определению, требуемому полустабильным ленточным графиком.

Предыдущее определение на самом деле является леммой, которую мы изложим ниже.

Лемма 2.14.

Краевое свертывание разборного подмножества
полустабильного ленточного графа с P- меткой создает новый полустабильный ленточный граф с P- меткой того же
топологического типа, но, возможно, с большим количеством компонентов более высокого порядка и большим количеством узлов.

Замечание 2.15. Чтобы получить полустабильные ленточные графики с более высокими порядками, нам нужно
последовательно свернуть несколько подмножеств ленточного графика. Следовательно, правильное понятие
коллапса ребер в категории P- помеченных полустабильных ленточных графов - это
последовательное свертывание сворачиваемых подмножеств.

14

Джей Зи

U

НИГА

2.3. Допустимые Последовательности. Исправьте пару связанных узлов на
полустабильном ленточном графике с P- меткой меткой. Направление касательной - это выбор склеивания между
вершинным узлом и граничным циклом, соответствующим узлу - точке, как в Определении 2.2.
Этот выбор должен быть совместим с циклическими порядками на множестве полуколец
узла - вершины и ребер графа, связанных с исключительным граничным
циклом, соответствующим узлу - точке. Затем мы просто выбираем элемент
конечного множества классов изоморфизмов графов, созданных с помощью конструкции склеивания.

Украшение касательными направлениями на полустабильном ленточном графике - это
выбор касательных направлений для каждой пары связанных узлов. Изоморфизм
полустабильных ленточных графов, украшенных касательными направлениями, должен сохранять
касательные направления в том смысле, что на соответствующих склеиваниях существует индуцированный изоморфизм графа
.

Учитывая P- помеченный ленточный граф Γ, допустимой последовательностью является последовательность

Z

•

= (E(Γ) = Z

0

, Z

1

,..., Z

k

)

Такой, что Z

i

⊂ З

Sst

i − 1

, где включение является строгим. Мы называем k длиной se-

квенс. Пара (Γ, Z

•

) обозначает помеченный ленточный график и допустимую последовательность