Удовлетворение, наборы и правильные классы

Без слишком больших проблем, вышеуказанная конструкция смогла быть обобщена от свойств

to (неэкстенсиональный)

N-отношения мест, для каждого натурального числа n. (свойства
-это случай n = 1. Мы можем включить предложения в качестве случая n = 0.) Есть слабый способ
сделать это и сильный способ. Слабый способ-это ввести, для каждого

n, одинарный

предикат ‘

Выпуск

н

'('is an

N-арное отношение’) и (n + 1)-предикат места ‘∈

н

’ (с

икс

1

,..., икс

н

∈

н

y означает, что " y-это отношение n-места и x

1

,..., икс

н

создает его экземпляр”);

также один унарный предикат ‘

РЕЛ 'который каждый из' Рел

н

"повлеките (нам это нужно для
ограничения переменных вещами, которые не являются отношениями). Сильный путь, который требует
, чтобы основной язык

L и теория грунта T будут адекватны арифметике и

теория конечных последовательностей, заключается в том, чтобы ввести один двоичный предикат ‘

Rel (n, z)’значение

тот

z-это отношение n-места ("REL", очевидно, можно тогда определить), и один двоичный код

предикат ‘

∈ ’, причем ‘∈ (s, z)’ означает “для некоторого n, z является отношением n-места, а s является

один

N-разместить последовательность, которая создает экземпляр z”. Детали как слабого, так и сильного
обобщения являются, насколько я могу видеть, рутиной. Мы также можем легко встроить в язык
символ абстракции, который применяется к любой формуле

(икс

1

,..., икс

н

, у

1

,..., у

к

)

из языка и любой другой

k-кортеж сущностей o

1

,..., о

к

, обозначает

отношение n-место

λx

1

,..., икс

н

(икс

1

,..., икс

н

, о

1

,..., о

к

); и мы можем ввести предикат, который применяется
только к таким каноническим отношениям. (В модели, которую мы использовали для доказательства согласованности, все
отношения были каноническими, но это не обязательно должно быть так в целом.)

Из такой обобщенной теории в сильной форме мы могли бы также получить непротиворечивую
теорию выражений и их удовлетворения, теорию, которая подтверждает наивную схему

икс

1

,..., икс

н

удовлетворяет

(в

1

,..., в

н

) ↔

(икс

1

,..., икс

н

).

Основная идея очевидна: определите формулы языка, который содержит предикат
удовлетворения с каноническими отношениями, и определите удовлетворение с инстанциацией.
Удовлетворение требований, таким образом, будет получать значения в пространстве

W, и исключенная середина смогла

за них вообще не надо полагаться.

Было бы целесообразно более подробно
остановиться на деталях, если бы не тот факт, что такая теория удовлетворения была дана более
непосредственно в [1].

Более сложный вопрос заключается в том, можем ли мы обобщить приведенную выше конструкцию на

наивная теория экстенсиональных отношений; или, чтобы придерживаться

n = 1 случай, наивная теория
множеств. Здесь действительно есть некоторые трудности. Этот вопрос немного усложнен
, потому что есть несколько различных способов, которые можно было бы предложить для рассмотрения идентичности, и есть
вопросы о том, нужно ли, чтобы некоторые законы, связанные с ней, держались в полном объеме условно

Непротиворечивость наивной теории свойств

307

форма или только в виде правил. Но главная проблема, по-видимому, не зависит от
этих вопросов, поскольку это не связано с идентичностью: вопрос в том, как мы можем обеспечить правило

Набор

(х) установить ∧ (г) ∧ ∀Вт(Вт ∈ х ↔ Вт ∈ Г) |= ∀З(х ∈ з ↔ Y и Z в),

и желательно также правило " обратного отрицания”

∀Z(в Х ∈ З ↔ Y и Z в) |= ∀Вт(Вт ∈ х ↔ ж ∈ г),

без какого-либо ослабления схемы наивного понимания (III)? Естественный способ
попытаться закрепить эти правила-изменить режим ‘

∈ 'так что
то, что конструкция с фиксированной точкой гарантирует, не является (FP) раздела 5.3, а скорее, (FP) только для частного
случая

α = 0, дополняется

(FP-Mod) для всех

α > 0 > и все o и все

и все же...

б

1

... б

н

,

|o ∈ λx (x, b

1

,

..., б

н

)|

α

= |∃x[x ≡ o ∧

(x, b

1

,..., б

н

)]|

α

,

где'

х ≡ г’ выписок ‘[ набор(х) ∧ х = г] ∨ [набор(х) комплект ∧ (г) ∧ ∀Z(по оси Z ∈ Х ↔

z ∈ y)]. (Обратите внимание, что |x ≡ y|

α

зависит только от однострочных значений принадлежности

претензии в отношении

β < α, учитывая правила оценки для бикондиционирования; таким образом, нет никакой угрозы
циркулярности.) Если мы введем двухбарабанные значения на основе однобарабанных
, как и раньше, это даст

o λ λx (x, b

1

,..., б

н

) = ∃x[x ≡ o ∧

(x, b

1

,..., б

н

)].

С

o ≡ o = 1 для любого o (учитывая, что ≡ было определено через ↔, а не материал

biconditional, и что значение одиночн-адвокатского сословия на

α = 0 выпадает к тому времени, когда вы добираетесь до

значения двойного бара), это, в свою очередь, даст

o λ λx (x, b

1

,..., б

н

)

(o, b

1

,..., б

н

),

что обеспечило бы действительность

(o, u

1

,..., у

н

) → o ∈ λx (x, u

1

,..., у

н

).

(Ля)

Мы также получаем ограниченный разговор, а именно., правило

o λ λx (x, u

1

,..., у

н

) |=

(o, u

1

,..., у

н

).

(B

1

)

Но это есть значительное уменьшение наивного понимания: ведь мы не только не
получаем обоснованности условного

o λ λx (x, u

1

,..., у

н

) →

(o, u

1

,..., у

н

),

мы даже не получаем “обратного отрицания " (B

1

), именно.,

(o, u

1

,..., у

н

) |= о /

λ λx (x, u

1

,..., у

н

).

10

(B

2

)

Мне кажется, что этого недостаточно, чтобы считать наивной теорией множеств. Я этого не исключаю

мы могли бы сделать лучше с помощью более умной конструкции, но это не выглядит легким.

10

Для контрпримера пусть

о

1

быть

{w / w ≡ w}, o

2

быть

{w|w ≡ w ∧ K} K} (где K-множество Карри),

и

о

3

быть

{w|(w ≡ w)}; и пусть

(x, o

3

) быть ' x ≡ o

3

’.

(о

1

, о

3

) = 1; но o

1

/

λ λx (x, o

3

) есть

308

Н. Поле

Но зачем нам вообще нужна наивная теория множеств (или других экстенсиональных отношений)?
У нас есть очень хорошая не наивная теория множеств, а именно теория Цермело-Френкеля;

и он может быть расширен до наивной теории экстенсиональных отношений либо искусственно,
определяя экстенсиональные отношения внутри нее обычным трюком, либо нотационно беспорядочным, но
концептуально очевидным обобщением ZF, которое рассматривает многоплановые экстенсиональные отношения
автономно. (Формулировки ZF в терминах отношения “не имеющего большего ранга
, чем” значительно облегчают это обобщение.)

Это правда, что отсутствие надлежащих классов в ZF иногда неудобно. Это
также верно, что добавив соответствующие классы обычными способами (либо предикатных классов как в
Гедель–Бернайс, или impredicative, как в Азбуке–Келли) концептуально тревожно:
в каждом случае (и особенно в более удобный Морзе–Келли случае) они “выглядят слишком
много, как просто другой уровень устанавливает”, и тот факт, что нет никакой сущности, которая фиксирует
расширение предикатов истинно правильной классов предполагает введение еще
дополнительных лиц (“супер-класса”, которые могут иметь соответствующие классы в качестве членов), и так
далее до бесконечности. Но как только мы имеем свойства (и неэкстенсиональные отношения в более
общем смысле), эта трудность преодолевается: свойства могут выполнять функцию, которую
традиционно выполняли соответствующие классы. Правила, которым они подчиняются, настолько отличаются от правил для
итерационных множеств (например, они могут применяться к себе), что нет никакой опасности их
появления в качестве “просто другого уровня множеств”. А так как каждый предикат свойств сам
по себе обладает соответствующим свойством, то нет никакого опасения, что мотивация для введения
свойства также будут мотивировать введение дополнительных сущностей (”супер-свойств").

11

Конечно, в стандартных теориях собственных классов собственные классы являются экстенсиональными; в то
время как свойства-нет. Показывает ли это, что свойства не будут служить целям, для которых
были использованы соответствующие классы? Нет. Я сомневаюсь, что экстенсиональность среди правильных
классов играет большую роль в любом случае, но, не вдаваясь в это, всегда можно использовать
суррогат

≡ как "псевдо-идентичность" среди свойств, которая должна быть адекватной
во всех традиционных приложениях надлежащих классов; и закон расширяемости, сформулированный в
терминах

≡ вместо = - это тривиальная истина. Конечно, ≡ очень плохо имитирует идентичность
среди свойств вообще: если бы это было не так, проблема получения экстенсионального аналога
наивной теории свойств была бы легкой. Но когда мы ограничимся нашим вниманием к тем
свойствам, которые соответствуют собственным классам Геделя-Бернейса или Морзе-Келли—
в обоих случаях свойства, которые содержат только вещи, которые сами по себе не являются свойствами, а
скорее являются множествами—тогда

≡ является очень хорошим суррогатом для идентичности: например, над этой
ограниченной областью исключаются средние и все обычные принципы замещения, удерживающие
≡. Следовательно, мы имеем гарантию того, что свойства будут служить всем традиционным
целям правильных классов (даже в импредикативной теории морса–Келли).

Мое утверждение, таким образом, состоит в том (i), что если у нас есть наивная теория свойств на заднем плане,
мы имеем все преимущества правильных классов без необходимости каких-либо " множествоподобных сущностей”

1

−

{ o ≡ o

1

∧

(o, o

3

) }, который является

1

− о

2

≡ о

1

∧

(о

2

, о

3

), т. е.,

1

− о

2

≡ о

1

∧ о

2

≡ о

3

).

Но

о

2

≡ о

1

иметь значение

K ∈ K →

и

о

2

≡ о

3

иметь значение

K → K→ ⊥; и оба принимают значение

1
2

на предельных ординалах, так что

о

2

≡ о

1

∧ о

2

≡ о

3

) это не 0, так что o

1

/

λ λx (x, o

3

) - это не 1.

11

Общефилософская точка зрения здесь весьма схожа с той, что изложена в [5], хотя теория свойств на

предложение здесь гораздо сильнее из-за наличия серьезной условности.

Непротиворечивость наивной теории свойств

309

помимо обычных множеств; (ii) что с учетом этой наивной теории свойств обычная итерационная
теория множеств (ZF) является весьма удовлетворительной теорией; и (iii) нет очевидной необходимости в
какой-либо дополнительной теории “наивных множеств”.

Но если нет необходимости в наивной теории множеств, то зачем нужна наивная
теория свойств и наивная теория удовлетворения? Неужели эта статья была потрачена впустую
?

В самом деле, случай свойств (по крайней мере, по одному их пониманию) и удовлетворения
совершенно отличны от случая множеств. Ибо способ, которым мы решаем парадоксы наивной
теории множеств в ZF, заключается в отрицании существования предполагаемого множества: например, просто
нет множества всех множеств, которые не имеют себя в качестве членов. Аналогичный парадокс в
случае теории удовлетворения включает выражение ‘не истинен сам по себе", и если
бы мы попытались решить парадокс на строго аналогичных линиях, нам пришлось бы отрицать
существование этого выражения! Это было бы абсурдно: в конце концов, я только что продемонстрировал это
выражение. Мы могли бы, конечно, сказать: “Конечно, есть выражение”не истинно само по себе",
но оно не имеет тех особенностей, которые можно было бы наивно подумать, что оно имеет, например, быть истинным только
для тех вещей, которые истинны сами по себе". Это было бы признанием того, что выражение
существует, но отрицанием наивной теории удовлетворения. Это, конечно
, возможный путь, но он совсем не похож на решение в случае ZF. Есть причины, почему я не
думаю, что это хорошо способ идти: цена нарушения наивной теории удовлетворения
высока; см. [3]. Но, не вдаваясь в это здесь, позвольте мне просто сказать, что этот подход
совершенно не похож на подход ZF (где мы отрицаем существование множества, вместо того чтобы говорить
, что оно существует, но имеет другие члены, чем вы могли бы подумать).

Случай свойств несколько сложнее, потому что я считаю, что существует более
чем одно понятие собственности. Существует, во-первых, понятие естественного свойства, как это обсуждается
, например, в [6]. Здесь нам не нужно ничего похожего на наивное понимание:
главное в идее природных свойств-это то, что наука должна сказать нам, какие природные
свойства существуют. (Также сомнительно, что нам нужны естественные свойства природных
свойств. Даже если мы это сделаем, кажется вероятным, что мы должны принять картину, которая является
“ZF-подобной” в том, что каждое естественное свойство имеет ранг и применяется только к не-свойствам
и к свойствам более низкого ранга. Но здесь нет необходимости решать эти вопросы.) Но
в дополнение к понятию естественной собственности существует также понятие собственности, которое
полезно в семантике. И именно смысл существования таких "семантически осмысленных
свойств" (СК-свойств для краткости) состоит в том, что каждому значимому открытому предложению (в данном
контексте) соответствует одно.

12

(Открытые предложения на языке sc-свойств
сами по себе значимы, поэтому они также должны соответствовать sc-свойствам.) Опять же,
Zfl-подобное решение, в котором отрицается существование свойств, противоречит всему
смыслу понятия.

Таким образом, в теории семантически осмысленных свойств говорить о том, что они существуют, неудовлетворительно.

что за осмысленная формула

(x), не существует такого понятия, как λx (x). Это тоже кажется

неудовлетворительно сказать, что хотя

λx (x) существует, вещи, которые его порождают, не являются

то

o для чего

(о). В классической логике это единственные два варианта, но то, что у меня есть

12

Или, скорее, каждое значимое открытое предложение с выделенной свободной переменной соответствует
свойству scproperty относительно любого назначения сущностей, включая, возможно, sc-свойства, другим свободным переменным.

310

Н. Поле

в этой статье показано, как разработать третий вариант, в котором мы ослабляем классическую
логику. Если мы это сделаем, то мы можем сохранить наивную теорию (sc-)свойств, и это
имеет важный выигрыш, который не имеет аналога в случае множеств. По крайней мере,
ценность наивной теории множеств неочевидна; но ценность наивной теории удовлетворения
в подавляющем большинстве случаев ясна, и почти так же ясно, что мы должны хотеть наивную теорию
sc-свойств, если мы вообще собираемся полагать sc-свойства.

Вы все еще можете хотеть наивную теорию множеств, по любой причине; но то, что вам нужно
, - это наивная теория свойств и наивная теория удовлетворения. Я подозреваю, что вы не
можете получить то, что хотите, но вы получаете то, что вам нужно.

Подтверждение. Эта статья впервые появилась в журнале Philosophical Quarterly, Jan.

2004, ©Basil Blackwell.

Рекомендации

[1]

Field, Hartry: 2003. Реванш-иммунное решение семантических парадоксов. Журнал
философской логики 32: 139-177.

[2]

Field, Hartry: 2003. Является ли предложение лжеца одновременно истинным и ложным? In: J. C. Beall and B.

Доспехи-одеяние (ред.), Дефляционизм и парадокс, Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета.

[3]

Field, Hartry: 2003. Семантические парадоксы и парадоксы неопределенности. In: J. C.
Beall (ed.), Liars and Heaps, New York: Oxford University Press.

[4]

Крипке, Саул: 1975. Набросок теории истины. Журнал философии 72: 690-716.

[5]

Мэдди, Пенелопа: 1983. Правильные занятия. Журнал символической логики 48: 113-39.

[6]

Putnam, Hilary: 1975. На свойства. In: H. Putnam (ed.), Математика, материя и
метод: философские труды, вып. 1, Кембридж: Кембриджский Университет.

Нью-Йоркский университет кафедра философии
503 Silver Center
100 Washington Square East
New York, NY 10003
USA

E-mail: [email protected]