Теория типов как формальная грамматика

Чтобы понять, как замещающий язык представляет собой стратифицированное по типу
исчисление второго порядка с номинальными предикатами, давайте начнем с формальной характеристики
такого исчисления. Примитивными символами языка являются (,), o,,

∀,, и →.

Символ типа -это любое выражение, удовлетворяющее следующему рекурсивному определению:

1. “o " - это символ типа.

2. Если

т

1

,

...,Т

н

являются ли все символы типа, то выражение (

т

1

,

..., Т

н

) также является типом

символ.

3. Это единственные символы типа.

Переменные - это маленькие курсивные буквы

x с любым символом типа надстрочным и последующим

по любому количеству вхождений знака “ ”. Неофициально, мы будем использовать

икс

т

,

y

т

,

зет

т

, где

t-это символ типа. Когда символ типа t не является "o", мы будем использовать греческие буквы ϕ

т

,

θ

т

,

ψ

т

, а также следуют один или несколько случаев “ ” для удобства. Термины
языка - это просто переменные; отдельные переменные-это переменные с
индексом типа "o“, а переменные предиката-это просто переменные, индекс типа которых
не является”o". Атомарные формулы (wffs) языка имеют следующий вид:

икс

(t

1

,...,Т

н

)

(год

т

1

1

,..., год

т

н

н

).

(1)

Wffs языка - это те из наименьшего множества, содержащего все атомарные wffs и
такие, что (

A → B), (∼ A) и (∀x

т

)C находятся в K, где A, B и C-wffs в K

и

икс

т

является переменной величиной. Схемы аксиомы для теории типов атрибутов тогда имеют вид

9

Схемы аксиом (S19), (S20) и (S21) адаптированы из [1].

384

G. Landini

следует.

A. →.B → A

А1

A. →.B → C:→: A → B. →.С

А2

∼ B → A. A. →.A → B

А3

(∀икс

т

) (A → B). →.Икс

т

) B,

где

икс

т

это не бесплатно в

Есть

А4

(∀икс

т

)год

т

|икс

т

],

где

y

т

это бесплатно для

икс

т

в

Есть

А5

(∃ϕ

(t

1

,...,Т

н

)

(∀икс

т

1

,..., икс

т

н

)(ϕ

(t

1

,...,Т

н

)

(икс

т

1

,..., икс

т

н

). ↔.Один),

где

ϕ

(t

1

,...,Т

н

)

не происходит свободно внутри

Есть

А6

Modus Ponens:

От

А и А → В, вывод В.

Универсальное Обобщение:

От

A вывод (∀u

т

)A, где u

т

в

Есть

Замена определенных знаков:

Definiens и definiendum могут заменять друг друга.

Затем определения включают::

(∃икс

т

)Ля

защита

= (∀икс

т

)Ля

икс

т

= год

t def

= (∀ϕ

(t)

)(ϕ

(t)

(икс

т

). ↔. ϕ

(t)

(год

т

))

A ∧ B

защита

= (A → B)

A ∨ B

защита

= A → B.

Это завершает систему.

Теперь, чтобы понять, как заместительная теория вытесняет типо-стратифицированную теорию
атрибутов, давайте просто сосредоточимся на вопросе о принципах понимания. Из
(S17) и (S16) легко получить следующую схему теоремы:

(∃p, a) (z) (a в п. &.p / a; z!{A}),
где

p и a не являются свободными в wff A.

(ПАНЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ

SUB

)

1

Из этого мы получаем следующее:

(∃p, a)(z) (p/a; z. ≡.{A}),
где

p и a не являются свободными в wff A.

(ПАНЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ)

1

Логицизм-это " неразрешимость’

385

Выражение “

p / a; z " - это всего лишь нотационное удобство. Это вполне определенное описание

субъекта права

q точно так же, как p, за исключением содержания z везде, где p содержит A. Рассел ставит

([19]: 4):

p / a; z

защита

= (iq) (p/a; z!вопрос).

Рассел звонит

α / β определенного описания α / β; δ его "матрица", и он говорит о том, что

срок

α (и предложение, которое он называет) как “прототип” матрицы. Эти понятия,
однако, склонны вводить в заблуждение. Рассел говорит о матрице как о” неполном
символе", который сам по себе не имеет никакого значения. Но неполный символ, на котором нужно сосредоточиться, - это
(iq) (p/a; z!q), и это просто определенное описание. Теория определенных
описаний прямо применяется к этим новым определенным описаниям предложений.

Где

B (v) - это формула с v Свободной, мы имеем:

[(iq) (p / a; z!q)][B ((iq) (p/a; z!q) / v)]

защита

= (∃q) (p/a; z!р. ≡

Р

.r = q:&: B (q|v)).

Все те же различия в сфере применения определенных описаний, включая конвенции

на пропуск маркера области применения, когда предназначены самые узкие возможные области применения, применяются.
Следует напомнить, что определенные описания не являются подлинными терминами формального
языка Рассела. Соответственно, нельзя применять определения, которые сформулированы в терминах
подлинных сингулярных терминов, к определенным описаниям. Например, в определении “&” Рассел
имеет:

α & β

защита

= ∼(α ⊃ ∼ β)

Это не может быть применено к:

p/a; b & s,

потому что

α и β являются выражениями для подлинных сингулярных членов языка. Один должен

во первых исключите определенное описание, для того чтобы произвести:

(∃q) (p/a; z!р. ≡

Р

.r = q:&: q & s).

Тогда с тех пор

q и s-переменные, которые можно применить df (&) к q & S.

Далее Рассел определяет то, что он называет “одновременными двойными заменами
”, “одновременными тройными заменами” и т. д. Это просто тщательно продуманные последовательности
отдельных замен. Выражение “

s / t, w; r, c!q” " например, для двойной субмарины-

ституция так и говорит, что

q точно так же, как s, за исключением содержащего r, где s содержит t и

содержащий

c везде, где s содержит w. необходимо позаботиться о том, чтобы определение q было следующим

сущность предназначенная-с момента, например, подстановки

r для t может удалить w Из s.
определения Рассела сложны, и мы здесь будем избегать их обсуждения, поскольку
есть более простой подход. Нет необходимости определять "одновременные замены".”

Мы можем просто поставить:

p / a, b; x, y!q

защита

= (∃e, h, t) (p/a; e!h:&: h/b; y!t.&.т / е; х!вопрос).

df (двойной)

386

G. Landini

Для любой формулы

A (u, v), мы можем использовать (S16) для поиска подходящих объектов p, a и

b, так что

(x, y) (p/a, b; x, y!{A (x|u, y|v)}).

Соответственно, мы приходим к следующей схеме теоремы для двойных подстановок:

(∃p, a, b)(x, y) (p/a, b; x, y. ≡.{Ля}),

(ПАНЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ)

2

где

p и a и b не являются свободными в wff A. здесь выражение p/a, b; x, y является a

удобный способ написания определенного описания,

(iq) (p/a, b; x, y!вопрос). В похожей ситуации

таким образом, мы можем перейти к тройным заменам и схеме теоремы:

(∃j, k, u, v)(q, p, a) (j/k, u, v; q, p, a. ≡.{Ля}),

(ПАНЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ)

3

где

j и k, u и v, не являются свободными в wff A. процесс продолжается для любого

конечное число замен.

Схемы теоремы понимания подстановки восстанавливают экземпляры схемы
аксиомы понимания (A6) простой теории типа второго порядка. Рассмотрим
следующие пары:

(∃ϕ

(о)

)(∀икс

о

)(ϕ

(о)

(икс

о

). ↔.икс

о

= икс

о

)

#1

(∃p, a)(x) (p/a; x. ≡.x = x)

#1s

(∃ϕ

((о))

)(∀ψ

(о)

)(ϕ

((о))

(ψ

(о)

). ↔.(∀икс

о

)ψ

(о)

(икс

о

))

#2

(∃q, p, a)(r, c) (q/p, a; r, c. ≡.(x) ∼(p / a; x))

#2s

(∃ϕ

(o, o)

)(∀икс

о

)(∀год

о

)(ϕ

(o, o)

(икс

о

, год

о

). ↔.икс

о

= год

о

)

#3

(∃q, p, a)(r, c) (q/p, a; r, c. ≡.r = c)

#3s

Первая из пар-это примеры схемы аксиомы постижения (А6);
вторая-их переводы на язык теории замещения. Понятие
типа было встроено в логическую грамматику подстановки. Следует отметить, что
#2s и #3s оба используют двойные замены,но #2s передает атрибут типа ((o)) (
атрибут атрибутов индивидов) и #3s передает отношение типа (o, o) между
индивидами. Это показывает, что понятие типа не соответствует просто
числу замещений, используемых в теории замещений. Структура является центральной
также. Тем не менее, очевидно, что монадические предикации захватываются в
теории подстановок с помощью таких выражений, как “

p / a; x!t " и " q/p, a; r, c!т” и так далее.

Соответственно, выражение “

ϕ(ϕ) " не может быть проксирован. Для этого потребуется последовательность

такие как “

p / a; p / a!и это, так же как и его отрицание, неграматично.

Подстановочная теория полностью свободна от типа. В нем нет типов сущностей,
а есть только один стиль переменных-индивидуальные переменные. (Напомним, что каждая
строчная буква английского алфавита используется в качестве отдельной переменной для удобства.
В теории нет специальных “пропозициональных” переменных.) Типологизированная
грамматика теории простых типов встроена в замещающий язык замещения
использования предикатных переменных. В то же время, это должно быть достаточно ясно из

Логицизм-это " неразрешимость’

387

кроме того, любой экземпляр схемы понимания A6 в примитивной нотации
теории типов второго порядка может быть переведен на язык подстановки. Действительно, любая
формула в примитивной нотации теории простых типов может быть переведена на язык
подстановки. Типы становятся частью логической грамматики.

Классы по замещению

Символы классов являются неполными символами в теории замещения, и их использование
во многом совпадает с тем, что мы находим в Principia Mathematica. Символ класса

ˆy

о

(Да

о

) вытесняется

по использованию:

ο (p/a) [p/ a; y ≡

y

Да].

Например, чтобы восстановить теорему,

(∀икс

о

)(икс

о

∈ ˆy

о

(год

о

= икс

о

)).

Рассел ставит:

(x) (x ∈ î (p/a) [p/A. ≡

y

. y = x]).

Использование таких символов класса в замене поддерживается определениями, регулирующими
каждый контекст их использования. Например, существует следующее:

z ι î(p/a) [p/ a; x ≡

икс

Топор]

защита

= (∃p, a)(p/a; x ≡

икс

Топор. &.z ∈ p/a)

x ∈ p / a

защита

= (∃q) (p/a; x!вопрос. &.вопрос).

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

Ax] = υ (p/a)[p/ a; x ≡

икс

Bx]

защита

=

(∃p, a)(p/a; x ≡

икс

Топор. &.(∃l, m)(l/m; x ≡

икс

БХ. &.p / a = l / m))

p / a = l / m

защита

= p = l.&.a = m

Аналогично, в следующем типе, класс

ˆy

(о)

(По

(о)

) типа (о) вытесняется использованием:

ο (s/ t, w) [s/ t, w. ≈

r, c

.B (r, c)].

Чтобы взять простую иллюстрацию, определите следующее:

икс

защита

= x = x.

0

(r, c)

защита

= (z) ∼(z ∈ î(p/a) [p/ a; x ≡

икс

r/c; x]).

Заместительная реконструкция

(о)

ε0

((о))

, станет:

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

x] ι ç(s/t, w) [s/ t, w ≈

r, c

0

(r, c)].

388

G. Landini

Это поддерживается следующими определениями:

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

Ax] ∈ï(s/t, w) [s/ t, w ≈

r, c

B(r, c)]

защита

=

(∃s, t, w)(s/t, w ≈

r, c

B (r, c). &.(∃p, a)(p/a; x ≡

икс

Топор. &.p / a ∈ s/t, w))

s/t, w ≈

r, c

B(r, c)

защита

= (∃l, m)(l/m; x ≡

икс

r/c; x.&.l/m ∈ s/t, w) ≡

r, c

(∃l, m)(l/m; x ≡

икс

r/c; x.&.B (l, m)).

ο (s/ t, w) [s/ t, w ≈

r, c

A (r, c)] = υ (s/t, w) [s/ t, w ≈

r, c

B(r, c)]

защита

= (∃s, t, w)

(s/t, w ≈

r, c

A (r, c). &.(∃h, d, e)(h/d, e ≈

r, c

B (r, c). &.s / t, w = h / d, e))

s / t, w = h / d, e

защита

= s = h.&.t = d.&.w = e.

Тип-стратифицированная абстракция классов

зет

о

∈ ˆy

о

(Да

о

) ↔ Аризона

о

в настоящее время вытеснен:

z ι î(p/a) [p/ a; x ≡

икс

Топор]. ≡.Аризона.

В следующем типе, абстракция класса,

ˆy

о

(Да

о

) Да

(о)

(По

(о)

) ↔ B(ˆy

о

(Да

о

))

вытесняется путем:

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

Ax] ∈ï(s/t, w) [s/ t, w ≈

r, c

B (r, c)]. ≡.

(∃p, a)(p/a; x ≡

икс

Топор. &.B (p, a)).

При работе с определениями становится ясно, что схемы абстракции классов для каждого из них

типы получены в виде теоремных схем из теорем существования, предоставляемых
(CP)

1

и (CP)

2

. Аналогичные конструкции и определения позволяют генерировать
замещающий прокси для стратифицированной по типу теории отношений-в-расширении.

6. Парадокс по / АО и "неразрешимость" Рассела

Теория замещения 1905 года непоследовательна. К апрелю 1906 года Рассел обнаружил
свой парадокс по / АО.

10

Его существование как нового парадокса и его уникальное значение для
исторического развития разветвленной теории типов Рассела были в значительной степени неизвестны, пока я
не раскопал его из архивных рукописей.

11

Проблематичной схемой аксиомы является (S17).

10

Парадокс - это центральная тема многих рабочих заметок Рассела за 1906 год. Смотрите ([22]: 7, 57, 71)

и [24].

Логицизм-это " неразрешимость’

389

В сочетании с (S16) один приходит к схеме теоремы (CP

SUB

)

1

. Парадокс

12

является

производный от следующего экземпляра:

(∃t, w)(x) (t/w; x!{x = {p ⊃ a}. &.p / a; x!р:⊃

p, a, r

: ∼ р}).

К экзистенциальной инстанциации мы приходим:

(x) (t/w; x!{x = {p ⊃ a}. &.p / a; x!р:⊃

p, a, r

: ∼ р}).

Тогда путем всеобщей инстанциации мы имеем:

t / w; {t ⊃ w}!{{t ⊃ w} = {p ⊃ q}. &.p / a; {t ⊃ w}!р:⊃

p, a, r

: ∼ р}.

Это доказуемо в замене, что:

(p, a) (r, c) ({p ⊃ A} = {r ⊃ c}:⊃: p = r.&.с).

Мы приходим к следующему противоречию:

{t ⊃ w} ={p ⊃ a}. &.p / a; {t ⊃ w}!р:⊃

p, a, r

: ∼ р

.:≡:. ∼({t ⊃ w} = {p ⊃ a}. &.p / a; {t ⊃ w}!р:⊃

p, a, r

: ∼ р).

Недостаток в системе замещения заключается в схеме (S17).

Но что именно не так с (S17)? Оценка Рассела в мае 1906 года
состояла в том, что источник противоречия лежит в его предположении общих положений. В своей
статье “о” неразрешимости "и их решении с помощью символической логики" Рассел отказался
от своей онтологической приверженности общим предложениям. Конечно, отказ
от общих предложений не следует путать с отказом от количественных
формул.

13

Использование количественных wffs не делает никаких обязательств по
общим предложениям (состояниям дел). Но эффект отказа от общих
предложений заключается в том, что более невозможно номинировать wff

(x) Ax, чтобы сформировать термин из

форма

{(x) Ax}. Только формулы без кванторов могут быть номинированы. Это очень важно

потому что знак Рассела “

⊃ "является диадической предикатной константой, которая должна быть окружена

Условия. В новой теории,

{(x) (x = x)}. ⊃. q ⊃ {(x) (x = x)},

не является правильным экземпляром схемы axiom (S1). Теория квантификации должна быть
модифицирована, чтобы приспособиться к отказу от общих предложений. Поэтому Рассел
переформулирует теорию квантификации, определяя подчиненные вхождения квантифицированных данных

11

Коккиарелла показал дорогу. Он заметил, что Рассел ошибался, думая, что подстановка
будет в состоянии охватить Канторовский факт, что должно быть больше классов предложений, чем предложений.
Смотрите [2].

12

Первоначальная формулировка Рассела была следующей. Сокращенно положить:

п

о

защита

= {ля

о

= {p/a; b!вопрос}. &.p / a; a

о

!р:⊃

p, a, r

: ∼ р}.

Тогда обратите внимание, что:

п

о

/ля

о

; {p

о

/ля

о

- б!q}!{{p

о

/ля

о

- б!q} = {p/a; b!вопрос}. &.p / a; {p

о

/ля

о

- б!q}!р:⊃

p, a, r

: ∼ р}

Из этого следует противоречие, так как следующее является теоремой,

(p, a)(r, c) (b, q) ({p/a; b!q} = {r/c; b!q}:⊃: p = r.&.с).

13

Удивительно, но некоторые комментаторы виноваты именно в этой путанице. Смотрите [15].

390

G. Landini

формулы в терминах эквивалентной формулы в нормальной форме пренекса.

14

Полный пересмотр
теории квантификации не изложен в “о неразрешимости", но и не ставит
непреодолимых проблем. Действительно, система очень похожа на то, как она появилась в

∗

9 из 1910 года

Principia -хотя она играет совершенно иную роль в этой работе.

Основная система, которую Рассел имел в виду Для “о неразрешимости”, заключается тогда в следующем.
Примитивные знаки для замещающего языка принимают за примитивные знаки: (,), {, }, /,
!,

⊃, f и ∃. Отдельными переменными замещающего языка являются x, за которыми следует
одно или несколько вхождений “ ”. Неофициально мы будем использовать любую строчную букву
английского алфавита. Термины даны индуктивно следующим образом. (1) все индивидуальные
переменные являются терминами; (2) Если

A-это WFF без кванторов, то {A} - это термин; (4) Существуют

никаких других условий. Атомные wffs являются следующими: f,

(x ⊃ y), и (x/y; z!u), где x, y, z, u -
переменные. Wffs - это наименьшее множество K, содержащее все атомарные wff и такие
, что

(α ⊃ β), (α/β; µ!δ), и (x)C и (∃x) C находятся в K только тогда, когда α, β, δ, µ-любые
члены, А C-любая wff в пренексно-нормальной форме в K, в которой индивидуальная переменная
x происходит свободно. Схемы аксиомы для исчисления заключаются в следующем:

α. ⊃.β ⊃ α

S1

α. ⊃.β ⊃ δ:⊃: β. ⊃.α ⊃ δ

S2

∼ ∼ α ⊃ α

S3

α = β. ⊃.A[α|v, α] ⊃ A[β|v, α], где α, β-свободные для v в A.

S4

A[α|u] ⊃ (∃u)Au, где α свободно для u в A.

S5

A[α / u] ∨ A[β / u] ⊃ (∃u)Au, где α, β-свободные для u в A.

S6

α в {Aa}

S7

α в {Aß

1

,..., β

н

}:⊃: α = {Aß

1

,..., β

н

}.∨. α в β

1

.∨.,...,.∨. α в

S8

β

н

, где A-любой wff, все отдельные свободные члены которого являются β

1

,…,

β

н.

(x, y) (x в y.&. y в x:⊃: x = y)

S9

(x, y, z) (x в y.&. y в z:⊃: x в z)

S10

(p, a)(q)(x, y) (p/a; x!q.&. p / a; y!q.&. a в p:⊃: x = y)

S11

(p, a)(z)(q) (p/a; z!q.&. а в п. &. a = p:⊃: z в q. &. z = q)

S12

(x, y) (x/x; y!y)

S13

(x, y) (x/y; y!икс)

S14

(p, a) (x) (∃q) (p/a; x!р. ≡

Р

.q = r)

S15

(p) (∃q) (q ex p)

S16

14

В Principia Mathematica *9 мы получаем представление о том, как будет сформулировано исчисление. Principia,
однако, считает свои логические частицы высказывательными связями, потому что он явно отказывается от онтологии
пропозиций.

Логицизм-это " неразрешимость’

391

(∃u) (α out {Au|v}). ⊃.(u) ({Aa|v}/α; u!{Au|v}),

S17

где

α и u свободны для v в A.

(∃у

1

,..., у

н

) (α out {Au

1

|в

1

,..., у

н

|в

н

}): &: α =

S18

{Au

1

|в

1

,..., у

н

|в

н

}. &.α = β

1

. &.,...,. &. α = β

н

.:⊃:.

(x) (∃u

1

,..., у

н

) ({Aσ

1

|в

1

,..., σ

н

|в

н

} / α; x!{Au

1

|в

1

,..., у

н

|в

н

}

: &: σ

1

|α; x!u

1

. &.,...,. &. σ

н

|α; x!u

н

),

где каждый из них

u

я

и

σ

я

, 1

≤ i ≤ N, свободны для их соответствующего v

я

В А, и

β

1

,..., β

н

являются ли все термины, происходящие бесплатно в

Есть

Правила вывода системы заключаются в следующем:

Modus Ponens

1

:

От

A и {A} ⊃ {B}, вывод B.

Modus Ponens

2

:

От

А и А ⊃ Б, вывод В.

Универсальное Обобщение:

От

A вывод (u)A,

где

u-индивидуальная переменная, свободная в A.

Переключатель

От

B [(u) (∃v) A], сделать вывод B [(∃v) (u)A],

где все свободные вхождения переменной

u в A находятся на одной стороне

логическая частица и все свободные вхождения переменной

в

в

А находятся на другом.

Замена определенных знаков:

Definiens и definiendum могут заменять друг друга в любом контексте.

Где

α и β-это любые термины языка, свободные от кванторов, а A и B-любые

формулы языка, следующие определения::

x = y

защита

= x/x; y!икс

пеленгатор(=)

∼ α

защита

= α ⊃ f

df

(∼)

1

∼(u)A

защита

= (∃u) ∼ A

ДФХ

(∼)

2

∼(u u) A

защита

= (u) ∼ A

ДФХ

(∼)

3

α ∨ β

защита

= ∼ α ⊃ β

df

(∨)

1

392

G. Landini

A ∨ B

защита

= ∼ A ⊃ B

df

(∨)

2

α & β

защита

= ∼(α ⊃ ∼ β)

df(&

)

1

A & B

защита

= ∼(A ⊃ ∼ B)

df(&

)

2

α ≡ β

защита

= (α ⊃ β) &(β ⊃ α)

df

(≡)

1

A ≡ B

защита

= (A ⊃ B) &(B ⊃ A)

df

(≡)

2

Если предположить, что

u и v различны и что u не имеет свободного вхождения в α или B и

v не имеет свободного вхождения в A, система имеет:

(∃u)Au ⊃ α

защита

= (u)(Au ⊃ α)

dfs(P)

1

α ⊃ (u)Au

защита

= (u) (α ⊃ Au)

dfs(P)

2

(u)Au ⊃ α

защита

= (∃u)(Au ⊃ α)

dfs(P)

3

α ⊃ (∃u)Au

защита

= (∃u) (α Au Au)

dfs(P)

4

(u) Au (v) Bu

защита

= (u) (∃v) (Au ⊃ Bv)

dfs(X)

1

u) Au ⊃ (v)Bv

защита

= (v) (∃u) (Au ⊃ Bv)

dfs(X)

2

(∃u)Au ⊃ (v)Av

защита

= (u) (v) (Au ⊃ Bv)

dfs(X)

3

u) Au ⊃ (∃v) Bv

защита

= (∃u) (∃v) (Au ⊃ Bv)

(dfs(X)

4

)

Эта система является полной в отношении теории квантификации, см. [12].

Однако здесь было серьезное препятствие. Без общих предложений Рассел не может
генерировать теоремы существования в замене, которые необходимы для генерации арифметики.

Схема аксиомы (S17) теперь такова, что ее формулы

А должен быть без кванторов. Считать

следующие схемы теоремы понимания, полученные из (S17):

(∃p, a)(x) (p/a; x. ≡.{Ля}),

(ПАНЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ)

1

где

p и a не являются свободными в A.

(∃p, a, b)(x, y) (p/a, b; x, y. ≡.{Ля}),

(ПАНЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ)

2

где

p, a и b не являются свободными в A. Они будут хорошо сформированы только в том случае, если формула A

в них отсутствует Квантор. В системе “о неразрешимости ” термина нет

{Ля}

разве что по формуле

A не содержит кванторов. Это серьезное ограничение. Например, больше
не будет возможно генерировать теоремы существования, необходимые для теоремы

(о)

∈ 0

((о))

. Один бы понадобился,

(∃s, t, w)(s/t, w ≈

r, c

{0 (r, c)})

Логицизм-это " неразрешимость’

393

и это уже не следует из (КП)

2

. Напомним, что,

0

(r, c)

защита

= (z) ∼(z ∈ î(p/a) [p/ a; x ≡

икс

r/c; x]).

В заместительной теории “о неразрешимости " нет термина {0(

r, c)} потому что это

невозможно в пересмотренной теории номинировать общую формулу.

Чтобы смягчить последствия отказа от общих предложений, Рассел предложил:

что составляет вспомогательные аксиомы для понимания. Например, у него есть:

(∃p, a) (x) (∃q) (p/a; x!вопрос. &.q ≡ A),

1906(Aux)

1

где

A-это любой wff (без квантора или иным образом), в котором p, a не являются свободными.

(∃s, t, w) (r, c) (∃q) (/t,w;r,c!вопрос. &.q ≡ A),

1906(Aux)

2

где

A-это любой wff (без квантора или иным образом), в котором s, t, w не являются свободными. (Именно
в силу контекстуальных определений Рассела квантифицированных формул, фланкирующих логические
частицы, формула

А в этих схемах понимания аксиомы могут содержаться
кванторы.) С помощью этих новых вспомогательных принципов понимания арифметика
может быть восстановлена в теории замещения 1906 года. Следует понимать, что Расселовские
"смягчающие" принципы понимания не являются принципами” сводимости " системы
, поддерживающей иерархию порядков предложений. В “о неразрешимости ” вообще нет
порядков предложений.

15

Таким образом, пересмотренная теория сохраняет учение Рассела о том, что
любое правильное исчисление для науки логики должно иметь только один тип переменных—
а именно., отдельные переменные. К сожалению, однако, Рассел упустил из виду тот факт, что
“смягчающие” принципы понимания возродят парадокс по/АО!
Ниже приведен пример 1906 года (Aux)

1

:

(∃t, w) (x) (∃s) (t/w; x!с. &. (с.:≡:. x = {p ⊃ a}. &.p / a; x!р:⊃

p, a, r

: ∼ р)).

Парадокс проходит насквозь. Рассел вынужден был признать, что его новые смягчающие аксиомы
слишком сильны. Однако без них система “о неразрешимости ” с ее
отказом от общих предложений не может быть достаточно сильной, чтобы восстановить арифметику.

7. Новый подход к "неразрешимости"

Отказ от общих предложений в “о неразрешимости " не дал
решения парадокса po/ao, которое могло бы восстановить арифметику. В 1907 году Рассел
рассматривал возможность разветвления теории замещения путем введения
индексированных переменных порядка в попытке избежать парадокса po / ao (и его вариантов). Рассел
начал исследовать, к чему привела бы формальная система, если бы теория замещения была
снабжена индексированными переменными порядка. Общие положения были бы приняты снова,

15

Коккиарелла в [2] делает этот вывод. Хилтон приписывает порядки предложений множеству систем Рассела

выходим в “О'кей"."Смотрите [7].

394

G. Landini

и предложения были бы разделены на порядки на основе того вида общности, который они
” включают “или”предполагают". Аспекты этой идеи всплыли в статье Рассела
" математическая логика как основанная на теории типов."С заменой, модифицированной
индексированными переменными порядка, аксиомы пропозициональной сводимости могут быть добавлены, не
опасаясь возрождения парадокса po / ao.

Мы видели, что первоначальная теория замещения, начатая в 1905 году, оперирует простой
теорией типа атрибутов. Когда теория замещения будет снабжена индексами порядка, она
восстановит разветвленную теорию типов атрибутов. Рассел признает, что
язык переменных предикатов, снабженных индексами порядка/типа, удобен, поскольку он
поддерживает введение обычных символов классов. Но основополагающим основанием
разветвленных типов в "математической логике" является теория замещения. “Математическая
логика " заняла долгое время в прессе, и когда она наконец появилась в 1908 году, Рассел
мысли изменились. В письме к Hawtree 1907 года мы находим Рассела, объясняющего, что
парадокс po/ao “заполнил” заместительную теорию и что он никогда не был удовлетворен
патчами, которые он разработал.

16

К 1908 году эпоха замещения закончилась. Его преемником
стала разветвленная типология-теория начал с опорой на аксиомы сводимости и бесконечности
.

Я считаю, что подход в “On 'Insolubilia '" был на правильном пути. Рассел

нужно отбросить его смягчающие аксиомы и найти новые вспомогательные схемы аксиом.

17

Найти
их можно, заметив, что предложения, в отличие от формул языка
замещения, могут иметь бесконечно много конституент. Некоторые предложения содержат конечное
число конституент. Как мы увидим, можно доказать, что их бесконечно много.
Действительно, кажется естественным предположить, что существуют именно такие

ℵ

0

таких предложений очень много.

Поскольку предложения точно индивидуализированы, то будет 2

ℵ

0

многие предложения con-

тайнинг точно

ℵ

0

конституенты (каждая из которых имеет конечное число конституент).

18

То

количество предложений, которые имеют ровно 2

ℵ

0

составы - это 2 к 2

ℵ

0

и так далее.
Введем в язык подстановки примитивные предикатные выражения вида

С

н

(икс). В предполагаемом толковании, с

0

(x) говорит, что x имеет конечное число

согласные,

С

1

(x) говорит, что сущность x содержит ровно ℵ

0

многие составляющие,

С

2

(икс)

говорит сущность

x содержит ровно 2

ℵ

0

составные части и так далее. Определить следующим образом:

(икс

н

)Топор

н

защита

= (x) (C

н

(x) Ax Ax)

(∃икс

н

)Топор

н

защита

= (∃x) (C

н

(x) & Ax).

Нам нужно будет добавить следующую схему аксиомы:

С

н

1

(β

1

), &,..., &.С

н

j

(β

j

):⊃: С

м

({Ля}),

16

Письмо к Хоутри, датированное 22 января 1907 года.

17

Я сделал несколько предварительных предложений в [11].

18

Возможно, однако, что поскольку пропозициональная структура хорошо упорядочена, число является

ℵ

1

. Моя благодарность

Дэвиду Маккарти за полезное обсуждение этого вопроса.

Логицизм-это " неразрешимость’

395

где

β

1

, …,

β

j

являются ли все условия свободными в

A и m = max(n

1

,..., северный

j

). Необходимое

смягчающие аксиомы тогда включают в себя следующее:

(∃p

1

, ля

1

)(икс

0

) (∃q) (p

1

/ля

1

; икс

0

!вопрос. &.q ≡ A),

2001(Aux)

1

где

A-это любой wff (без квантора или иным образом), в котором p, a не являются свободными.

(∃с

2

, Т

2

, Вт

2

)(р

1

, с

1

)(∃вопрос)(

2

/t

2

, Вт

2

; р

1

, с

1

!вопрос. &.q ≡ A),

2001(Aux)

2

где

A-это любой wff (без квантора или иным образом), в котором s, t, w не являются свободными.

Легко видеть, что эти схемы аксиом следует рассматривать как истины логики

из предложений. Предположим, что существуют только

ℵ

0

много индивидуалов которые имеют конечно много

составляющие. Независимо от того, какая формула

A (ξ) есть, существует предложение p, содержащее

именно так

ℵ

0

многие составляющие, а именно.,

{ a = x.∨. a = x. ∨. a = x. ∨. a = x. ∨. a = x

...},

где сущность a содержит ровно

ℵ

0

многие составляющие, и где

x, x, x
и так далее-это все и только те сущности с конечным числом составляющих, которые удовлетворяют
формуле.

19

Но тогда у нас есть

С

1

p) и C

1

а) и

(икс

о

) (∃q) (p / a; x

0

!вопрос. &.q ≡ A(x

о

)).

Следовательно, мы имеем:

(∃p

1

, ля

1

)(икс

0

) (∃q) (p

1

/ля

1

; икс

0

!вопрос. &.q ≡ A)

и это только в 2001 году(Aux)

1

. Та же самая точка удерживается, когда мы поднимаемся по типам. Примеры:

схемы аксиомы 2001(Aux)

1

, 2001(Aux)

2

, прием., будут ли все считаться истинами чистой
логики предложений. Таким образом, подстановка может избежать аксиомы (схемы)
сводимости, которая подрывает логизм в Principia Mathematica.

Можно было бы возразить, что

С

н

предикаты, которые принимаются в качестве части
примитивных констант системы, принимают понятие кардинального числа как примитивное. Но обратите
внимание, что

С

н

предикаты сами по себе не порождают понятие кардинального числа
класса. Этому понятию дается его обычная конструкция Фреге / Рассела. Это наша семантическая
интерпретация понятия

С

н

предикаты, которые принимают их, относятся к мощности
предложения. Нет никакой аксиомы системы, которая гарантирует, что некоторые предложения имеют большую
, чем конечная мощность. Этот результат является теоремой системы, выведенной из самого парадокса po / ao
. То есть,

(x) (C

н

x ⊃ ∼ C

м

икс),

где

m = n-это схема теоремы системы. Доказательство заключается в следующем. Предполагать,

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

С

1

x] SIM ç (p/a) [p/ a; x ≡

икс

С

0

икс].

То есть предположим, что существует функция из класса всех сущностей

x, которые являются C

1

x на

класс всех сущностей

x, которые являются C

0

x. классы тогда подобны. В заместительной работе

19

Язык заместительной теории, конечно же, является финитарным. Но есть любопытные онтологические
вопросы о бесконечных предложениях, состоящих из бесконечных итераций бинарного отношения. Большое спасибо
Дэвиду Каплану за полезные обсуждения на конференции о том, будет ли необходимо бесконечное отношение
в качестве универсального, которое происходит предикативно в таком предложении.

396

G. Landini

обозначение это есть:

(∃h, d, e)(1-1funct (ο (s/t, w) [s/ t, w ≈

(0,0)

ч/Д, Е]) &

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

Дом

(0,0)

(hde) (x)] = υ (p/a) [p/ a; x ≡

икс

С

1

икс] &

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

ГСЧ

(0,0)

(hde) (x)] = υ (p/a) [p/ a; x ≡

икс

С

0

икс]).

(Замещающие определения домена, диапазона и функциональности выполняются, как и ожидалось.)

После экзистенциальной инстанциации давайте сократим следующим образом:

Gx

о

защита

= (∃m, n) (p, m ι î(s/t, w) [s/ t, w ≈

(0,0)

ч/Д, Е] &

a, n ι î(s/t, w) [s/ t, w ≈

(0,0)

h/ d, e] & x

0

= {m ⊃ n}).

Тогда мы можем сформулировать версию парадокса po/ao следующим образом:

(∃t

1

, Вт

1

)(икс

0

) (∃q) (t

1

/Вт

1

; икс

0

!вопрос. &.(вопрос.:≡:. Gx

0

. &.p / a; x

0

!р::⊃

p, a, r

: ∼ р)).

В результате возникает противоречие. Соответственно, не может быть никакой функции из класса всех
сущностей

x, которые являются C

1

x к классу всех сущностей x, которые являются C

о

x. мы можем пойти дальше, чтобы доказать

следующий:

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

С

о

x]

икс

С

1

икс].

(x) (C

1

x ⊃ ∼ C

0

икс).

По аналогичным соображениям мы знаем, что

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

С

н

x]

икс

С

n+m

икс].

(x) (C

н

x ⊃ ∼ C

n+m

икс).

По этой причине он является естественным для

С

н

предикаты должны быть семантически интерпретированы как
предикаты мощности. Но различия в мощности являются теоремами, а не аксиомами
системы.

Наша переформулировка заместительной теории Рассела позволяет избежать трудностей,
подрывающих логику Principia. Система избегает аксиомы бесконечности Principia. В
системе мы можем захватить универсальный класс всех сущностей вообще,

ο (p/a) [p/ a; x ≡

икс

В

икс].

(Я ставлю: V

ξ

защита

= ξ = ξ.). Легко доказать, что этот класс является дедекиндовым бесконечным (т. е. он
подобен одному из его собственных подмножеств). Существует также класс всех сущностей с конечным
числом составляющих:

I (p

1

/ля

1

)[p

1

/ля

1

; икс

0

≡

икс

0

В

икс

0

].

Это тоже Дедекинд бесконечный. Мы можем доказать, что любой класс, который является бесконечным Дедекиндом
, бесконечен в смысле Фреге, не будучи членом какого-либо натурального числа. Таким образом, мы
знаем, что класс

I (p

1

/ля

1

)[p

1

/ля

1

; икс

0

≡

икс

0

В

икс

0

] бесконечен в смысле Фреге. Быть

конечно, это оставляет его открытым, есть ли точно

ℵ

0

многие предложения с конечным числом

Логицизм-это " неразрешимость’

397

много составляющих.