Числа для самых старых парадоксов

Ulrich Blau

Абстрактный. Предположим на мгновение, что Вселенная V чистых множеств так же реальна, как и все остальное. Делать

мы знаем это по аксиоматическому описанию? Нет, Пейс Рассел, по знакомству! Для платоника
V однозначно определяется формально невыразимым самореферентным императивом. Точно так же он
знаком и с числами: формально невыразимый упорядоченный процесс счета

∗

ведет
за пределы конечных и трансфинных ординалов к трансдефинитным ординалам без границ. И
наоборот, хорошо упорядоченный процесс деления длины пополам

∗

приводит к трансдефинитным вещественным числам без

граница. Формальная невыразимость

∗

‘Cantor’s absolut unendlicher Zahleninbegriff’,

имеет значительные последствия:

1. окончательное решение всех семантических парадоксов в 3-значной логике LR с трансдефинитом

уровни рефлексии и индикатор ‘

∗

’ для отраженного уровня(ов),

2. всеобъемлющая—и, возможно, полная-теория формальной истины, основанная на онтологии

V и логика LR,

3. формальная неразрешимость парадоксов неопределенности и движения, вытекающих из них

непостижимый континуум.

1

Система счисления S, которую я буду рассматривать и восхвалять, является платонической,
архиконсервативной и ведет путем естественного счета и деления за пределами всех самых больших и самых маленьких
чисел. Она характеризуется следующим.

• S расширяет стандартные модели порядковых и вещественных чисел, но уважает-в

в отличие от системы Конвея [7] - естественные свойства порядковых чисел:
в S подобных величин нет

ω-1, ω/2, или

√

ω.

* S сочетает в себе-впервые, насколько мне известно-естественную арифметику мира;

самые большие, средние и самые малые номера.

• Самые большие числа, которые можно придумать, трансдефинитные ординалы S, представляют собой

,
+1,... и охарактеризуйте хорошо упорядоченный процесс подсчета, который выходит за рамки

класс

из всех порядковых чисел без границ.

1

Обширную трактовку предмета настоящего очерка можно найти в неопубликованной рукописи

[5].

312

U. Blau

• Наименьшие числа, которые можно придумать, трансдефинитные вещественные числаѕ,

включать

1

('1 over

'значение:' 1 2-й', т. е. ' 1

- Т’),

1
+1

('1 over

+ 1’),
... и охарактеризуйте хорошо упорядоченный процесс деления пополам, который выходит за
пределы длины

без границ.

* Понятия трансдефинитного порядкового и трансдефинитного вещественного числа являются инфор --

Малли одноместные предикаты, действительно почти самоочевидные. Формально, однако,
эти понятия, которые обязательно даны относительно произвольного, все
более расширяемого хорошо упорядоченного порядка, не могут быть выражены.

Это не без последствий для самых старых парадоксов:

* Условная открытость трансдефинитовых ординалов допускает естественное не --

классическое решение семантических парадоксов и понимание всего
формально невыразимого понятия формальной истины.

* Условная открытость трансдефинитовых вещественных чисел предотвращает любые формальные

понимание континуума и парадоксов неопределенности и движения.

Мы начнем с трех вводных замечаний к онтологическим, семантическим и аксиоматическим
предпосылкам, которые понравятся только Платонику. Онтологической основой S является
чистый универсум множеств V

:=

α∈

В

α

, где V

0

:= ∅, V

α+1

:= Горшок(V

α

), а также для

предельные ординалы

λ, V

λ

:=

α<λ

В

α

.

V является экстенсивно неопределенным относительно его высоты (ординарности) и его ширины
(мощности). Тем не менее V —для Платониста—в интенсиональном и абсолютном смысле однозначно и
полностью определяется формально невыразимым, двумерным самореферентным
императивом:

V0: рассмотрим пустое множество V

0

!
V1: рассмотрим набор мощности из множества, рассматриваемого последним и повторите V1!
V2: считайте, что объединение всех множеств рассматривается таким образом и повторите V1 и V2!

ω

V0

V1

Вер. 2

6

-

..

.

В

ω

ω

В

ω

ω

+1

· * * V

ω

ω

+м

· · ·
..

.

В

ω·n

В

ω·n+1

· * * V

ω·n+m

· · ·
..

.
V

0

В

1

· · ·

В

м

· · ·

Этот императив приводит к каждому ранговому множеству V

α

. Ибо, если наименьшее V

α

держался подальше от Кона-

значит, сидерация

V0, V1 или V2 будут нарушены, в зависимости от того, равны ли α 0 или a

Самые большие и самые малые числа

313

порядковый номер преемника или предельный порядковый номер. Следовательно,

V2 предусматривает рассмотрение их объединения

В. Тогда процесс расширения не идет дальше, так как

В

= V и горшок (V) делает

не существует, или горшок

(V) = V, Если мы несколько необычно определяем также для собственных классов X:

Горшок

(X) = {x / x ⊆ X},

с

x - переменная множества. Семантическая основа S-это естественно формулируемая стандартная
семантика импредикативной теории классов, которая обычно не формулируется, поскольку
она ставит, казалось бы, фатальный вопрос: над чем варьируются переменные класса?- Очень
просто; над абсолютно всеми подклассами V. —В каком ассортименте они находятся

Икс?- Ни одного!
Подклассы V -это непостижимая множественность; как только мы рассматриваем их как
высшую единицу, где V является элементом (или гиперэлементом, или чем-то еще), универсальный
класс становится множеством, а платоник-релятивистом. В этой статье "платонизм"
означает V -абсолютизм.

В качестве аксиоматического основания для S достаточно импредикативной теории классов Бернайса B, см. [1].
Для Платоника B, вероятно, выглядит истинным в смысле стандартной семантики, только
что упомянутой, поскольку он способен обосновать ее существенную часть, теоретико-классовую
схему отражения, из природы универсального класса:

Нет никакого конкретного утверждения о V в любом расширении теоретико-классового языка

по именам классов: каждая истина о V отражается в множествах V

α

достаточно высокого ранга.
В противном случае Абсолют мог бы быть зафиксирован в формальном языке, что немыслимо

для Платониста.

Большое количество

Есть ли числа, которые больше, чем все большие кардиналы?

2

Конечно, есть.

Большие кардиналы являются элементами

и иметь наборы порядковых предшественников. Transdefinite

ординалы, с другой стороны, больше, чем

на любую сумму и имеют соответствующие классы

из порядковых предшественников. Определим следующие понятия::

Хорошо-заказ по классу

X-это отношение двух мест на X, которое связано и

обоснованный.

3

Позволь

W-хорошо упорядоченный по X:

A (собственно) W-начальный сегмент

X - это (правильный) подкласс X

0

от

X, который содержит

ВСЕ

W-предшественники его элементов. Тогда W

0

:= W ∩ X

2

0

является ли хорошо упорядоченным на

Икс

0

.

W называется трансдефинитным хорошо упорядоченным на X, если правильный начальный сегмент X

0

от

X-это

2

"Кардинал" в обычном смысле этого слова. Для Платониста существуют две трансдефинитные кардинальности, охватывающие

все трансдефинитные ординалы: кардинальность

K всех чистых множеств и формально невыразимая кардинальность K

∗

из
всех приличных классов. Формально невыразимый аргумент показывает неофициально убедительным образом, что нет никаких
кардинальностей между

К и к

∗

: Теоретико-классовая гипотеза континуума верна! И еще один неформал

размышление приводит к истинности теоретико-множественной континуальной гипотезы, ср. [4].

3

Я не требую, как это обычно делается, чтобы каждый правильный начальный сегмент хорошо упорядоченного набора был множеством. В противном случае,
согласно теореме Мостовского, не было бы никакого трансдефинитного упорядочения и никаких трансдефинитных
ординалов.

314

U. Blau

изоморфно к

:

(Икс

0

, Вт

0

)

(, ∈).

Элементы из которых:

Х − Х...

0

называются:

W- трансдефинитные ординалы. Для каждого хорошо-приказывать

W на X существует более длинный хорошо упорядоченный W

+

на

Икс

+

= {{x} | x ∈ X} ∪ { ∅ }: пусть

W: = { {x}, {y} | x, y ∈ W } и W

+

: = W ∪ { {x}, ∅ | x ∈ X}.

W изоморфно W, и W

+

удлиняется за счет члена

∅. Таким образом, самый длинный
порядковый номер и самый большой трансдефинитный порядковый номер не существуют больше, чем самое большое натуральное
число. Однако, в то время как натуральные числа образуют множество

ω и ординалы образуют

собственный класс

, конечные, трансфинитные и трансдефинитные ординалы являются непостижимыми

открытая множественность. Давайте назовем его-оскорбительно, так как любое имя было бы злоупотреблением—

∗

. Мочь

мы определяем:

∗

? Возможно, как "класс ординалов по отношению к любому хорошо упорядоченному"?

Нет, с этим

∗

= V будет держаться. Но тогда, какой же хорошо упорядоченный приказ будет приказывать это? Или
как "класс членов Союза всех благоустроенных"? Нет, разнородные
порядки колодцев не могут образовать союз. Можем ли мы представить

∗

как основное понятие и

охарактеризуйте его аксиоматически или семантически? Нет, нам придется потребовать...:

∗

хорошо упорядочен по отношению

В

∗

.

(A1)

Каждый хорошо-заказывать

(X, W) изоморфно начальному отрезку (

∗

, Вт

∗

).

(A2)

Но затем следует, как и выше, что

∗+

: = {{x} / x ∈

∗

} ∪ {∅} хорошо упорядочено по

В

∗+

: = { {x}, {y} | x, y ∈ W

∗

} ∪ { {x}, ∅ | x ∈

∗

},

и этот хорошо упорядоченный порядок не является изоморфным какому-либо начальному сегменту системы. (

∗

, Вт

∗

). Conse-

квентли, самое естественное расширение

∗

самое естественное математическое понятие-
понятие натурального числа-это формально невыразимый идеал, который заставляет постоянно
расширяться свое собственное. Любая математика должна будет довольствоваться произвольными крошечными
начальными отрезками ординалов.

Как мы могли узнать о нем?

∗

? По задушевному знакомству предопределено

создание.

P0:

Создайте произвольную точку!

P1:

Добавьте одну точку преемника к последней добавленной точке и повторите P1!

P2:

Добавьте одну точку-преемницу к последовательности всех создаваемых точек

таким образом, и повторите P1 и P2!

Императив

V0-V2 выше должны останавливаться на барьере V. P2 продлевает прогрессию

из натуральных чисел создаются P0, P1, и будут продолжаться вечно.

Самые большие и самые малые числа

315