Трансфинитные Вещественные Числа

Почему ими пренебрегли, можно только догадываться. Безусловно, они более сложные

обращаться с ними сложнее, чем с реальными числами, но не намного сложнее, чем с порядковыми числами. Там
, вероятно, было два оговорки:

•

неоправданное недоверие к бесконечной делимости конечного:
(A)

1
1

+

1
2

+

1
3

+ · · · = 1

•

обоснованное недоверие к конечной делимости бесконечного, например:

ω ·

1
1

('половина из

ω’).

330

U. Blau

На (А). В метатеоретическом смысле

Р

, это уравнение правильно. Неофициальная сумма

на левой стороне находится прогрессивная последовательность 0111

..., который мы рассматриваем как левый

близнец-Брат 1 года. Может ли он, в расширенных моделях

Р

е

, быть бесконечно меньше, чем 1?
- Вот именно. Однако (а) не узаконено и не подкреплено формальными моделями, но нашей
геометрической интуицией, платоновским источником математики.

(B)

0

1
2

3
4

7
8

· · · 1

Существует взаимно однозначное соответствие между счетными бесконечно многими членами
слева от (A) и частичными интервалами (B). Следовательно, сумма соответствует
всему интервалу. Но если рациональные термины

1
р

(1 < r

интервал, который останется для бесконечно малых терминов

1

ω

,

1

ω+1

,...? Ничего не осталось.

Бесконечно малые термины

1
α

(α ≥ ω) не появляются в дополнение к терминам

1
р

(r

Каждый

1
р

скорее содержит сколь угодно большие множества и собственные классы бесконечно малых членов,

превосходящий

1
р

точно так же, как трансфинитные и трансдефинитные числа превосходят
конечные числа. Вот, казалось бы, красивый аргумент в пользу (а): если наше
исходное предположение

(С)

1

ω

· ω = 1

правильно, значит

ω элементы термина

1

ω

вместе взятые дают значение 1. Да и как он мог?

ω термины

1
р

, каждый из них бесконечно больше, чем

1

ω

, выходите значение меньш чем 1? К несчастью,

они могут. Если мы упадем из

ω термины

1
р

только один, например,

1
3

,

ω термины все еще остаются, каждый из них

будучи бесконечно больше, чем

1

ω

. Однако сумма составляет всего лишь 7

/8. Подобный опыт
делает а) подозрительным, а в) еще более подозрительным. Единственный аргумент в пользу (А), который у меня есть
, - это геометрическая интуиция: соответствие между терминами

1
р

а) и все частичные

интервалы из (B). Что касается ошибочного вывода: наверняка у нас есть 1

−

1
3

= 7/8, но

1

−

1

ω

, т. е.,

ix x +

1

ω

= 1, не существует больше, чем ω−1, т. е. ix x +1 = ω. Для

трансфинитные вещественные числа, представленные ниже,

н

ω

('N ω

th

s’) делим интервал [0, 1]

так же, как и натуральные числа

N разделите интервал [0, ω]. Как уравнение (A)

сокращает интервал вдвое

[0, 1] ω раз и складывает его снова, в соответствии с интуицией
геометрической непрерывности должно быть возможно разделить пополам любой сколь угодно малый интервал
[0,

1
α

] ω раз и сложить его снова вместе. По этой причине мы оговариваем обобщение
(A):

(Д)

1

α + 1

+

1

α + 2

+

1

α + 3

+ · · · =

1
α

Гораздо серьезнее, чем это, является другой предмет оговорки- конечная делимость
бесконечного. Что могло

ω ·

1
1

, 'половина из

ω’, быть? Его естественное значение, ix x · 2 = ω, не имеет

существуют: любые

x < ω слишком мало, так как это дало бы x · 2

большой, так как это дало бы

x * 2 > ω (в смысле порядкового умножения). Что

Самые большие и самые малые числа

331

иначе и быть не могло?

сама ω выглядит арифметически наиболее естественно. Ибо, если ω ·

1
1

< ω провел,

тогда был бы Ан

n, такие что ω ·

1
1

< северный ·

1
1

, а если, с другой стороны,

ω ·

1
1

> ω,

затем

ω ·

1
1

> ω · 1. В обоих случаях умножение не было бы даже слабо монотонным.
Это еще не достаточный аргумент. Основная проблема является более общей: для
бесконечного

α и произвольное β выражение

(

∗)

α ·

1
β

в большинстве случаев не имеет естественного смысла, тогда как

1
α

·

1
β

(‘a 2

β-й

из 2-х

α-й

’) естественно

означает

1

α+β

(‘a 2

α + β-й

’). Как мы объясняем эту разницу? Фундаментальные
интуиции подсчета и деления, приложенные к их основному объекту, единому, приводят к различным
результатам. Подсчет генерирует единицы измерения

α со структурами, которые определяют, как
их разделить—если они вообще делимы. Разделение одного порождает бесструктурные, непрерывные
единицы

1
α

, которые далее делятся по желанию. Так что же нам делать? Обратите внимание, что для всех

α, β

выражение

1
β

* α, т. е.,

1
β

+

1
β

+... (α раз в порядковом значении) не создает
никаких проблем со значением. Мы можем считать все единицы, которые нам нравятся, и суммировать их в порядковом
смысле. И так как для конечных

α, β

α ·

1
β

=

1
β

· α,

там не было никакой проблемы в том, чтобы

Р

. Самое лучшее, хотя бы самое простое решение смысла

проблема (

∗) по-видимому, следует принять α ·

1
β

как синонимичный вообще с

1
β

· α. А потом мы...

есть, например

ω ·

1
1

=

1
1

· ω =

1
1

· (2 · ω) =

1
1

· 2 · ω = 1 · ω = ω

В этом решении отсутствуют некоторые естественные деления бесконечного. Например,

(ω + ω) ·

1
1

имеет естественное значение:

ω, тогда как согласно нашему решению

(ω + ω) ·

1
1

=

1
1

· (ω + ω) =

1
1

· ω +

1
1

· ω = ω + ω.

Можно, хотя и сложно, определить умножения, которые обеспечивают некоторые естественные
конечные деления бесконечного, ценой многих искусственных результатов деления. С
учетом этого предложенное здесь решение является неполным, но правильным, если выражения

α ·

1
β

просто понимаются как определенные сокращения для

1
β

· α. Учитывая, возможно, что

самое главное, так как в наше время наиболее нарушается Максима логики и философии

Никаких специальных решений!

и еще одна Максима, которая следует почти неизбежно

Лучше неполный, чем неверный!

Я считаю, что наше решение вполне разумно.

332

U. Blau

Прежде чем мы определим трансреальные числа S, нам нужны некоторые постулаты.

Для положительных вещественных чисел

x, y, z и их представители
x, y, z в S:
x + y = z ↔ x + y = z, x · y = z ↔ x · y = z.
для порядковых чисел

α, β, γ и их представители

α, β, γ в S:

α + β = γ ↔ α + β = γ, α · β = γ ↔ α · β = γ.

(P0)

Этот принцип сохранения будет использован без упоминания. Еще одним непременным
принципом является слабая монотонность сложения и умножения для всех чисел

F, G, H:

F < G → H + F ≤ H + G ∧ F + H ≤ G + H ∧ H * F ≤ H * G∧
F · H ≤ G * H.

(P1)

Обобщение (D) пункта (A) было следующим:

1

α + 1

+

1

α + 2

+

1

α + 3

+ · · · =

1
α

(P2)

Обобщающий

1

m+n

=

1

м

·

1
н

нас ведут к тому, что

1

α + β

=

1
α

·

1
β

. – Следовательно

(P3)

Для конечных

A

1
α

: Ля ·

1
α

=

1
α

,

(P3. 1)

с некоторых пор

н

1
н

< A

1
н

·

1
α

(

P 3)

=

1

n+α

=

1
α

= 1 ·

1
α

, (P3.1) следует далее

(P1). Обобщающий

α ·

1
β

=

1
β

* α нас ведут к

α · A = a · α, для дробных чисел A, т. е. E., 0 ≤ A

(P4)

Правдоподобна следующая ассоциативность:

1
α

· β · γ =

1
α

· β · γ

(P5)

с

1
α

* β * γ имеет естественное значение

1
α

+ · · · +

1
α

+...

β

+ · · · +

1
α

+ · · · +

1
α

+...

β

+...

(ля

γ-последовательность β-последовательностей). Следовательно

Для конечных

F > 0 и бесконечное α: F * α = α,

(P5. 1)

Самые большие и самые малые числа

333

с некоторых пор

н

1
н

< F

1
н

· α =

1
н

· 2

н

· α

(

Р 5)

=

1
н

· 2

н

· α = α = n · α,

(П. 5. 1) следует из (Р1). Следующая ассоциативность, однако, вообще не имеет места.

1
α

·

1
β

· γ

=

1
α

·

1
β

· γ.

(P6

∗

)

Контрпример:

1
1

=

1
1

· 1

(С)

=

1
1

·

1

ω

· ω

=

1
1

·

1

ω

· ω

(P3)

=

1

1

+ ω

· ω =

1

ω

· ω

(

С)

= 1.

Ассоциативность терпит неудачу, потому что

ω поглощает 1 в 1 + ω. Поэтому мы постулируем:

1
α

·

1
β

· γ

=

1
α

·

1
β

* γ, если β ничего не поглощает из α,

точнее: если

α-наименьшее α

0

за которую

α

0

+ β = α + β, т. е.: если

α

0

< α (α

о

+ β < α + β).

(P6)

Поглощение будет центральной особенностью трансреальной арифметики, а также нормальной формы Кантора,

что является уникальным для всех

α > 0, будет полезно:

α = ω

α

1

+ · · · + ω

α

r-1

+ ω

α

Р

, (α

1

≥ · · · ≥ α

r-1

≥ α

Р

≥ 0).

(Северный)

ω

α

1

является ли начальный термин

it (α), ω

α

Р

это последний срок

f t (α), и ω

α

1

+ · · · + ω

α

r-1

это

первоначальная сумма

есть(α) из α. (is (α) = 0, если r = 1.) Формально:

it (α): =

{ω

β

| ω

β

≤ α}

f t (α): =

{γ | γ > 0 ∧

β α = β + γ }

is (α):=

{β | β + f t (α) = α}.

Для

α = 0 определим его (α) = f t (α) = is(α) = 0. Из (N) получаем

it (α) = ω

α

1

, f t (α) = ω

α

Р

, is(α) = ω

α

1

+ · · · + ω

α

r-1

.

и вообще...

α = is (α) + f t (α). Все аддитивные члены β нормальной формы (N) являются

аддитивно неразложимый, т. е.,

α < β (α + α

порядковая арифметика для

β > 0:

β аддитивно неразложимо ↔

δ β = ω

δ

↔

α < β (α + β = β)

т.е.,

β поглощает все α Следовательно

(T1)

β ничего не поглощает из α ↔ f t (α) ≥ it (β).

(T2)

334

U. Blau

Итак, наш предыдущий постулат-это

1
α

·

1
β

· γ

=

1
α

·

1
β

* γ, если f t (α) ≥ it (β).

(P6)

Точно так же должен быть ограничен и следующий постулат.

1
α

· 2

α

= 1.

(P7

∗

)

Сначала несколько положительных примеров. Для конечных

α = n, (P7

∗

) дает правильный результат

1
н

·2

н

= 1.

Аналогично мы получаем нашу исходную гипотезу

1

ω

* ω = 1, так как ω = 2

ω

(в порядковом значении 2

ω

.)

(С)

Кроме того, мы можем сделать правильный вывод из (P7

∗

)

1

ω + ω

· 2

ω+ω

= 1,

с

1

ω + ω

· 2

ω+ω (P3)

=

1

ω

·

1

ω

· 2

ω

· 2

ω

=

1

ω

·

1

ω

· (ω · ω)

(P5)

=

1

ω

·

1

ω

· ω · ω

(P6)

=

1

ω

·

1

ω

· ω

· ω

(С)

=

1

ω

· ω

(С)

= 1.

Теперь контрпример.

1

ω + 1

· 2

ω+1

= 2,

как

1

ω + 1

· 2

ω+1 (P3)

=

1

ω

·

1
1

· 2

ω

· 2 =

1

ω

·

1
1

· ω · 2

(P5)

=

1

ω

·

1
1

· ω · 2

(P6)

=

1

ω

·

1
1

· ω

· 2

(P5. 1)

=

1

ω

· ω · 2

(С)

= 2.

Из этих примеров можно было бы догадаться:

(P7

∗∗

)

1
λ

· 2

λ

= 1, для всех предельных ординалов λ.

Самые большие и самые малые числа

335

Но это приводит к противоречию. Например, мы бы получили

1

ω

2

+ω

· 2

ω

2

+ω

= 1, и далее

другая рука у нас есть

1

ω

2

+ ω

· 2

ω

2

+ω (P3)

=

1

ω

2

·

1

ω

· 2

ω+ω

2

+ω

=

1

ω

2

·

1

ω

· 2

ω

· 2

ω

2

+ω

(P5)

=

1

ω

2

·

1

ω

· 2

ω

· 2

ω

2

+ω (P6)

=

1

ω

2

·

1

ω

· 2

ω

· 2

ω

2

+ω

(С)

=

1

ω

2

· 2

ω

2

· 2

ω

(P5)

=

1

ω

2

· 2

ω

2

· 2

ω (P7

∗∗

)

= 1 · 2

ω

= ω.

Предположим, что (P7

∗

) имеет место для всех аддитивно неразложимых

α, то есть, по (T1):

(P7)

1

ω

δ

· 2

ω

δ

= 1.

Теперь некоторые следствия объяснят наши предыдущие примеры.

(P7. 1)

1
α

· 2

f t (α)

=

1

is(α)

,

с

1
α

· 2

f t (α)

=

1

is(α) + f t (α)

· 2

f t (α) (P3)

=

1

is(α)

·

1

f t (α)

· 2

f t (α)

(P6)

=

1

is(α)

·

1

f t (α)

· 2

f t (α)

(P7)

=

1

is(α)

· 1 =

1

is(α)

.

(P7. 2)

it (α) = f t (α) ↔

1
α

· 2

α

= 1.

‘

→’: Для α = 0, так как

1
0

· 2

0

= 1 · 1 = 1; для α > 0 пусть (N) - нормальная форма α,

и (P7. 2) следует индукцией на

r. случай r = 1 - это (P7).

В случае

r > 1 имеем α = is (α) + f t (α) = f t (α) + is (α), поэтому

1
α

· 2

α

=

1
α

· 2

f t (α)+is (α)

=

1
α

· 2

f t (α)

· 2

is(α)

(P5)

=

1
α

· 2

f t (α)

· 2

is(α)

(P7. 1)

=

1

is(α)

· 2

is(α

)

i. hyp

= 1. – '←'будет следовать из

(Стр. 7.3)

it (α) > f t (α) ↔

1
α

· 2

α

> 1.

336

U. Blau

‘

→ ’: Тогда α имеет нормальную форму (N) для r > 1 и (P7.3) следует индукцией r. By

(T1) у нас есть

α = f t (α) + α, следовательно

1
α

· 2

α

=

1
α

· 2

f t (α)+α

=

1
α

· 2

f t (α)

· 2

α

(P5)

=

1
α

· 2

f t (α)

· 2

is(α)+f t (α)

(P7. 1)

=

1

is(α)

· 2

is(α)

· 2

f t (α)

P5

=

1

is(α)

· 2

is(α)

· 2

f t (α)

≥

1

is(α)

· 2

is(α)

· 2

(так как f t (α) ≥ 1)

i. hyp & (P7. 2)

≥

1

· 2 > 1.

Что касается

α либо it (α) = f t (α), либо it (α) > f t (α), ’ ← ' следует для (P7. 2) и (P7.3);>
поэтому

(P7. 4)

1
α

· 2

α

≥ 1.

(P7. 5)

α < ω

δ

↔

1
α

· 2

ω

δ

= 2

ω

δ

.

‘

→’: Как

1
α

≤ 1, by (P1)

1
α

· 2

ω

δ

≤ 1 · 2

ω

δ

= 2

ω

δ

. Кроме того, у нас есть для

α < ω

δ

by (T1)

α + ω

δ

= ω

δ

, так что 2

ω

δ

= 1 · 2

ω

δ

(P7. 4), (P1)

≤

1
α

· 2

α

· 2

ω

δ

(P5)

=

1
α

· 2

α

· 2

ω

δ

=

1
α

·2

α+ω

δ

(T1)

=

1
α

·2

ω

δ

. ‘

←’: ω

δ

≤ α означает, что

1
α

≤

1

ω

δ

, так

1
α

·2

ω

δ

(P1)

≤

1

ω

δ

·2

ω

δ

(P7)

= 1 < 2

ω

δ

.

Некоторые дополнительные постулаты потребуются позже.

Теперь мы расширяем положительную реальную стандартную модель

Р

⊆

ω

ω путем расширения его se-

последствия для моделей

Р

τ

⊆

τ

τ, τ - кардиналы > ω. В следующем мы обозначаем:

Автор:

α, β, γ, δ

порядковый номер

< τ

κ

бесконечное кардинальное число

< τ

λ

ограниченное число

< τ

σ

число скачка, т. е., 0 или предельное число

< τ

Трансфинитные вещественные числа длин

τ, короче говоря, τ- действительные числа, будут определенны

последовательности

∈

τ

τ, включая a и

1
α

, который мы снова определяем с помощью

α(β):=

α,

если

β = 0

0

,

иначе

1
α

(β):=

1

,

если

β = α

0

,

иначе.

α представляет в

Р

τ

порядковый номер

α,

1
α

представляет значение, полученное из 1 после

то

α-сокращение вдвое. Каждое τ-действительное число имеет в качестве начального значения F (0) порядковый номер

Его дробное значение является суммой всех

F (α)/2

α

(0 < α < τ). Место преемника α + 1

являются, как и прежде, занятыми либо 1, либо 0, в зависимости от того, является ли половина из них

1
α

это

Самые большие и самые малые числа

337

суммирующий член дробного значения

Ф. Значения в предельных местах λ требуют некоторых

рассмотрение. Какая последовательность

Например, F может представлять собой сумму

1

ω

+

1

ω

? С

ω не имеет непосредственного предшественника, он не может быть

1

ω−1

. Мы будем представлять:

1

ω

+

1

ω

в

Р

τ

Автор:

последовательность

2

ω

имея на то

ω

th

поместите значение 2 и значение 0 в другом месте. Еще

в общем, пусть

α
β

будь то последовательность

∈

τ

τ для которого

α
β

(γ):=

α,

если

γ = β

0

,

иначе.

Согласно этому, все последовательности

α =

α

0

, вся последовательность

1

α+1

и наверняка...

α > 1,

также последовательности

α
λ

все принадлежат к

Р

τ

, последнее значение

(P8)

α

λ

=

1
λ

· α.

Последовательность вроде

ω
ω

не будет допущено, так как его значение 1 (согласно (Р8) и (Р7)) равно

уже представлен 1. Какие ценности

α допустимы ли в предельных местах λ? В других

слова, начиная с какой высоты

α возникают ли двойные представления? Ответ

следует из (P8) и (P7):

2

f t (λ)

λ

(P8)

=

1
λ

· 2

f t (λ) (P7. 1)

=

1

is(λ)

.

2

f t (λ)

λ

сводится к

1

is(λ)

и является недопустимым, в то время как

α
λ

неприводим для всех

α < 2

f t (λ)

.

Так что мы требуем

F (λ)

f t (λ)

во избежание двойного представительства. Второе требование для той же цели
вытекает из следующего:

(P2)

1

α + 1

+

1

α + 2

+

1

α + 3

+ · · · =

1
α

.

ϕ ∈

τ

τ называется прогрессивным, если

α

n Бесконечная сумма на

левая сторона-это прогрессивная последовательность

ϕ(β):=

0

,

если

β ≤ α or α + ω ≤ β

1

,

если

α < β < α + ω.

Это левый брат-близнец из

1
α

. Мы его бросим. Теперь мы находимся в положении, чтобы определить

набор из

τ -действительные числа:

Р

τ

:= ϕ ∈

τ

τ |

α < τ (ϕ(α + 1) < 2 ∧ (Lim α → ϕ(α) < 2

f t (α)

))

∧ ϕ не является прогрессивным.

338

U. Blau

Это можно упростить, так как

f t (α + 1) = 1 и 2

f t (α+1)

= 2:

Р

τ

:= ϕ ∈

τ

τ |

α > 0 (ϕ(α) < 2

f t (α)

) ∧ ϕ не является прогрессивным.

Так

Р

ω

=

Р

, и

Р

τ

это самое естественное обобщение. Далее мы обозначим через

F, G, H τ-действительные числа и по ϕ, ψ любые последовательности ∈

τ

τ. Как и прежде, пусть

ϕ < ψ:=

α (ϕ(α) < ψ(α) ∧

β < α (ϕ(β) = ψ(β))).

ϕ является верхней границей M ⊆

τ

τ, если

ψ ∈ m (Ψ ≤ Φ). Что касается реальных чисел
, рассмотренных выше, то мы имеем

Лемма 1. Каждый ограниченный набор

М ⊆

τ

τ имеет наименьшую верхнюю границу ϕ = sup (M) ∈

τ

τ,

т.е.,

ϕ(α):=

{ψ (α) | ψ ∈ m ∧

β < α (ψ(β) = ϕ(β))}.

Однако не каждый ограниченный набор

М ⊆

τ

τ имеет наименьшую верхнюю границу ∈

Р

τ

. Для

смотрите это, пусть

INF

τ

:= Ф ∈

Р

τ

| 0

n)

быть множеством бесконечно малых величин

τ-действительные числа. Все M ⊆ INF

τ

который в каком-то предельном месте

λ не может быть ограничено α

f t (λ)

, то есть, все

M ⊆ INF

τ

за которую

λ

α < 2

f t (λ)

F ∈ M(F (λ) > α)

трюмы не имеют самой маленькой верхней границы

∈

Р

τ

. Примером для этого является набор INF

τ

сам.

Он связан любым числом

1
н

, но не имеет наименьшей верхней границы

∈

Р

τ

. 1, однако a

'natural supremum' of INF

τ

, что означает следующее: Для каждого из них

F ∈ INF

τ

есть еще один способ:

n, такие что F

н

ω

(например,

n = F (ω) + 1), и для каждого n существует F ∈ INF

τ

, подобный

тот

н

ω

< F (например, Ф =

n+1

ω

). По Лемме 1, sup

(БЕСКОНЕЧНОСТЬ) =

ω
ω

является ли супремумом инф

τ

в

τ

τ. С

ω
ω

иметь значение

1

ω

* ω = 1 мы рассматриваем 1 как естественное превосходство INF

τ

в

Р

τ

. Давайте назовем это Sup

(БЕСКОНЕЧНОСТЬ

τ

).

Таким же образом мы назначаем естественный супремум Sup

(M) к каждому ограниченному множеству

М ⊆

Р

τ

, т. е. каждый набор

М ⊆

Р

τ

имея верхнюю границу

∈

Р

τ

. Мы делаем это в три
этапа.

Шаг 1. Мы берем супремум

ϕ = sup (M) ∈

τ

τ, которая существует согласно Лемме 1.

Шаг 2. Мы ищем " самый маленький естественный’

ψ ≥ ϕ, что удовлетворяет условию предельного места

для

τ-действительные числа. Если ϕ (λ)

f t (λ)

для всех

λ, то ψ = ϕ. В противном случае есть a

наименьший

λ, для которого ϕ (λ) = 2

f t (λ)

. По (Р8) и (Р7. 1)

2

f t (λ)

λ

сводится к следующему:

1

is(λ)

. Так

ψ(α):=










ϕ(α),

если

α)

ϕ(α) + 1,

если

α = is (λ)

0

,

если

α > is(λ)

является ли 'наименьшая естественная' функция

> ϕ это удовлетворяет условию предельного места.

Самые большие и самые малые числа

339

Шаг 3. Мы превращаемся

into в ψ, который удовлетворяет условию непрогрессивности.

Пусть для каждого прыжка числится

σ < τ

ψ

σ

:= { σ + n, ψ(σ + n) | n < ω}

будь то

σ- сечение ψ. Если ψ

σ

это не прогрессивно, пусть

ψ

σ

= ψ

σ

. В противном случае, существует

меньшие масштабы

n, такие что

r > n(ψ (σ + r) = 1). Тогда пусть ψ

σ

будьте непрогрессивными

право близнец-брат из

ψ

σ

:

ψ

σ

(α):=










ψ

σ

(α),

если

α

1

,

если

α = σ + n

0

,

если

α > σ + n.

А Теперь, Sup

(М):=

α

ψ

σ

является ли верхняя граница

ψ

1

для

M in

Р

τ

. Мы называем его естественным

supremum of

М.

α называется конечным местом F, если F (α) = β > 0 и для всех γ >> α F (γ) = 0.

И снова мы пишем.

F = G

β
α

где

G-последовательность, которая получается, если 0 заменяется на β в конечном месте F.
F называется закрытым, если существует конечное место F, иначе F называется открытым. Термины
"короткий" и "длинный" ранее использовались для

Р

не подходят с тех пор

G может быть открыт в

F = G

α
β

. Примером для этого является

F (α): =


















0

,

если

α

1

,

если

α

1

,

если

α = ω

0

,

если

α > ω.

Здесь,

ω-конечное место F = G

1

ω

, и

G открыт. Длина F снова равна

первый финал 0-место проведения

F если существует, то в противном случае оно равно τ.

Л

Ф

:= мин τ,

{α |

β ≥ α (F (β) = 0)}

В следующем мы обозначаем закрытый

τ-действительные числа по f, g, h. Теперь это возможно сделать

определить дополнение

F + G индукцией на L

Г

так же, как и мы делали для

Р

, p. 326.

Ф +

β
σ

(α):=

F (σ) + β,

если

α = σ

F (α),

иначе

.

(

+0)

Если

F (σ + r) = 0, то пусть

Ф +

1

σ + r

(α):=

1

,

если

α = σ + r

F (α),

иначе

.

(

+1a)

340

U. Blau

Если

F (σ + r) = 1 и F не имеет 0-го места σ + q

Ф +

1

σ + r

(α):=











F (σ) + 1,

если

α = σ

0

,

если

σ < α ≤ σ + r

F (α),

иначе

.

(

+1b)

Если

F (σ + r) = 1 и F имеет самое высокое 0-место σ + q

Ф +

1

σ + r

(α):=











1

,

если

α = σ + q

0

,

если

σ + q < α ≤ σ + r

F (α),

иначе

.

(

+1С)

F + G

β
α

: = (F + G) +

β
α

.

(

+2)

Для открытого G пусть

F + G:= Sup {(F + g) | g

г

< Л

Г

}

(

+3)

Определение умножения является более сложным. Мы пишем:

A, B, C для τ-действительных дробных чисел, т. е. E.,

числа

< 1. Каждая τ -реальное число Ф имеет вид α с α ≥ 0 и в ≥ 0. Мы

дальше пишите

a, b, c для замкнутых дробных чисел. Наше определение умножения
основано на некоторых постулатах, которые могут показаться более очевидными, чем они есть, поскольку их
естественные обобщения не имеют силы:

F * G H: = (F * G) + F * H-Контрпример:

(1

∗

)

ω ·

1
1

1
2

= ω ·

1
1

+ ω ·

1
2

,

для

ω ·

1
1

1
2

(P4)

=

1
1

1
2

· ω

(P5. 1)

= ω = ω + ω

(P5. 1)

=

1
1

· ω +

1
2

· ω

(P4)

= ω ·

1
1

+ ω ·

1
2

.

α A · F = α * F + A · F – контрпример:

(2

∗

)

1

1
1

· ω = 1 · ω +

1
1

+ ω,

для

1

1
1

· ω

(P5. 1)

= ω = ω + ω

(P5. 1)

= 1 · ω +

1
1

· ω.

Ф

α
β

= Ф ·

1
β

* α-контрпример:

(3

∗

)

Самые большие и самые малые числа

341

ω ·

2

ω

= ω ·

1

ω

· 2,

для

ω ·

2

ω

(P4)

=

2

ω

· ω

(P8)

=

1

ω

· 2 · ω

(P5)

=

1

ω

2

· ω =

1

ω

· ω

(P7)

= 1 = 2

(P7)

=

1

ω

· ω · 2

(P4)

=

ω ·

1

ω

· 2.

γ

α

·

1
β

=

1

α + β

* γ-контрпример:

(4

∗

)

2

ω

·

1

ω

2

=

1

ω + ω

2

· 2,

для

1

ω

·

1

ω

2

(P3)

=

1

ω + ω

2

=

1

ω

2

= 1 ·

1

ω

2

, и мимо

1

ω

<

2

ω

< 1 и (П1) следует

2

ω

·

1

ω

2

=

1

ω

2

=

1

ω

2

· 2 =

1

ω + ω

2

· 2.

Следующие постулаты являются более слабыми, чем (1

∗

) - (4

∗

)

F * β B = F * β + F * B

ср. (1

∗

)

(P9)

А · Б

α
β

= A * B + A ·

α
β

ср. (1

∗

)

(P10)

α A · B = α * B + A · B

ср. (2

∗

)

(P11)

Один ·

α
β

= Ля ·

1
β

· α

ср. (3

∗

)

(P12)

γ

α

·

1
β

=

1

α + β

· γ,

ср. (4

∗

)

если

β ничего не поглощает из α, т. е., если f t (α) ≥ it (β).

(P13)

Наш окончательный постулат нуждается в подобном ограничении:

Один

γ

α

·

1
β

= Ля ·

1
β

+

γ

α

·

1
β

.

(5

∗

)

Давайте рассмотрим 5 примеров.

Ля =

1
1

1
2

1

ω

и

β = 1.

(5а)

342

U. Blau

По (5

∗

) следует

Один ·

1
1

=

1
1

·

1
1

+

1
2

·

1
1

+

1

ω

·

1
1

(P3)

=

1
2

+

1
3

+

1

ω + 1

.

(ля)

Естественный результат: половина от 1

/2 + 1/4 + 1/ω-это 1/4 + 1/8 +

1

ω + 1

.

A как и выше, но β = ω. По (P3. 1) получаем естественный результат:

(5b)

Один ·

1

ω

=

1

ω

. Но по (5

∗

) мы получаем

(b)

Один ·

1

ω

=

1
1

·

1

ω

+

1
2

·

1

ω

+

1

ω

·

1

ω

(P3)

=

1

ω

+

1

ω

+

1

ω + ω

=

2

ω

+

1

ω · 2

.

(b

∗

)

Несостоятельный результат:

Один ·

1

ω

будет больше, чем 1

·

1

ω

, хотя

А меньше, чем 1, а

противоречие с (P1). Причина: в случае (а)

1
β

=

1
1

поглощает ни один из трех терминов

1
1

,

1
2

,

1

ω

от

А, в то время как в случае (b)

1
β

=

1

ω

поглощает первый и самый большой термин

1
1

, и

все следующие меньшие сроки, а также.

Таким образом, мы изменяем распределение

1
β

на протяжении всего срока действия

О: как только первый член
а частично или полностью поглощается, все остальные члены исчезают. Это дает нам естественный результат
(b) вместо (b

∗

). В следующих примерах (5c)–(5e) пусть

Ля =

1

ω

ω

1

ω

ω

+ ω

2

1

ω

ω

+ ω

2

+ ω

.

β = ω или ω + r или ω · r. в этих случаях распределение

1
β

над

Один

поглощает ни один из трех терминов

А частично или полностью, и

аналогично случаю (а) у нас есть

(5c)

Один ·

1
β

=

1

ω

ω

+ β

+

1

ω

ω

+ ω

2

+ β

+

1

ω

ω

+ ω

2

+ ω + β

.

(с)

β = ω

2

. Сейчас

1
β

поглощает ни один из двух первых терминов

А, но часть

из третьего, так как

ω + ω

2

= ω

2

. Итак, снова (c) имеет место.

(5d)

β = ω

ω

. Сейчас

1
β

ничего не впитывает с первого срока работы

А, но часть

из вторых, так как

ω

2

+ ω

ω

= ω

ω

. Третий член исчезает, и

(5e)

Самые большие и самые малые числа

343

Один ·

1
β

=

1

ω

ω

+ ω

ω

+

1

ω

ω

+ ω

ω

.

(ми)

Мы определяем::

1
β

поглощает

A в месте α: = α-наименьшее число, для которого

A (α) > 0 ∧ f t (α) >)

1
β

ничего не впитывает из себя

Ля:=

α (A (α) > 0 → f t (α) ≥ it (β))

и заменить (5°

∗) двумя постулатами:

Если

А = А

0

γ

α

Один

1

, γ > 0, и

1
β

поглощает

A в месте α, пусть

Один ·

1
β

= Ля

0

·

1
β

+

1

α + β

.

(γ исчезает, как и для α

0

< α: α

0

+ β = α + β, так что

1

α

0

·

1
β

=

1
α

·

1
β

а так как

1
α

≤

γ

α

<

1

α

0

, by (P1)

γ

α

·

1
β

=

1
α

·

1
β

=

1

α + β

.)

(P14)

Если

ЛЯ

0

γ

α

, γ > 0, и

1
β

ничего не впитывает из себя

А, давай

Один ·

1
β

= Ля

0

·

1
β

+

γ

α

·

1
β

.

(P15)

Теперь умножение

F · G определяется индукцией на L

Ф

с вторичной индукцией

на

Л

Г

. Позволь

a, b, c -замкнутые дробные числа, т. е.

F · 0:= 0

(

·0a)

F * β + 1: = F * β + F

(

·0b)

F · λ:= Sup{F · β | β < λ}

(

·0c)

F * β B: = F * β + F * B

(

·1А)

α A · B: = B * α + A · B

(

·1b)

А · Б

α
β

:= A · B + A ·

1
β

· α

(

·1С)

344

U. Blau

Если

ЛЯ

0

γ

α

Один

1

, γ > 0, и

1
β

поглощает

A в месте α, пусть

Один ·

1
β

:= Ля

0

·

1
β

+

1

α + β

.

(

·2а)

Если

А = А

0

γ

α

, γ > 0, и

1
β

ничего не впитывает из себя

А, давай

Один ·

1
β

:= Ля

0

·

1
β

+

1

α + β

· γ.

(

·2b)

Если

А-открыт, и

1
β

ничего не впитывает из себя

А, давай

Один ·

1
β

:= Sup{a ·

1
β

/ a

один

< Л

Один

}.

(

·2c)

Если

Б открыт, пусть

A * B:= Sup{A * b | b

б

< Л

Б

}.

(

·3)

Условия (

·0a)–(*0c), (·2c), (·3) будет очевидно, а остальное подразумевается нашим pos-

tules: (

·1a) является (P9), (·1b) подразумевается (P11) и (P4), (·1c) подразумевается (P10) и

(P12), (

·2a) является (P14), (·2b) подразумевается (P15) и (P13).

Следующий шаг показал бы, что (P0)–(P15) подразумеваются определениями

+ и
·, что означает, что постулаты непротиворечивы относительно ZF. Я опускаю это и
доказываю только один ключевой постулат.

1

ω

δ

· 2

ω

δ

= 1.

(P7)

а) если

δ = 0, то ω

δ

= 1, и

1

ω

δ

· 2

ω

δ

=

1
1

· 2 = 1

b) Если

δ > 0, то ω

δ

это предел, и

is(ω

δ

) = 0; по (·0) и (+0