Трансдефинитные Вещественные Числа

То

τ-вещественные числа являются множествами: суммы порядковых чисел

блок один хорошо упорядоченным процессом деления длины пополам

τ ∈

. Ничто не мешает

нам от продолжения этого процесса дальше некуда

и от рассмотрения трансдефинитного реального

числа, которые являются правильными классами.

Теперь, похоже на

из нашего предыдущего примера, пусть

T-любой литоральный начальный сегмент из

∗

, т. е. для каждого порядкового номера он содержит,

T содержит правильный класс более крупных кардиналов. Для

каждый

α ∈ T имеем 2

α

∈ Т. Пусть ϕ, ψ-последовательности, каждая из которых имеет длину T, с

ценности

∈ Т. ϕ < ψ определяется, как указано выше на стр. 325, на этот раз с помощью хорошо-заказ

Т. ϕ снова называется прогрессивным, если

α

n Аналогично стр. 333,

как избежать операции

∩ который не применим в T, мы позволяем для α ∈ T

f t (α): = наименьшее γ > 0 такое, что

β α = β + γ

является (α):= наименьшее β такое, что β + f t (α) = α

Теперь мы готовы определить предикат класса (не имеющий расширения), по аналогии

с

Р

τ

:

ϕ- трансдефинитное вещественное число длины T, короче говоря, T- вещественное число

Р

Т

ϕ: = ϕ: T → T ∧

α > 0 (ϕ(α) < 2

f t (α)

) ∧ ϕ не является прогрессивным.

Мы определяем супремум Sup

П

для предикатов P из

T-действительные числа в трех шагах, в виде

таким же образом мы определили естественный супремум Sup

(M) для множеств M из τ-вещественных чисел. П

называется ограниченным, если

Г

F (P (F) → F ≤ G). Первый шаг приводит нас к sup

П

.

Лемма 2. Каждый ограниченный предикат

P имеет наименьшую верхнюю границу ϕ = sup

П

: T →

T, т. е., ϕ (α): = sup{F (α) | P (F) ∧

β < α (F (β) = ϕ (β))}, будучи

отхлебывать

{γ |

F (P (F) ∧ F (α) = γ ∧

β)))},

с sup

{γ | A (γ)}: = наименьшее δ, для которого

γ (A(γ) → γ ≤ δ).

Определяющий

ϕ не требует понимания классов к гиперклассам, а наоборот

количественное определение импредикативного класса более

Ф. ϕ = sup

П

существует в соответствии с трансдефинитом

индукционная схема, которая доказуема в теории классов Бернайса В. Однако,

ϕ это не так

346

U. Blau

всегда а

Т-реальное число. Как и прежде, необходимо сделать еще два шага, чтобы получить

T-реальное число Sup

П

.

Шаг 2. Если бы...

ϕ(λ) < 2

f t (λ)

для всех предельных ординалов, т. е. liminals и litorals

λ ∈ T, то

позволять

ψ = ϕ. В противном случае существует наименьшее λ, для которого ϕ (λ) = 2

f t (λ)

, и как выше

ψ(α):=











ϕ(α),

если

α)

ϕ(α) + 1,

если

α = is (λ)

0

,

если

α > is(λ)

является ли’ наименьшей естественной ' последовательностью

> ϕ удовлетворяя условию на предельных местах.

Шаг 3. Как и прежде, этот шаг предпринимается

ψ:=

σ ∈T

ψ

σ

, генерирует Sup

П

:=

σ ∈T

ψ

σ

,

где

ψ

σ

= ψ

σ

, или

ψ

σ

это правильный брат-близнец, если

ψ

σ

прогрессивный. Отхлебывать

П

это

Т-Реал

число, так что определения сложения и умножения для

Р

Т

охотно берутся из

Р

τ

. Нужно иметь в виду только два изменения.

λ в (·0c) относится к лиминалам и литоралям.
Во-вторых, Sup следует понимать предикативно, чтобы избежать гиперклассов. Например,
Sup

{F + g | g

г

< Л

Г

} средства

самая маленькая естественная верхняя граница

H всех t-вещественных чисел F + g, имеющих вид

собственность

g

г

< Л

Г

(что является для данного

F, G импредикативное теоретико-классовое описание H.) эти

определения сложения и умножения действительны для всех литоральных сегментов

T of

∗

.

Таким образом, трансреальная арифметика S инвариантна против безграничных расширений

Р

Т

трансреальной онтологии.

Так много вкратце о самых больших и самых маленьких числах. Их руководящие идеалы,
вся формальная истина и континуум, формально невыразимы, но не наравне.
Первый хорошо обоснован в V, второй не имеет ни формы, ни основания. Расширяя
и уточняя нашу формальную сеть, мы будем ловить все больше и больше фрагментов истины, но ахилл
и черепаха будут проскальзывать через все сетки, и волшебный трюк, появление и
исчезновение формы и истины во времени и сознании, хорошо остаются совершенно секретными.

Рекомендации

[1]

Bernays, Paul: 1976. О проблеме схем бесконечности в теории аксиоматических множеств.
In: G. H. Müller (ed.), Множества и классы. О работе Пола Бернайса, Амстердам:
Северная Голландия, 121-172.

[2]

Blau, Ulrich: 1985. Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien, Short version.
Erkenntnis 22: 369–459.

Самые большие и самые малые числа

347

[3]

Blau, Ulrich: 1992. Кантор и Нагарджуна. Диалектика 46: 297-311.

[4]

Blau, Ulrich: 1998. Ein platonistisches Argument für Cantors Kontinuumshypothese.
Диалектика 52: 175-202.

[5]

Blau, Ulrich: 2000ff. Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien. Неопубликованная
рукопись, Мюнхен.

[6]

Burge, Tyler: 1979. Семантический парадокс. Журнал философии 76: 169-198.

[7]

Conway, John H.: 1976. О числах и играх. New York: Academic Press.

[8]

Gupta, Anil: 1982. Истина и парадокс. Журнал философской логики 11: 1-60.

[10] Klaua, Dietrich: 1989. Transfinite Zahlensysteme auf der Grundlage der Cantorschen

Ordinalzahlen. Karlsruhe: Widmann.

[11] Kripke, Saul A.: 1975. Набросок теории истины. Журнал философии 72: 690-712.

[12] Robinson, Abraham: 1966. Нестандартный Анализ. Амстердам: Северная Голландия.

Seminar für Philosophie, Logik und Wissenschaftstheorie
Philosophie-Department
Ludwig-Maximilians-Universität München
Ludwigstr. 31/I
80539 München
Germany