Гомология полустабильных графов

Года

ГОМОЛОГИЯ ПОЛУСТАБИЛЬНЫХ ГРАФОВ

JAVIER Z ´

U

НИГА

Абстрактный.

Используя разложение орбицелла компактификации Делиня - Мамфорда
пространства модулей римановых поверхностей, изученных в [Zn15], построен
цепной комплекс, основанный на полустабильных ленточных графах, который является
продолжением гомологии графов Консевича в [Kon93].

Содержание

Введение

1

Полустабильные ленточные графики

2

Ленточные графики

2

Полустабильные ленточные графики

7

Допустимые последовательности

14

Комплекс Полустабильных Ленточных графов

16

Оценка и ориентация

16

Дифференциал

17

Различия с предыдущей работой

20

Рекомендации

20

Введение

Пространство модулей римановых поверхностей находится на пересечении многих
важных областей математики, таких как комплексный анализ, алгебраическая геометрия, алгебраическая
топология и математическая физика, и это лишь некоторые из них. Когда требуется, чтобы топологический тип
поверхности имел помеченные точки рода g и n, пространство модулей M

G,n

параметризует классы изоморфизма сложных структур на такой поверхности, и это
решение так называемой проблемы модулей Римана. Это пространство, также называемое
открытым пространством модулей, обладает многими богатыми алгебраическими, геометрическими, аналитическими и топологическими
свойствами, однако оно не компактно. Компактификация Делиня - Мамфорда (DM)
M

G,n

увеличивает пространство модулей, позволяя римановым поверхностям вырождаться
в устойчивые поверхности с (двухточечными) особенностями, добавляя новые точки в открытое
пространство модулей. Выполняя реальное расширение компактификации DM вдоль
локуса особых поверхностей, можно получить пространство M

G,n

, который также компактен, но
теперь имеет топологическую границу, параметризующую вырождения. Геометрически
можно думать о новых точках на границе этого пространства как о запоминании угла
, под которым замкнутая геодезическая на римановой поверхности вырождается, образуя сингулярность.

Украшение каждой помеченной точки поверхности положительными действительными числами приводит к

В пространстве М

Дек

G,n

= M

G,n

× ∆

n − 1

очевидным образом, здесь ∆

n − 1

является стандартным n − 1

Дата: 24 сентября 2018 года.

1

2

Джей Зи

U

НИГА

размерный симплекс. Аналитически можно рассматривать эти украшения как остатки
определенных квадратичных дифференциалов на поверхности, как в [Str84], или как длины
определенных гороциклов, как в [Pen87]. Это понятие распространяется на компактификации
M

декабрь
g,n

И М

декабрь
g,n

В случае пространства M

декабрь
g,n

Его топология - это топология M

G,n

×∆

n − 1

.

Однако в случае M

декабрь
g,n

Его топологию нелегко описать. Разница

Между типами гомеоморфизма M

декабрь
g,n

И М

G,n

× ∆

n − 1

существуют определенные торические
особенности, как указано в [Zn15]. Однако они по - прежнему гомотопически эквивалентны.

Преимущество работы с оформленными пространствами заключается в том, что они имеют естественную
декомпозицию орбиселл с помощью ленточных графиков. Концевич использует это разложение для
доказательства гипотезы Виттена в [Kon92], а также показывает в [Kon93], как
это связано с

∞

- алгебры. Костелло использует двойную версию в [Cos09] для построения
открытых и закрытых топологических конформных теорий поля. На самом деле Концевич использует частичную
компактификацию M

Дек

G,n

в [Kon92], дальнейшее изучение Лойенги в [Loo95] и
Звонкина в [Zvo04]. Они используют понятие стабильного ленточного графика. Эта частичная
компактификация пропускает более высокие слои коразмерности

M

G,n

Определение M

декабрь
g,n

приведенный в [Zn15] захватывает все слои M

G,n

, и путем введения M

декабрь
g,n

могут быть разработаны дальнейшие приложения. С другой стороны, понятие графа, которое
необходимо для решения M

декабрь
g,n

является ли это полустабильным ленточным графом. Эти новые графики
объясняют поведение, аналогичное явлению “ пузырения ” в J- голоморфных
кривых.

Орбитальное разложение M

декабрь
g,n

естественным образом приводит к построению цепного
комплекса (с соответствующим понятием ориентации), который может быть использован, например
, для получения комбинаторного решения Главного квантового уравнения (QME). Это
уравнение было изучено с точки зрения теории струн Цвибахом
в [Zwi93] и далее формализовано Костелло в [Cos09] в его закрытой версии. Для
теории открытых и закрытых струн Цвибах представляет решение в [Zwi98], которое формализовано
в [HVZn10]. Во всех этих случаях BV- алгебра строится на основе сингулярной или
геометрические цепочки и решение QME даются с использованием фундаментальных классов. Эта
работа представляет собой первый шаг к чисто комбинаторному решению QME
с использованием расширения гомологии ленточных графов [Kon93] с помощью теории
, разработанной в [Zn15]. Это ожидается из - за изоморфизма M

декабрь
g,n

∼

= M

гребень
g,n

,

Где М

гребень
g,n

обозначает пространство модулей полустабильных ленточных графов. Все эти
решения являются различными геометрическими воплощениями чисто алгебраического явления, которое
приводит к решению QME в формализме BV, изученном в [KWZn12].
Аналогичным образом можно представить себе обобщение M

гребень
g,n

к открытому - закрытому случаю
, который может дать комбинаторное решение QME в [HVZn10]. Полустабильные
ленточные графики в этом более общем случае должны учитывать границы и
помеченные точки в этих границах на связанных граничных римановых поверхностях.

Рисунок 1.

Пример перестановок, определяющих ленту

Циклическое упорядочение H

v

Определяется (элемент

От

S

H

v

): он перемещает половину ребра к следующему в циклическом порядке. Определить по σ

0

То

Элемент

S

H

(группа перестановок, действующих на H), которая является продуктом

все циклические перестановки в каждой вершине. Кроме того, пусть σ

1

Будьте инволюцией

без фиксированных точек, при которых S инвариантно и σ

0

∈

S

Ч−С

быть таким, что σ

0

является продуктом циклических перестановок с непересекающейся поддержкой. Вершина Γ затем
задается как орбита σ

0

, в то время как ребро является орбитой σ

1

Множество вершин может

отождествляться с V (Γ) = (H − S)/ σ

0

и множество ребер с E(Γ) = H/ σ

1

.

Полустабильные окружности соответствуют парам полукруглых ребер на орбите σ

1

Которые принадлежат

К С.

Пусть σ

∞

= σ

− 1

0

σ

1

∈

S

Ч−С

где σ

1

ограничивается H − S. Набор острие является

определяется как C(Γ) = (H − S)/ σ

∞

⊔ S. Обратите внимание, что таким образом, каждый полустабильный круг
имеет два выступа, представленных каждым полукругом. Полукруги на орбите острия
образуют циклически упорядоченный набор полукругов, называемый граничным циклом. В случае, если

4

Джей Зи

U

НИГА

Рисунок 2.

Все три графика имеют только одно ребро. Первый - это
полустабильный круг с двумя полукруглыми краями и без вершин. Второй
- это петля с одной вершиной. Третье - ребро с двумя вершинами.
На первых двух графиках есть две точки, в то время как на третьем
- только одна.

Рисунок 3.

Будьте личностью.

Очки

. Заметьте также, что знание σ

1

и σ

∞

Полностью определяет ленту

структура графика, так как у нас есть σ

0

= σ

1

σ

− 1

∞

.

С тривиальными

H

∗

(T).

Далее мы вставляем

Правый край K

e

С левым краем K

σ

∞

(e)

. Идентифицируются все вершины, противоположные
основаниям всех треугольников в одном и том же пограничном цикле. Такие точки
находятся в взаимно однозначном соответствии с орбитами σ

∞

; вот почему мы называем их
остриями. Склеивание треугольников выполняется способом, совместимым с ориентацией каждого
треугольника, и, таким образом, эта компактная поверхность получается уже триангулированной. Для каждого

Из графика, установите v

i

= |V (Γ

i

)|, e

i

= |E(Γ

i

)| и n

i

для
количества вершин, ребер и острых точек внутри, соответственно. Затем простое упражнение
показывает, что существует 2e

i

Лица, 3e

i

Края и v

i

+ n

i

Джей Зи

U

НИГА

Рисунок 4.

Рисунок 5.

Показанный график генерирует тор с одной
точкой метки. Все половины ребер графа образуют граничный цикл, и, следовательно
, он не является инъективным.

гомеоморфен кругу. Например, дополнительный граничный цикл, возникающий при
взрыве, всегда является инъективным. Возникает неинъекционный граничный цикл, например, этот
граничный цикл обходит часть графика, которая повышает род графа.

Подграфы не пересекаются.

Рисунок 6.

Два непересекающихся ленточных графика перед процессом склеивания.
Вершина, подлежащая раздуванию, и пограничный цикл, который будет
склеен, выделены пунктирными кругами.

Рисунок 7.

После увеличения выделенной вершины на рисунке 6
слева мы получаем два непересекающихся граничных цикла, как показано на
рисунке.

Рисунок 8.

Несколько членов семейства ленточных графиков, полученных
в результате процесса склеивания двух предыдущих графиков. Здесь показаны
только трехвалентные члены этого семейства.

Следовательно, этот процесс приводит к созданию нового ленточного графика в зависимости от
выбранной таким образом параметризации. (Вот почему была введена несвязность и инъективность граничных циклов
). Пример представлен на рисунке 8. Существует также способ определить
эту конструкцию склеивания чисто комбинаторным способом, но ей не хватает геометрической
интуиции, данной настоящей.

Чтобы создать семейство ленточных графов, мы можем изменить параметры
и сохранить только одного представителя от каждого класса изоморфизма ленточного графа
, созданного таким образом. Поскольку существует ограничение на размер результирующих графов, а возможная
комбинаторика для каждого размера также конечна, будет только конечное число
классов изоморфизма.

Определение 2.2.

Учитывая вершину и граничный цикл, связанный граф
которого не включает данную вершину, мы определяем склеивание, применяя конструкцию склеивания
к раздутию вершины и заданному граничному циклу.

Эта конструкция хорошо определена, поскольку раздутие является инъективным, а
условие того, что вершина не пересекается с граничным циклом, подразумевает, что граничные
циклы не пересекаются. Сравните с рисунком 6.

2.2. Полустабильные Ленточные Графики. Давайте опишем два ленточных графика, которые мы можем
получить из соответствующего подмножества ребер Z ⊂ E(Γ). Один будет связан с Z, а
другой - с его дополнением в E(Γ). Обозначим через Γ

Z

Подграф с набором ребер

Z и H

Z

его набор полукруглых краев. Структура ленточного графика индуцируется σ

0

и

8

Джей Зи

U

НИГА

e

Γ

Γ / Γ

{e}

Рисунок 9.

Рисунок 10.

Определяется

объявив σ

Γ

Z

0

(h), с h ∈ H

Z

, чтобы быть первым членом в последовательности (σ

k

0

(h))

k>0

То есть в H

Z

.

Собственное подмножество Z ⊂ E(Γ) ребер ленточного графа также индуцирует
структуру ленточного графа на графике, определяемую дополнением Z в E(Γ). Мы
обозначим этот график через Γ / Γ

Z

. Новый граф имеет множество ребер E(Γ) − Z с индуцированным

Набор полукруглых H

Γ / Γ

Z

. Так как σ

1

и σ

∞

В Ч

Γ / Γ

Z

.

Несколько замечаний о природе Γ / Γ

Z

все в порядке. Например, если Z является

только одно ребро с двумя разными вершинами (и, следовательно, не петля), то Γ / Γ

Z

топологически является результатом свертывания этого ребра в точку, как показано на рисунке 9, где две
вершины объединяются в одну, создавая новый циклический порядок вокруг этой вершины.
То же самое верно, если заменить одно ребро любым набором ребер Z, таким что Γ

Z

это просто связано. Это может быть показано индукцией по числу элементов
Z.

Однако, в целом, Γ / Γ

Z

не является топологическим фактором Γ над Z. Рисунок 12

показан пример этого последнего случая.

Оказывается, это определение позволяет нам отслеживать создание узлов на уровне
графа. В этом последнем примере сворачивание цикла создает новую вершину, и
циклический порядок вокруг единственной вершины в Γ разбивается на две.

Определение 2.3.

Если Γ - ленточный график с P- меткой, а Z ⊂ E(Γ) - пренебрежимо малое

подмножество определяет краевой коллапс Γ относительно Z как Γ /Z = Γ / Γ

Z

С индуцированным

П - маркировка.

Лемма 2.5.

Если Z пренебрежимо мал, то Surf(Γ) ∼

= Прибой (Γ /Z) относительно Р.

Доказательство. Можно показать последовательность гомеоморфизмов, начинающихся с Surf(Γ)
и заканчивающихся Surf(Γ /Z). Если связная составляющая Γ

Z

является ли дерево не более
чем с одной помеченной точкой, пусть e- ребро в указанном дереве. Поскольку e сжимается, результатом на
связанной поверхности является сжатие треугольника K

e

к интервалу (одна вершина переходит
в одну вершину интервала, а ребро, противоположное этой вершине, сжимается до
другой вершины интервала). Это можно сделать со всеми краями дерева без
изменения приемистости меток. То же самое можно сделать на гомотопической окружности
без помеченных точек, содержащей граничный подграф. Разница в том, что
на последнем шаге у нас есть цикл, сжимающийся до вершины в ее основании, которая
теперь будет иметь метку. Этот коллапс также учитывает вредность этикеток, поскольку
на гомотопическом круге не было помеченной точки. Такой процесс не изменяет
тип гомеоморфизма поверхности.

Также можно свернуть более общие графики, допустив только слабые
вырождения. Если свернуты более произвольные подмножества ребер, тип гомеоморфизма
не сохраняется, но можно показать, что полученные таким образом особенности напоминают
хорошо управляемые двухточечные особенности устойчивых поверхностей. Мы начинаем со
следующего понятия.

Правильный набор ребер Z является полустабильным, если ни одна составляющая Γ

Z

Является ли набор ребер

пренебрежимо малого подмножества и каждой одновалентной вершины Γ

Z

Помечен.

Замечание 2.6. Если Z является полустабильным, то каждая сжимаемая составляющая Γ

Z

содержит
по крайней мере две помеченные точки (в противном случае это было бы незначительно). Компонент, представляющий
собой гомотопический круг без помеченных вершин, обязательно является топологическим кругом, поскольку
должны быть помечены одновалентные вершины. Это также не граничный подграф Γ, иначе
он был бы незначительным.

Лемма 2.7.

Учитывая ленточный график Γ, каждое собственное подмножество Z ⊂ E(Γ) содержит

Сст

З. ⊂

Доказательство. Начиная с Z удалите все ребра, содержащие немаркированную вершину валентности
один. Повторяйте этот процесс до тех пор, пока мы не сможем удалить дополнительные ребра. Все остальные
одновалентные вершины помечены. Теперь отбросьте все граничные подграфы без
помеченных вершин. Порядок здесь важен: сначала обрезаются края, а затем
удаляются граничные подграфы. Это связано с тем, что Z может иметь компоненты, являющиеся
объединением граничных подграфов с ребрами, содержащими немаркированную вершину валентности
один, следовательно, выполнение этого в обратном порядке не приведет к удалению в конце граничного
подграфа.

Sst

И у нас есть Z

Sst

= ∅ тогда и только тогда, когда Z равно

незначительно (см. рис. 11). Уникальность Z

Sst

Следует из конструкции.

Пусть Z - полустабильное подмножество Γ. Уменьшение Γ

Z

Джей Зи

U

НИГА

−→

−→

∅

Рисунок 11.

Превращение множества Z в Z

Sst

На графике слева есть

Sst

= ∅.

e

Γ

Γ /{e}

Рисунок 12.

Коллапс ребра Γ относительно петли, образованной {e}.

Справа у нас есть Γ /{e} = Γ / Γ

{e}

∪ ˆ

Γ

{e}

Sst

где ˆ

Γ

{e}

Sst

Кор -

Sst

Избавившись от ком -

Краевой обвал

Γ уважение к Z как непересекающемуся союзу

Γ /Z = Γ / Γ

Z

⊔ ˆ

Γ

Z

Sst

Sst

= ∅ по лемме 2.7. Также обратите внимание, что если Z

1

∩ З

2

= ∅ тогда Γ /(Z

1

⊔ З

2

) =

(Γ /Z

1

)/Z

2

.

Следующим шагом является введение обобщения ленточных графиков, которое даст
клеточное разложение оформленного пространства модулей полустабильных римановых
поверхностей. Это похоже на определение Лоойенги в [Loo95, раздел 9.1], но потребовались некоторые
изменения.

Пусть Z является полустабильным. Когда Z сворачивается, это создает новый граф с, возможно
, новыми вершинами и новыми граничными циклами, которые будут называться исключительными (см. Рис.13).
Вершина в Γ / Γ

Z

представлена орбитой V ∈ σ

Γ / Γ

Z

0

Из элемента H

Z

И некоторые

не. В таком случае существует соответствующая орбита B ∈ σ

Γ

Z

∞

Это не орбита

σ

∞

Sst

Рисунок 13.

Слева Z представляет набор ребер тета
- подграфа. Справа, после коллапса Z, выделены исключительная
вершина и исключительная пограничная компонента

Цикл

и связанный с ним подграф - исключительный граничный подграф.
Интуитивно исключительная вершина и исключительный граничный цикл соответствуют
двум точкам, возникающим в результате нормализации двойной узловой особенности в Surf(Γ)
после коллапса Z.

Рассмотрим инволюцию i без фиксированных точек на подмножестве N ⊂ V (Γ) ⊔ C(Γ).
Элементы N будут называться узлами. Два элемента одной и той же орбиты
связаны

и в этом случае мы также можем сказать, что соответствующие связанные
компоненты графика связаны. Острие - узлы и вершинные узлы
определяются очевидным образом. Эта инволюция позволяет нам идентифицировать точки в прибое (Γ).
Обозначим прибоем (Γ, i) поверхность, полученную в результате предыдущей идентификации. Пусть
Γ = ∪

я... Я

Γ

i

, где Γ

i

’s являются связанными компонентами Γ. Таким образом, мы имеем

π

0

(Γ) = {[ Γ

i

]} ∼

= I. Установите V

i

= V (Γ

i

), С

i

= C(Γ

i

) и N

′

i

= N (Γ

i

) для вершин,

Острия и узлы в i

th

составляющая Γ.

Применяются свойства.

(1) Связанный компонент графика не может быть связан сам с собой.
(2) Два полустабильных круга не могут быть связаны.
(3) Два острия полустабильного круга являются узлами.
(4) Вершинный узел может быть связан только с вершинным узлом и наоборот.
(5) Поверхностный прибой (Γ, i) должен быть подключен.

Пусть N = {0, 1, 2,...}. Порядок для Γ - это порядок функций: π

0

(Γ) → N, удовлетворяющее

Следующие свойства.

(i) Если ord([ Γ

i

]) = k > 0, то существует j такое, что ord([ Γ

j

]) = k − 1.

(ii) Пусть p ∈ N

′

i

и q = ι (p) ∈ N

′

j

. Затем p ∈ C

i

тогда и только тогда, когда q ∈ V

j

по свойству (4) в предыдущем списке. В этом случае мы также требуем, чтобы
ord([ Γ

j

])

i

]) держится.

Компонент, где они сидят.

Следующий результат дает некоторое представление о функции порядка, и его нетрудно
доказать.

Лемма 2.9.

Задан порядок порядка: π

0

(Γ) → N сохраняются следующие свойства.

(1) Если p ∈ N

′

i

и ord([ Γ

i

]) = 0, то p ∈ V.

(2) Существует постоянная m ∈ N такая, что ord([ Γ

i

]) ≤ m для всех i и заданного k

такое, что 0 ≤ k ≤ m существует i с порядком ([ Γ

i

]) = k.

12

Джей Зи

U

НИГА

Полустабильный ленточный граф - это ленточный граф Γ вместе с инволюцией ι
, который удовлетворяет условиям 1-5, как указано выше, и порядковой функции ord.

Замечание 2.10. Ленточный график можно рассматривать как полустабильный ленточный график с
N = ∅. Обратите также внимание, что мы можем получить Surf(Γ) из Surf(Γ, i) путем разделения идентифицированных
точек на две части; этот процесс обычно известен как нормализация. Когда N= ∅
, мы называем график сингулярным.

С включением x: P

֒

→ V (Γ) ⊔ C(Γ), удовлетворяющий следующим двум условиям.
(1) Изображение x(P) не пересекается с набором узлов.
(2) Объединение x(P) ∪ N содержит все выделенные точки, то есть все выступы и

вершины валентности одна или две.
Это включение называется P - меткой. Изоморфизм в этом случае - это
изоморфизм базового ленточного графика, учитывающий инволюцию и порядок, а
также маркировку. Узлы в этом случае сохраняются, потому что они являются частью данных
при инволюции.

Лемма 2.11.

Если Γ является P - помеченным полустабильным ленточным графом, то каждый компонент
нормализации Surf(Γ, i) (т. Е. компонент Surf(Γ) − (N ⊔ x(P))) имеет
неположительную характеристику Эйлера.

Доказательство. По определению мы знаем, что Surf(Γ) − C(Γ) допускает Γ в качестве ретракта деформации.
Если компонент сжимаем, то он должен иметь по крайней мере две помеченные точки или узлы
, потому что такой граф имеет по крайней мере две одномерные вершины, и объединение x(P) ∪ N
содержит все выделенные точки. Это делает эйлерову характеристику отрицательной на
этих компонентах. Если компонент представляет собой топологическую окружность, эйлерова характеристика
равна нулю, если она является полустабильной окружностью, или отрицательна, если окружность имеет вершины
, соответствующие отмеченным точкам. В любом другом случае связная составляющая графика имеет
отрицательная характеристика Эйлера.

Поверхностный прибой (Γ, i) называется полустабильной поверхностью с P- меткой, которая
наследует топологические характеристики от полустабильных ленточных графов с P- меткой, которые
ее генерируют.

Мы почти готовы определить коллапс ребер для полустабильных ленточных графов.
Функция порядка отслеживает, как вырождается граф, и, чтобы удовлетворить ее
определению, нам не разрешается сворачивать все ребра, связанные со всеми компонентами
данного порядка: в противном случае мы пропустили бы число в списке порядков
, противоречащее лемме 2.9. Вот почему нам нужна следующая концепция.
Подмножество ребер заданного полустабильного ленточного графа с P- меткой называется складным
, если оно не содержит всех ребер фиксированного порядка.

Определение 2.12.

Пренебрежимо малое подмножество X полустабильного ленточного графа
Γ с P- меткой является пренебрежимо малым подмножеством, как определено ранее, с дополнительным условием, что если
связанный компонент X является гомотопическим кругом без помеченных точек, который содержит
граничный подграф, то указанный граничный подграф не должен соответствовать узлу
острия.

Если дополнительное условие в предыдущем определении не было выполнено, незначительный
граничный подграф, соответствующий узлу - острию, свернется в индуцированный
граф с инволюцией без фиксированных точек, который свяжет вершинный узел
с вновь сгенерированным вершинным узлом. Это противоречит определению

Определение 2.13.

Если Γ - полустабильный ленточный граф с P- меткой, а Z ⊂ E(Γ) -
сворачиваемое подмножество ребер, то коллапс ребер представляет собой новый полустабильный ленточный
граф с P- меткой, определенный следующим образом.

• В виде ленточного графика с P- меткой коллапс ребра равен Γ /Z. Обратите внимание, что

изменение определения пренебрежимо малого подмножества создает полустабильные круги для
каждого полного коллапса гомотопического круга без помеченных точек, который
соответствует узлу острия.

• Существует функция нового порядка, определенная индуктивно. Для этого мы выражаем Z

как непересекающееся объединение Z = ⊔ Z

i

k

Так что Z

i

k

Следующим образом.

–

Все подключенные компоненты в Γ / Γ

Z

i1

Выполняйте их приказы.

–

Порядок любого подключенного компонента в ˆ

Γ

Z

Sst

i1

Это я

1

+ 1.

–

Все подключенные компоненты в Γ / Γ

Z

i1

На порядок больше, чем я

1

Увеличение

Их заказ по одному.

Это определяет функцию порядка на Γ /Z

i

1

= Γ / Γ

Z

i1

∪ ˆ

Γ

Z

Sst

i1

. По замечанию 2.8
мы можем продолжать этот процесс индуктивно на k до тех пор, пока не сгенерируем
функцию порядка для Γ /Z.

• Возможно, существуют новые индуцированные узлы вместе с инволюцией без

фиксированные точки. В случае полного коллапса гомотопического круга без
помеченных точек, соответствующего вершинному узлу, старый вершинный узел и
вновь сгенерированный вершинный узел связаны с обоими вершинными узлами
сгенерированного полустабильного круга. Следуя индуктивной
конструкции в предыдущем пункте, можно показать, что результирующая инволюция без фиксированной
точки удовлетворяет определению, требуемому полустабильным ленточным графиком.

Лемма 2.14.

Краевое свертывание разборного подмножества
полустабильного ленточного графа с P- меткой создает новый полустабильный ленточный граф с P- меткой того же
топологического типа, но, возможно, с большим количеством компонентов более высокого порядка и большим количеством узлов.

Замечание 2.15. Чтобы получить полустабильные ленточные графики с более высокими порядками, нам нужно
последовательно свернуть несколько подмножеств ленточного графика. Следовательно, правильное понятие
коллапса ребер в категории P- помеченных полустабильных ленточных графов - это
последовательное свертывание сворачиваемых подмножеств.

14

Джей Зи

U

НИГА

2.3. Допустимые Последовательности. Исправьте пару связанных узлов на
полустабильном ленточном графике с P- меткой меткой. Направление касательной - это выбор склеивания между
вершинным узлом и граничным циклом, соответствующим узлу - точке, как в Определении 2.2.
Этот выбор должен быть совместим с циклическими порядками на множестве полуколец
узла - вершины и ребер графа, связанных с исключительным граничным
циклом, соответствующим узлу - точке. Затем мы просто выбираем элемент
конечного множества классов изоморфизмов графов, созданных с помощью конструкции склеивания.

Украшение касательными направлениями на полустабильном ленточном графике - это
выбор касательных направлений для каждой пары связанных узлов. Изоморфизм
полустабильных ленточных графов, украшенных касательными направлениями, должен сохранять
касательные направления в том смысле, что на соответствующих склеиваниях существует индуцированный изоморфизм графа
.

Учитывая P- помеченный ленточный граф Γ, допустимой последовательностью является последовательность

Z

•

= (E(Γ) = Z

0

, Z

1

,..., Z

k

)

Такой, что Z <