Логика как наука о Пропозициональной структуре

Таким образом, совершенно ясно, что пробуждение Рассела к различению логических и
семантических парадоксов не возникло вместе с критикой принципов Рамсеем.

6

Пеано
намекнул, что их следует различать в 1906 году [13], и Рассел явно предложил
различные решения для них в печати. В 1905 году Рассел рассматривал веру как диадическое
отношение к пропозиции и исследовал, даст ли решение Эпименида лжеца (как
парадокс пропозиции, а не утверждения) бесценные философские
прозрения относительно парадоксов пропозиций. Но он отказался от этого взгляда
на веру, когда отказался от общих положений. Семантические парадоксы являются как бы тангенциальными
к теории замещения, как они есть к теории множеств Цермело. Упущение этого важного
факта непоправимо затуманивает понимание теории замещения.

Не менее важно понимать, что логические частицы в теории замещения
не являются логическими частицами современных исчислений предикатов. В современном
исчислении предикатов, логическая частица “

→ "является утверждением соединительным; он окружен хорошо-

сформированные формулы (wffs)

A и B языка исчисления, чтобы сформировать формулу
A → B. аналогично, современная логическая частица ” " является утверждением соединительным; она
фланкирована wff

A для формирования wff A. В языке подстановки используются только переменные

являются индивидуальными переменными. Логическая частица Рассела “

⊃ "является выражением диадического предиката
для отношения' импликации.- Он окружен терминами, образующими формулу. Соответственно,
где

α и β-любые члены, α ⊃ β-wff. (Я использую строчный греческий для любого единственного числа

термин языка замещения.) Положение о том, что

x и y в Формуле x ⊃ y

являются предметными позициями, а также индивидуальными (сущностными) переменными

x и y здесь связываются,

6

К сожалению, Рассел ошибочно приписывает это различие Рэмси. См. [28]: 126.

380

G. Landini

так что,

(x)(y) (x ⊃ y) - это формула языка. (Здесь говорится, что для всех x и y, x

подразумевает

y.) кроме того, в теории замещения wff формального языка может
быть номинализирован для получения подлинного сингулярного термина. Полезно использовать номинализирующие фигурные
скобки “

{"и"} для номинализации. Таким образом, где x и y-индивидуальные переменные,
{x ⊃ y} - это термин. Различие между терминами и формулами уважается Расселом.
Выражение:,

x {{x ⊃ y} - это формула. Но поскольку позиция субъекта сама по
себе достаточна для указания на то, что произошло номинализирующее преобразование, мы часто можем отбросить
скобки и использовать точки для пунктуации. Таким образом, вместо того, чтобы писать

x {{x y y} мы можем

писать,

икс. ⊃.x ⊃ y как наша формула.

7

Конечно, это может показаться странным для таких сущностей, как люди, камни и деревья, чтобы сказать

вступать или даже не вступать в отношение импликации. Возможно, родственник

x / y

от

x не является сопрезентантом с y (адаптировано из хода Пирса / Шеффера)

8

лучше
всего подходит для этой роли. Но для правильного понимания заместительной
теории существенно не идентифицировать ее признак “

⊃ "с современным утверждением соединительный"→.”

В неопубликованной рукописи от 22 декабря 1905 года, озаглавленной “о замещении”
, Рассел изложил формализацию основного исчисления для замещения [19]. Из этого
мы можем реконструировать формальное исчисление для заместительной теории, которую имел
в виду Рассел. В оригинальной версии 1905 года, написанной до открытия Расселом парадокса po / ao
, теория замещения позволила любому wff своего языка быть номинированным,
чтобы сформировать сингулярный термин. Подстановочный язык принимает в качестве примитивных следующие
знаки: (,), {, }, /,!, и

⊃. Индивидуальные переменные языка подстановок

являются

x, за которым следует одно или несколько вхождений “ ”. Неофициально мы будем использовать любую
строчную букву английского алфавита. Термины даны индуктивно следующим образом. (1) все
индивидуальные переменные являются терминами; (2) Если

A - это wff, то {A} - это термин; (3) нет никаких

иные условия. Атомарные wffs имеют вид:

(x ⊃ y),

(x / y; z!u)

где

x, y, z, u-переменные величины. Wffs - это наименьшее множество K, содержащее все

атомный wff и такой что (

α ⊃ β), (α/β; µ!δ), и (x)C, и в K только тогда, когда α, β, δ,
µ-любые члены, C-любая wff в K, в которой индивидуальная переменная x происходит свободно. Выражение:

α/β; µ!δ говорит, что δ является результатом замены µ для каждого случая β

в

α. Понятие подмены является примитивным. Структурно сущность δ является точно такой же, как α

разве что

µ имеет место в δ именно в тех положениях (если таковые имеются), в которых β имеет место в α.

Схемы аксиомы для исчисления для исходной 1905 заместительной логики из

предложения могут быть сформулированы следующим образом:

α. ⊃.β ⊃ α

S1

α. ⊃.β ⊃ δ:⊃: β. ⊃.α ⊃ δ

S2

7

Сам Рассел занял позицию субъекта, достаточную для обозначения номинализирующей трансформации, и поэтому
не использовал скобки, как мы это сделали выше. В дальнейшем я буду использовать точки симметрично для пунктуации.

8

Конечно, инсульт Пирса / Шеффера

A / B для альтернативного отрицания и A ↓ B для совместного отрицания являются утверждением

связки.

Логицизм-это " неразрешимость’

381

α ⊃ β:⊃: β ⊃ δ. ⊃.α ⊃ δ

S3

α ⊃ β. ⊃.α:⊃: α

S4

(u)Au ⊃ A[α|u], где α является свободным для u в A.

S5

u) (α ⊃ Au). ⊃.α ⊃ (u)Au, где u не является свободным в α.

S6

α в {Aa}

S7

α в {Aß

1

,..., β

н

}:⊃: α = {Aß

1

,..., β

н

}.∨. α в β

1

.∨.,...,.∨. α в

S8

β

н

, где A-любой wff, все отдельные свободные члены которого являются β

1

,…,

β

н.

(x, y) (x в y.&. y в x:⊃: x = y)

S9

(x, y, z) (x в y.&. y в z:⊃: x в z)

S10

(p, a)(q)(x, y) (p/a; x!q.&. p / a; y!q.&. a в p:⊃: x = y)

S11

(p, a)(z)(q) (p/a; z!q.&. а в п. &. a = p:⊃: z в q. &. z = q)

S12

(x, y) (x/x; y!y)

S13

(x, y) (x/y; y!икс)

S14

(p, a) (x) (∃q) (p/a; x!р. ≡

Р

.q = r)

S15

(p) (∃q) (q ex p)

S16

(∃u) (α out {Au|v}). ⊃.(u) ({Aa|v}/α; u!{Au|v}),

S17

где

α и u свободны для v в A.

(∃у

1

,..., у

н

) (α out {Au

1

|в

1

,..., у

н

|в

н

}): &: α =

S18

{Au

1

|в

1

,..., у

н

|в

н

}. &.α = β

1

. &.,...,. &. α = β

н

.:⊃:.

(x) (∃u

1

,..., у

н

) ({Aσ

1

|в

1

,..., σ

н

|в

н

} / α; x!{Au

1

|в

1

,..., у

н

|в

н

}

: &: σ

1

|α; x!u

1

. &.,...,. &. σ

н

|α; x!u

н

),

где каждый из них

u

я

и

σ

я

, 1

≤ i ≤ N, свободны для их соответствующего v

я

В А, и

β

1

,..., β

н

являются ли все термины, происходящие бесплатно в

Есть

{(u) Au} = {(v)Av / u}, где v является свободным для u в A.

S19

{(u) Au} = {(u) Bu}. ⊃.(u) ({Au} = {Bu})

S20

{(u)Au} = {α ⊃ β}

S21

α в {(u) Au}. &. α = {(u) Au}:⊃: (u) (α в {Au}),

S22

где

α не является индивидуальной переменной u, и u не является свободным в A.

{α ⊃ β} =⊃. &. {(u)A} =⊃

S23

382

G. Landini

Правила вывода системы заключаются в следующем:

Modus Ponens:

От

A и {A} ⊃ {B}, вывод B.

Универсальное Обобщение:

От

A вывод (u)A,

где

u-индивидуальная переменная, свободная в A.

Замена определенных знаков:

Definiens и definiendum могут заменять друг друга в любом контексте.

Затем вводятся следующие определения:

∼ α

защита

= (x) (α ⊃ x)

df

(∼)

(х) а

защита

= ∼(x) ∼ A

df

(∃)

α ∨ β

защита

= ∼ α ⊃ β

df

(∨)

α & β

защита

= ∼(α ⊃ ∼ β)

df

(&)

α = β

защита

= (p) (A)(q)(r) (p/a; α!q.&. p / a; β!r:⊃: q ⊃ r)

df

(=)

(∃икс

1

,..., икс

н

)Ля

защита

= (∃икс

1

),..., (∃икс

н

)Ля

df(E)

(икс

1

,..., икс

н

)Ля

защита

= (икс

1

),..., (икс

н

)Ля

df(A)

Ля ⊃

икс

1

,икс

2

,...,икс

н

Б

защита

= (икс

1

)(Ля ⊃

икс

2

,...,икс

н

Б)

df(I)

α вне β

защита

= (u) (β / α; u!β)

df (out)

α в β

защита

= ∼(α вне β)

df (in)

α ind β

защита

= α из β.&. β вне α

df(ind)

α ex β

защита

= ∼(u u) (u в α.&. u в β).

df (ex)

Эти последние определения заслуживают краткого обсуждения. С понятием подстановки как
примитива Рассел определяет, что такое для одной сущности быть вне (не конституента)
другого. Конечно

a выходит из b тогда и только тогда, когда каждая замена сущности u на a в b

не меняющий

Б. Рассел затем определяет понятие сущности, находящейся внутри (конституента)
другого, как просто противоречащее внешнему. По определению Рассела, существует тривиальный
смысл, в котором каждая сущность находится сама по себе. Но из аксиом Рассела (S9) и (S10)
следует, что ни одна сущность не существует сама по себе в нетривиальном смысле. То есть, никакой сущности

а находится в Ан

Логицизм-это " неразрешимость’

383

другая сущность, которая, в свою очередь, находится в А. Рассел также вводит понятие сущности
, являющейся независимой от другого: сущность

а не зависит от в тогда и только тогда, когда ни один из них не является
конституентой другого. Более важным является определение Расселом сущности, исключающей
другую. Сущность

a исключает b тогда и только тогда, когда ни одна сущность не является конституентой как a, так и
b. это определение важно для аксиомы (S16), которая необходима для того, чтобы антецедент
клаузулы (S17) мог быть отделен, когда это необходимо. Ибо если...

a исключает b, тогда поскольку a в a,

из этого следует, что

a находится вне B. Это реконструирует (с небольшим обновлением)

9

система для
подстановочного исчисления логики, которую Рассел изложил в конце 1905 года.