О естественном решении семантических парадоксов

на что я могу только намекнуть.

5

Это требует третьего значения истины

O (’open') для семантически

необоснованные предложения и всеведущий верификатор

В., который, столкнувшись с таким

предложения проходят через трансдефинитные процессы рефлексии. Позволь

В

α

и

В

≥α

обозначим через

всеведущий верификатор на уровне рефлексии

α и на любом уровне рефлексии ≥ α. Во время попытки

чтобы оценить истинностное значение лжеца,

Л:

Предложение L не соответствует действительности

V попадает в проверочный круг, и значение L остается открытым, пока V

о

следует по кругу, не задумываясь.

В

≥1

признает, что предложение L открыто на уровне

0. Так что это неправда, и это то, что он утверждает:

В

≥1

признает, что предложение L является истинным

на уровне 1. Но это то, что он отрицает:

В

≥2

признает, что предложение L является ложным на уровне 2.

Так что это неправда, и это то, что он утверждает:

В

≥3

признает, что предложение L истинно при

Уровень 3.... И

В

ω

распознает бесконечное колебание

О

0

,

В

1

,

Ф

2

,

В

3

,

Ф

4

..., от

лжец л. аналогичным образом он признает, что

'Это предложение истинно’

является

О

0

,

Ф

1

,

Ф

2

,

Ф

3

,

Ф

4

...,

'Это предложение ложно’

является

О

0

,

Ф

1

,

В

2

,

Ф

3

,

В

4

...,

'Это предложение открыто’

является

О

0

,

В

1

,

Ф

2

,

Ф

3

,

Ф

4

...,

'Это предложение не является ложным’

является

О

0

,

В

1

,

В

2

,

В

3

,

В

4

...,

'Это предложение не открыто’

является

О

0

,

Ф

1

,

В

2

,

В

3

,

В

4

...,

Принцип этого заключается в следующем:

В

α

признает истинность ценностей всех уровней

< α, а также

значение

W, F обоснованных предложений его собственного уровня α. Он тоже не признает

значение

O необоснованных предложений его собственного уровня или ценностей любого более высокого уровня.
Это основная идея логики рефлексии LR, которая способна решить все парадоксы

5

Это стало очевидным для меня около 20 лет назад; детали должны быть найдены в то же время довольно устаревшей
короткой версии [2]. Это решение возникло независимо от существующей литературы, но похоже на три
полууспешные попытки: ограничившись уровнем рефлексии 0, мы заканчиваем по предложению Крипке [11],
индексальный элемент истины неявно найден в Burge [6], а колебание значения истины появляется в
Gupta [8].

По сравнению с этими предложениями LR (основанный на теории множеств и классов) имеет два преимущества:

1. естественная семантика: деревья верификации, которые моделируют процесс неформальной верификации и рефлексии;

2. метатеоретическая полнота: каждая метатеорем для LR действительна в LR на достаточно высоком уровне

уровни отражения.

318

U. Blau

относясь к истине, удовлетворению и обозначению естественным образом, формально различая
три понятия истины:

В:

неотраженная правда, имеющая невидимый индикатор для моего собственного уровня

В

∗

отраженная истина, имеющая индикатор

∗

для уровня(ов) я есть

размышляя сейчас

В

α

истинность уровня рефлексии

α, с постоянными и переменными индексами α.

В

α

поймет

Ш как Ш...

α

, и

В

∗

как

–

В

0

если

α = 0;

–

В

β

если

α = β + 1;

–

оставаясь истинным с предыдущего уровня до, но исключая

α, если α есть a

лиминальные или литоральные.

LR позволяет нам формализовать предложения, подобные следующим, которые затем действительны с
уровня рефлексии

ω на:

Лжец L, имеющий неотраженный предикат истины

W открыт на всех конечных
уровнях рефлексии, поэтому никакого парадокса не возникает.

Лжец L, имеющий отраженный предикат истины

В

∗

открыт на уровне 0, true

на всех конечных нечетных уровнях и ложно на всех конечных четных уровнях

> 0, следовательно

парадокс.

Для чего существуют трансфинитные и трансдефинитные уровни рефлексии? Они принуждены к тому, чтобы

вслед за лжецами:

Это предложение открыто на всех конечных уровнях рефлексии.

Она, согласно семантике LR, открыта на всех конечных уровнях-следовательно, истинна начиная с уровня
ω.

Это предложение открыто на всех уровнях трансфинитной рефлексии.

Он, согласно семантике ЛР, открыт на всех трансфинитных уровнях-таким образом, истинен с
уровня

, т. е., 1

, 0 ВКЛ. Сейчас:

Это предложение открыто на всех трансдетерминированных уровнях рефлексии.

Если бы идеальная концепция трансдетерминированного порядкового числа была формально выражаема любым способом, то

рефлексия-логическое решение семантических парадоксов-единственное естественное решение
, насколько можно видеть, - была бы столь же парадоксальной, как и лжец ab ovo.

Самые большие и самые малые числа

319

Чистая Формальная Истина

Мы называем это идеальное понятие U. Его расширение является экспланандумом всей логики &

математика; ее интенция, ее система правил-это центральный экспланандум логики: сама
чистая формальная логика. Поскольку U не может быть выражено формально, нам приходится довольствоваться
его формальными фрагментами. Трехзначные предикаты истины

В

α

об иерархической структуре

уровни рефлексии неизмеримо сильнее, чем двузначные предикаты истины

Т

α

о классической иерархии объектного языка и метаязыков. Каждый

Т

α

(с

α в

∗

) определяется с помощью W

0

. Ссылаясь на то, что

s к языку теории множеств мы определяем

Т

α

с

x: = W

0

с

x, и x - это (множество Геделя a) предложение теоретико-множественного множества

язык, содержащий не более истинностных предикатов

Т

β<α

с

:

Эта классическая иерархия-назовем ее W

0

- из теоретико-множественных истин

Т

α

с

в V есть но

иерархия предикативных классов: предикаты истинности

Т

α

с

с классическими уровнями и то

переменная класса

Икс

α

с предикативными уровнями они взаимно определимы, используя стандартную
интерпретацию на V.
Класс-теоретически мы определяем аналогичным образом:

Т

α

с

x: = W

0

с

x, и x - это (множество Геделя a) предложение импредикатива-

теоретико-классовый язык, содержащий не более предикатов истинности

Т

β<α

с

:

Опять же, самый низкий уровень

Т

0

с

импредикативного класса истин (без истинностных предикатов)

неизмеримо сильнее иерархии W

0

предикативного класса истин или-
что эквивалентно-иерархии объектного языка и метаязыков всех теоретико-
множественных истин. Это происходит потому, что уровень рефлексии иерархии W

1

из всех теоретико-множественных истин есть

расположенный между W

0

и

Т

0

с

. Наконец, возникает четырехэтажная иерархия истин W

В

3

:

трехзначная иерархия отраженных классовых истин

В

α

с

В

2

:

классическая иерархия нерефлектированных классовых истин

Т

α

с

В

1

:

трехзначная иерархия отраженных множеств истин

В

α

с

В

0

:

классическая иерархия неотраженных множеств истин

Т

α

с

Каждый этаж имеет высоту:

∗

. Каждый фрагмент истины расширяет все предыдущие
фрагменты истины. Если этот трехзначный классовый абсолютизм является реальной, чистой теорией истины, то
возможно

U

= W

держит. Говоря более определенно: W может быть экстенсивно и интенсивно правильным
и полным, то есть оно может точно постигать все чистые формальные истины и логику
чистого формального понятия истины. Предполагать это было бы трудно до сих
пор, и это остается немыслимым для понятия истины в любой другой науке. Что
можно сказать в пользу этой гипотезы?

320

U. Blau

Для Платониста очевидно, что W является экстенсионально и интенсивно правильным.

Он предполагает—после некоторого колебания - W быть полным по следующим причинам:

1. Расширить W онтологически ему кажется невозможным. Если все чистые формы являются классами

⊆ V, там нет ни пятого этажа, ни бокового здания.

2. Чтобы сделать эти этажи выше обычно выглядит невозможным для него, так как

∗

не могу

быть формально достигнутым.

3. Может ли появиться какие-то скрытые аспекты или измерения истины, которые заставляют нас

использовать дальнейшие различия или индексы? Это априорно возможно, но апостериорно
невероятно, после двух с половиной тысячелетий опыта работы с логикой. Действительно,
лжец, исключенный классикой, а затем проанализированный с помощью трехзначных уровней истины,
был одним из самых ранних логических наблюдений. Другие аномалии чистой формальной
истины до наших дней не дошли.

4. (Деликатный вопрос.) Может ли это быть то средство описания для U, V или W, которое

не доступны ли сегодня будут обнаружены? Это вполне может быть; это может даже выглядеть
весьма вероятным для всех остальных. Но у Платониста есть эмпирические основания быть
скептиком. Он требует, чтобы каждый будущий основной символ-подобно тем, которые известны-был

а) интенсивно уникальный

b) неприводимый.

Ни один кандидат, удовлетворяющий этим требованиям, не появился за последние сто лет.

Небольшое число

Вообще-то, они должны были появиться еще со времен Зенона. Ибо все знали с тех пор

тогда что интервал

[0, 1] можно разделить на счетно бесконечное число частичных

интервалы уменьшающихся размеров:

0

1
2

3
4

7
8

... 1

и надо было задуматься о странной пропасти:

[0, 1] не является ни рациональным, ни реальным

числа

x делится на бесконечное число парциальных интервалов одинакового размера, так как

эти числа Архимедовы. Для каждого

x > 0 существует натуральное число n, так что

x * n > 1. Чего не хватает, так это неархимедово бесконечно малое число

1

ω

('1 over

ω’

значение: '1 2

ω

- th', т. е. ' 1

ω-й’) с

1

ω

· ω = ω ·

1

ω

= 1. Аналогично,

1

ω

должно быть

Самые большие и самые малые числа

321

делится на 2

, 4,... ω, так что

1

ω + 1

· 2 = 2 ·

1

ω + 1

=

1

ω

,

1

ω + 2

· 4 = 4 ·

1

ω + 2

=

1

ω

,

1

ω + ω

· ω = ω ·

1

ω + ω

=

1

ω

,

и так далее. Таким образом, желаемая теория должна быть порядковой теорией. Для кардинально,
ω + 1 = ω + ω = ω и

1

ω+1

=

1

ω+ω

=

1

ω

будет проводить. Наш главный результат, однако,

будет специальный случай для transfinite кардиналов

κ

1

κ

· κ = κ ·

1

κ

= 1, и наконец

1

·

=

·

1

= 1,

так как нет более высоких

эта теория, похоже, пока не существует. Есть

нестандартный анализ [12] модели которого содержат бесконечно малые числа

я и...

их мультипликативно обратные аналоги

j, так что i * j = j * i = 1. Однако j не
является конечным порядковым числом, а подчиняется стандартным аксиомам для действительных чисел,
которые конечны.

Несколько ближе к искомой теории находятся гениальные числа Конвея.

6

Это уточнение действительных чисел, которое является трансфинитным в порядковом смысле - и
снова удовлетворяет стандартным аксиомам для действительных чисел. Страстные дробилки чисел будут
наслаждаться ими, ценой того, чтобы вычислить с помощью таких чисел, как

ω-1, ω/2, или

√

ω,

которые больше, чем все натуральные числа, но меньше, чем

ω. Этих цифр нет

существуют для Платониста. Он берет:

ω серьезный как предел естественного подсчета: ω имеет

нет непосредственного предшественника

ω − 1. Короче говоря, для Платониста
современное понимание чисел, по-видимому, страдает от семантической слепоты (стандартной
математики) и технической латки (нестандартной математики), точно
так же, как и понимание математической истины. Это плачевное состояние как
вызвано, так и приводит к операционному способу мышления, который я просто карикатурно для краткости.
Математика, как искусство вычисления, рассматривается как онтологически нейтральная (что
, как мы увидим, не совсем верно), следовательно, как свободная от онтологии (что вовсе не верно).
Кроме того, без структурно уникальной математической онтологии не существует
единой математической истины (что является правильным). Операционалист, практик, переживающий кризис
, чувствует себя в гармонии с современным духом. Он смотрит на число и математическую
истину не как на неподвижные точки на небосводе идей, а скорее как на размытые понятия с
техническими вариациями, подлежащими использованию ad libitum. Платоник менее подвижен. Хотя его
понятие числа менее определенно, чем его понятие математической истины, семейство
чисел выглядит для него генетически более тесно связанным, чем видно в числе
фенотипы на алгебраическом уровне. Ибо числа берут свое начало в этих архаичных источниках

6

Смотрите [7]. То же самое справедливо и для трансфинитных вещественных чисел из [10], которые также удовлетворяют стандартным аксиомам
для вещественных чисел. Какие числа следует рассматривать как правильные? Конечно, те из Конвея
и Клауа являются более полными алгебраически. Что же касается подсчета и деления пополам, то предложенные здесь варианты более
естественны.

322

U. Blau

математики, которые старше, чем вычисления и уже, чем широкий поток
алгебры:

а) мышление в единицах измерения

b) подсчет единиц измерения

c) разделение единиц измерения

d) объединение единиц измерения в единицы более высокого уровня: наборы и классы

(e) упорядочение единиц в числовые структуры, которые выглядят естественно—и это кажется—

встречаются в природе не просто по совпадению.

(a) - (c) в основном является геномом семейства чисел; (b), поддерживаемый (d),
обязательно приводит к ординалам и кардиналам; (c) аналогичным образом обязательно приводит к
действительным числам. Эти теории бесконечного большого и конечного малого справедливо
считаются окончательными стандартными теориями. Чего не хватает Платонику, так это
консервативного объединения, дающего единую теорию бесконечно больших и малых чисел, которая
уважает их природу, например, предельный характер

ω. Онтология, а не алгебра, ведет
путь к этой теории. Мы будем расширять стандартную модель вещественных чисел,
двоичное дерево, расширяя его ветви до любой длины и таким образом достигаем все более
мелкозернистых и более плотных трансфинитных и трансдефинитных вещественных чисел.

Однако мы не будем приближаться к континууму -и это опровергает
онтологическую нейтральность математики. Парадокс движения Зенона и парадоксы
расплывчатости типа Сорита (накопления) формально неразрешимы, поскольку
непрерывность абсолютно лишена структуры и формально непостижима: безостановочное, скользящее
изменение без тождества и нумерации. Каждый математический континуум-это подделка.

О континууме

Если непрерывность формально невозможна,то как и где еще? Каждый пример, который
приходит на ум, касается пространственной, временной или пространственно-временной непрерывности. Итак, пространство и
время абсолютно бесструктурны? Возможно, в конце дороги, но уж точно не для
нас. Самый простой пример непрерывности, о котором мы можем думать, - это вневременная и полуформальная:
идеальная прямая линия. В нем нет абсолютно никаких зерен. Спрашивать, сколько
на нем точек, не имеет никакого смысла, как и спрашивать, сколько ангелов танцуют на
шпиле. И вот наступает замечательное, неизбежное онтологическое падение: две идеальные
прямые линии пересечение. - Куда же? На определенном этапе. Таким образом, в континууме существуют различные точки
. Но число этих точек будет найдено только в представлении числовых
пространств. Отсюда следует, что любая математизация геометрии искажает геометрическую
интуицию непрерывности. Эта фальсификация простирается еще дальше: любая непрерывность, которую мы думаем
, проецирует структуры в бесструктурный и безразмерный континуум. Две
пересекающиеся прямые линии предполагают общую плоскость —чем это можно объяснить?

Самые большие и самые малые числа

323

Геометрическая интуиция, к которой мы будем обращаться в следующих разделах, всегда направлена на
частичный континуум, например, интервал с различными конечными точками 0, 1. Но точки, линии, плоскости
и все другие проявления между крайностями чистых форм и чистого бесформенного
неизменно представляют собой наполовину понятую смесь проецируемой структуры и непостижимой
непрерывности, субстанции или материальности, которые позднее растворятся в тонкой структуре-
вечной драме физики, которая никогда не освобождается от своего предмета, какую
бы форму она ни имела. Является ли абсолютный континуум, на который мы натыкаемся в этих материально-частичных формах
на каждом углу, и это определяет геометрическую интуицию таким существенным образом,
наконец, среда между трансцендентным единством и имманентной множественностью, которую платоники,
гностики и мистики так трудно фиксируют?

Время побуждает или соблазняет нас к подобным размышлениям. Его непрерывное протекание кажется
очевидным, почти тавтологичным: нет времени без протекания, нет протекания без
непрерывности. Однако при ближайшем рассмотрении эти доказательства ослабевают. Мы
вынуждены отличать внутреннее, ментальное время от внешнего, физического времени. Может ли твердое
физическое тело, скажем Ахилл или, точнее, его центр тяжести, непрерывно двигаться
во внешнем времени? Возможно. До тех пор, пока у нас нет окончательного знания о том, что
именно движется в ахилловых кварках? струны? математические амплитуды вероятности?—
мы никогда этого не поймем. как и если что-то действительно движется там. Возможно, каждое
физическое движение - это ментальный артефакт.

Но упрямство этих артефактов, воспринимаемая непрерывность движения; разве
они не являются ясным намеком на ментальную непрерывность восприятия и непрерывность—по крайней мере, в
короткие промежутки—сознания и внутреннего времени? Конечно-до тех пор, пока мы не дадим внутреннему
времени еще один взгляд. Иногда кажется, что интенсивное самонаблюдение создает разрывы на
поверхности устойчивого потока сознания, иногда оно как бы наполняет
его непрерывностью, а иногда оно приближается к абсолютной пустоте. Сколько из этого
переживается, ожидается или интерпретируется, неизвестно. Но одно несомненно: если есть
это реальное движение или изменение во внутреннем или внешнем времени, или, если прошедшее время не
является фундаментальным обманом сознания, как полагают некоторые физики и бесчисленные мистики
, то оно подразумевает непрерывность, которая ускользает от формализации.—А как насчет полного
квантования времени для решения всех Зеноновских задач? Это выглядит как идеальный
выход, если бы не проблема Зенона, как квант времени успевает пройти,
если во время его пребывания не проходит абсолютно никакого времени. Какая Космическая эстафета будет вести все
кванты пространства-времени синхронно прыгать из одного состояния покоя в следующее? Еще,
если бы будущая физика убедила нас, что внешнее время и—что еще труднее—внутреннее
время прерывно, то осталось бы последнее физически недоступное убежище -геометрическая
интуиция. Сплошная среда’

Р

вещественным числам он обязан своим открытием, а также
своим незаслуженным названием, поскольку геометрические конструкции в идеальном Евклидовом пространстве
представимы точно, фактически сверх-точно, как функции в

Р

.

Что именно такое реальные числа? Геометрическая интуиция не уносит нас очень далеко.
Например, упомянутое выше Архимедово свойство геометрически вовсе
не очевидно. Но то, что совершенно очевидно и интенсивно уникально, вплоть до изоморфизма,

324

U. Blau

является ли бинарное дерево B, которое определяется формально невыразимым самореферентным
императивом:

7

B0:

Создайте произвольную точку (корень)!

B1:

Добавьте две последующие точки к каждой точке, которая была создана в

шаг выполняется последним и повторите B1!

Действительное число

Их наиболее естественной моделью являются ветви B, последовательности

F, имеющие длину
ω и значения 0 или 1 в каждом месте. Эти ветви образуют (абстрактную) двоичную систему
счисления для положительных вещественных чисел, если мы интерпретируем первое вхождение 0 как
плавающую точку:

Ф:

1

,..., 1

m вхождений из 1

, 0, б

1

,..., б

Р

,...

с

б

я

= 0 или b

я

= 1

F обозначает действительное число

m + b

1

/2 + b

2

/4 +... б

Р

/2

Р

+...
Некоторые вещественные числа имеют два обозначения, например,

(1)

11010111

· · · = 11011000...

с тех пор как 2

+ 1/2 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + · · · = 2 + 1/2 + 1/4. Мы называем эти последовательности

с обеих сторон (1) и вообще двух последовательностей

F, G с

n (F (n) = 0 ∧ G (n) = 1 ∧

м

r > n (F (r) = 1 ∧ G (r) = 0))

(1)

левый и правый Близнецы. Для уникальной нотации мы обходимся без левого близнеца. В общем,
мы убираем все прогрессивные последовательности, т. е. последовательности, которые с определенного места
содержат только одни. Теперь мы можем идентифицировать обозначение с положительным реальным

7

В этом контексте для Платониста примечательны две вещи. Бинарное дерево B столь же уникально, как и

прогрессия P натуральных чисел:

P0:

Создайте произвольную точку ("ноль")!

P1:

Добавьте одну точку преемника к последней добавленной точке и повторите P1!
Если P объективно определено, то и B также, и число ветвей B, проблема континуума,
объективно определено, см. Примечание 1. Другая примечательная вещь заключается в том, что три наиболее важные математические
структуры, P, B, V, которые являются стандартными моделями теории натуральных чисел, теории реальных чисел
и чистой теории множеств и классов, соответственно, могут быть определены только интенсивно,
формально невыразимыми самореферентными императивами. Любая его формальная характеристика является неполной или
неверно или семантически циклично. Верно, что P и B категорически характеризуются в
логике второго порядка, но доказательство категоричности предполагает P и B как объективно определенные.

Самые большие и самые малые числа

325

числа.

Р

0

: = набор всех непрогрессивных последовательностей, имеющих длину

ω и на каждом месте значения 0 или 1.

Более практичный вариант, который позволяет упростить трансфинитное обобщение, отбрасывает

плавающая точка и допускает любое натуральное число на первом месте.

Р

: = набор всех непрогрессивных последовательностей, имеющих длины ω,

с

F (0) < ω и F (r) = 0 или F (r) = 1 для r > 0.

Начальное значение

Один

Ф

от

F-натуральное число F (0), дробное значение B

Ф

от

F-это

бесконечная сумма

F (1)/2+F (2) / 4+... F (r) / 2

Р

+... < 1 (поскольку F не является прогрессивным).

С этого момента мы используем

i, j, k, m, n

для натуральных чисел в метатеоретическом, т. е. теоретико-
множественном смысле

p, q, r

для натуральных чисел

> 0 в метатеоретическом смысле

F, G, R

для вещественных чисел в смысле

Р

, т. е. последовательности в

Р

.

Порядок на месте

Р

дается по первой разнице:

F

n (F (n)

м)))

Порядок является нерефлексивным, транзитивным, связным и непрерывным, что означает следующее:
Каждое ограниченное множество

М ⊆

Р

имеет супремум sup

(M), т. е. наименьшая верхняя граница ∈

Р

(sup (M)) (n): =

{F (n) | F ∈ M ∧

м))}

M называется ограниченным, если существует верхняя граница

G из M, т. е.,

F ∈ M (F ≤ G). То

натуральное число

m представляется в виде

Р

по порядку следования

m (n): =

m, если n = 0
0

,

иначе (‘

м при 0

th

место, 0 else’)

Рациональное число 1

/2

Р

представлен в виде:

Р

по порядку следования

1
р

(северный):=

1

,

если

n = r

0

, в противном случае (‘1 на r

th

место, 0 else’)

А Теперь...

Ф

: = F (0), начальное значение F (в смысле

Р

) и

Б

Ф

(северный):=

0

,

если

n = 0

F (n), в противном случае дробное значение F (в смысле

Р

).

326

U. Blau

F называется коротким, если

(ля)

м

n ≥ m (F (n) = 0)

иначе,

F называется длинным. Длина L

Ф

от

F-это, неофициально говоря, первый финал

0-место проведения

F, и формально: для краткости F, L

Ф

это самый маленький

м, такой что (а), надолго

F, L

Ф

= ω. Мы принимаем следующую нотацию: f, g, h-короткие числа ∈

Р

.

f-это

либо целое число

m с длиной 0 или 1, Если m = 0 или m > 0, соответственно, или дробное число

число с длиной

> 1 и некоторые 1-места, которые являются > > 0. Последнее из этих 1-х мест

называется конечное место проведения

ф. Обозначим любую дробную f с конечным местом r через g

1
р

,

где

g-это реальное число, которое остается, когда последнее место отбрасывается из f. Для

экономьте на использовании круглых скобок, привязанных к‘', ‘

· ’, '+'имеет все меньшую силу.

Теперь мы определяем сложение

F + G индукцией на L

Г

используя следующие правила (

+0)

через (

+3).

(+0)

(F + m) (n): =

F (0) + m,

если

n = 0

F (n),

иначе

Добавление

m просто увеличивает начальное значение F на m. рассмотрим теперь случай

Ф +

1
р

. С

1
р

представляет собой число 1

/2

Р

, мы видим неофициально, что

Ф +

1
р

создаваемый

От

F следующим образом:

(ля)

Если

F (r) = 0, а затем заменить этот 0 на 1.

(b)

Если

F (r) = 1, и F не имеет 0-го места q

увеличьте начальное значение параметра

F by 1 и заменить 1 найдено во всех

места от 1 до

r на 0.

(с)

Если

F (r) = 1 и F имеет самое высокое 0-место q

по 1 и замените 1 найденное во всех местах

q + 1 к r на 0.

Формально мы заявляем::

Если

F (r) = 0, пусть

(Ф +

1
р

)(северный):=

1

,

если

n = r

F (n), в противном случае.

(+1a)

Если

F (r) = 1 и F не имеет 0-го места q

(Ф +

1
р

)(северный):=











F (0) + 1, если n = 0
0

,

если 0

< н ≤ р

F (n),

иначе.

(+1b)

Самые большие и самые малые числа

327

Если

F (r) = 1 ad F имеет самое высокое 0-место q

(Ф +

1
р

)(северный):=











1

,

если

n = q

0

,

если

q

F (n),

иначе.

(+1c)

Используя (+0) и (+1), определим для краткости

G = g

1
р

путем индукции на

Л

Г

:

F + g

1
р

: = (F + g) +

1
р

.

(+2)

Случай

g = 0 из (+2) - это просто (+1). Наконец, для long G мы определяем:

F + G:= sup{F + g | g

(+3)

Точно так же мы определяем умножение на индукцию:

f · 0:= 0

(

·0a)

f · m + 1: = m + f.

(

·0b)

С этим,

ф ·

1
р

определяется индукцией на

Л

ф

:

м ·

1
р

:=

1
р

· m (правая сторона определяется выражением (·0))

(

·1А)

ф

1

q

·

1
р

:= Ф ·

1
р

+

1

q + r

(начиная с 1

/2

q

· 1/2

Р

= 1/2

q+r

)

(

·1b)

f · g

1
р

:= f · g + f ·

1
р

.

(

·2)

Случай

g = 0 из (·2) есть только (·1).

Надолго

G, пусть f · G: = sup{f · g | g

(

·3)

Надолго

F и произвольный G, пусть F · G: = sup{f · G | f

(

·4)

Вычитание ‘

− 'который ограничен на

Р

и не дает значений ниже 0, а также

дивизион ‘

/ 'теперь определяются явно:

Ф

−G: = sup{h | G + h

(˙

−)

Для

G > 0, пусть F / G:= sup{h | G · h >

(

/)

(Если

G = 0 и F > 0, множество {h | 0 · h >

Р

и
таким образом не было бы никакого супремума.) Теперь рассмотрим отрицательные вещественные числа. Для чисел фон
Неймана 0 и

p (p > 1), которые используются в метатеории, пусть

0

−

:= 0 и p

−

: = {p}.

Мы естественным образом расширяем их линейный порядок:

q

−

< п

−

< 0

−

= 0 < p

328

U. Blau

и присвойте аддитивное обратное число каждому положительному действительному числу

Ф ∈

Р

:

Ф

−

:= { n, i

−

| n, i ∈ F }.

Кроме того, пусть

Ф

− −

= Ф. Затем

Р

−

:= {Ф

−

| Ф ∈

Р

}- множество отрицательных вещественных чисел, и

Р

:=

Р

∪

Р

−

является ли множество вещественных чисел

(

Р

∩

Р

−

существование

{0}).

Снова мы расширяем их линейный порядок

Г

−

< Ф

−

< 0

−

= 0 < F

а также четыре фундаментальные арифметические операции, включая расширение
ограниченной вычитки ‘

− "к общему вычитанию"...:

F + G

−

:= Г

−

+ Ф:=

Ф

−Г,

если

G ≤ F

(Г ˙

−Ф)

−

, если F

Ф

−

+ Г

−

: = (F + G)

−

.

(Д

+)

R-S: = R + S

−

для

R, S ∈

Р

.

(Д

−)

F · G

−

:= Г

−

· F: = (F · G)

−

.

Ф

−

· Г

−

:= F * G.

(Д

·)

F /G

−

:= Ф

−

/G: = (F /G)

−

.

Ф

−

/Г

−

:= F / G.

(Д

/)

Вместо 1

/R мы также будем писать R

−1

. Теперь можно доказать, что

Р

удовлетворяет

стандартные аксиомы реальной арифметики.

8

Его формальный язык содержит классические
связки и кванторы первого порядка, индивидуальные константы '0', '1', реляционную
константу ‘

<в двух-функциональные константы ‘+’, ‘·’, и одно место функциональная

8

Это общеизвестно. Однако точное доказательство, которое я нигде не смог найти записанным, взял

почти 20 страниц. Я был бы признателен за любое сообщение более элегантного и полного доказательства.

Самые большие и самые малые числа

329

константы ‘

−

’, ‘

−1

’, которые записываются как верхние индексы. Аксиомы таковы::

x + y = y + x

(R1)

(x + y) + z = x + (y + z)

(R2)

x * y = y * x

(R3)

(x * y) * z = x · (y * z)

(R4)

(x + y) * z = x * z + y * z

(R5)

x + 0 = x

(R6)

x * 1 = x

(R7)

x + x

−

= 0

(R8)

x = 0 → x · x

−1

= 1

(R9)

x < y → y

(R10)

x < y ∧ y < z → x

(R11)

x < y ∨ x = y ∨ y

(R12)

x < y → x + z

(R13)

x < y ∧ 0 < z → x * z

(R14)

x Ax ∧

y

x (Ax → x ≤ y) →

y sup

Топор

y

(R15)

В (R15), пусть

Ax-формула первого порядка, содержащая x в качестве свободной переменной и пусть

отхлебывать

Топор

y - это формула

x (Ax → x ≤ y) ∧

зет (

x (Ax → x ≤ z) → y ≤ z),

читается как ‘

y является супремумом x, для которого Ax’. Если мы подставим более сильного

аксиома второго порядка

x Xx ∧

y

x (Xx → x ≤ y) →

y y = sup(X)

для схемы аксиом первого порядка (R15) реальная арифметика становится категориальной, причем
все ее модели изоморфны

Р

. Теперь мы уточняем положительную половину

Р

для создания
гибкой системы S из самых больших и самых маленьких чисел.