Модель для наивной теории свойств

Основы

Следующим шагом является определение конкретной модели, которая будет использоваться для наивной теории свойств.
Вспомните, что я представляю себе, что нам дают модель

M для базового языка L.

Мы можем предположить без реальной потери общности, что

|M| (домен M) не имеет

содержат формулы:

Л

+

, или

n-кортежи, которые включают такие формулы; ибо если домен действительно
содержит такие вещи, мы можем заменить его изоморфной копией, которая этого не
делает.

Е

0

быть

|М|. Для каждого натурального числа k определим множество E

к+1

из эрзаца

свойства уровня

к +1. Член группы Е

к+1

представляет собой тройку, состоящую из Формулы

Л

+

, ля

отличительная переменная от

Л

+

, и функция, которая назначает члену

{Ми

j

|j ≤ k} к

каждая свободная переменная из

Л

+

кроме выдающегося, удовлетворяющего условию, что если

k > 0, то по крайней мере один элемент E

к

присвоенный.

7

Если

(x, u

1

,..., у

н

) является ли формула

Непротиворечивость наивной теории свойств

297

и

x отличительная переменная и o

1

,..., о

н

назначенные объекты

u

1

,..., у

н

соответственно, я буду использовать обозначение

λx (x, o

1

,..., о

н

) для эрзац-собственности. Пусть E

будь объединением всего сущего.

Е

к

для

k ≥ 1, и пусть |M

+

| be |M / ∪ E. (The cardinality of

|М

+

таким образом, | есть то же самое, что и |M|, когда |M| бесконечно, и есть ℵ

0

когда

M конечна.)

Единственные условия:

Л

+

кроме того переменные являются индивидуальными константами

L; они получают the

такие же значения в

М

+

как и в этом случае

М.

Надеюсь, понятно, что то, что я беру предметы в домене должны быть
построены из лингвистических позиций не обязывает меня к просмотру свойств языковых
конструкций; точка модель является просто чтобы дать строгую последовательность
доказательства (т. е., чтобы удовлетворить цели (G)), и это наиболее удобный способ сделать это.

Если отбросить несущественный вопрос о природе сущности в домене,
домен имеет особенность: все свойства в модели, в конечном счете,
создается (в очевидном смысле я не удосужился сделать точные) из сущностей в
модели местности по лексике модели местности; так что модель содержит
минимальное число свойств, которые возможны, учитывая модели местности. Полезно
рассмотреть такую специальную модель для выполнения доказательства согласованности для наивной
теории свойств, но не все модели наивной теории свойств будут иметь такой вид (как очевидно
просто из того факта, что если бы мы добавили новые предикаты к основной модели до
начала строительства, мы бы генерировали новые свойства).

Для того чтобы завершить спецификацию

М

+

мы должны указать соответствующее

, и затем

назначить каждому

N-место атомарного предиката p A "W-расширение": a функция p

∗

вот и берет

n-кортежи членов |M

+

| в W. Я уже сказал, что возьмусь

Для

быть начальным порядковым номером для кардинала большего, чем мощность кардинала из

|М

+

|; еще
одно условие станет необходимым, но давайте подождем этого. Что касается предикатов, то многое
из того, что мы должны сказать, очевидно. Если

p-это предикат в L, отличный от‘=', и o

1

,..., о

н

быть

М

+

- мы позволяем

п

∗

о

1

,...,о

н

быть 1, Если

о

1

,..., о

н

находится в г.

M-расширение p, 0 в противном случае.

(Так что это 0, если любой из

о

я

быть

Е.) мы позволяем собственности

∗

о

будьте 1, когда

o находится в E, 0 в противном случае.

И мы позволили

=

о

1

,о

2

будьте 1, когда

о

1

является ли тот же объект, что и

о

2

, и 0 в противном случае. Эти

условий очевидно достаточно, чтобы сделать

M редукт из M

+

. Из-за этого и тот
факт, что функция, назначенная каждой Связной в том числе условной, сводится
к ее классическому аналогу, когда ограничена множеством

{ 0, 1 }, получаем (по очевидному

индукция по сложности) что для любого предложения

A из L (или любая формула A из L и

любая функция назначения

s, который присваивает только объекты в |М|), значение A

Л

в

М

+

(относительно

s) будет равно 1, когда значение A (относительно s) в M равно 1, и будет равно 0

когда значение из

A (относительно s) в M равно 0. Каждый экземпляр схемы аксиомы (I)

поэтому получает значение 1.

Это оставляет только ‘

∈’. Одно желание должно быть очевидно, что когда o

2

находится в г.

модель грунта

|M|, тогда ∈

∗

о

1

,о

2

это 0. Этого будет достаточно для придания значения 1 аксиоме (II).

Трудный вопрос, конечно, заключается в том, чтобы выяснить, как завершить спецификацию

то

W-расширение‘∈', таким образом, чтобы проверить схему аксиомы (III). Эта воля

будьте предметом следующих четырех подразделов.

7

Исключение для

k = 0 требуется только для формул, которые не содержат свободных переменных за пределами distin-

гуйшед один.

298

Н. Поле

5.2. Сложность: Как Это Сделать ‘

∈ ’ и ' → ' взаимодействуют?

Основная проблема при построении интерпретации для высказываний принадлежности обусловлена
наличием в языке условного выражения

→. Просто чтобы почувствовать, для чего

возможно, здесь замешан очень простой случай: обычное свойство Карри

К.

Это

λx (x → x→ ⊥), где ⊥ - некоторое предложение со значением 0, скажем ∃y(y = y). Что

функция

ф

K∈K

должен служить как

∈

∗
K,K

, а отсюда как

K ∈ K, то есть, K λ λx(x → x→
⊥)? Поскольку мы хотим, чтобы (III) было действительным, это должно быть то же самое, что и K → K→⊥.
То есть, нам нужна функция

ф

K∈K

чтобы быть идентичным функции

ф

K∈K

⇒ 0.

Но как нам сделать так, чтобы это было именно так? Первое, что мы хотим знать, это то, что есть

ф

K∈K

(0)? Правила говорят нам, что это так

1 Если

(∃β <

)(∀γ)[β ≤ γ <

⊃ Ф

K∈K

(γ) = 0];

0 если

(∃β <

)(∀γ)[β ≤ γ <

⊃ Ф

K∈K

(γ) > 0];

1

2

иначе.

Похоже, что мы не можем знать значение

ф

K∈K

(0) пока мы не узнаем значения

ф

K∈K

(α) для более высокого α. Но выяснение значений f

K∈K

(α) для каждого более высокого α

кажется, требуется уже иметь значения для более низких

α. Мы, кажется, вовлечены в это дело.

порочный круг.

На самом деле, есть простой способ узнать, какая функция

ф

K∈K

является. Первый,

ф

K∈K

(0)

не может быть 1; для единственной функции в

В

то есть значение 1 при 0 равно 1, и так

ф

K∈K

(1)

должно было бы быть 1; но

ф

K∈K

(1) может быть только 1, если f

K∈K

(0) равно 0. По аналогичному аргументу,

ф

K∈K

(0) не может быть 0. Из этого следует, что f

K∈K

(0) должно быть

1
2

, и от этого легко избавиться.

последовательно получите все остальные значения. (Для записи значение равно

1
2

на 0 и все

предельные ординалы, 0 при нечетных ординалах и 1 при четных преемниках.)

В других случаях все будет не так просто. Например, рассмотрим более общий класс

о свойствах Карри-подобных, свойствах формы

λx (x ∈ x → A (x; o

1

,..., о

н

)).

Сдача в аренду

Q-свойство для конкретного выбора A и o

1

,..., о

н

- мы хотим...

|Q ∈ Q / иметь такое же значение, как Q ∈ Q → A (Q; o

1

,..., о

н

). Но A может быть a

формула произвольной сложности, сама содержащая

∈ и→, а также о

я

s сами по себе могут
быть “странными” свойствами различного рода. Не очевидно, как рассуждение, которое работает для
простого предложения Карри, будет работать более широко.

Во многих конкретных случаях, на самом деле, также легко придумать последовательное значение
для соответствующих предложений; часто уникальное, хотя в таких случаях, как параметризованное
предложение ‘

λx(x ∈ x) ∈ λx (x ∈ x)’ он далеко не уникален, если не будут добавлены дополнительные ограничения
. Но одно дело выяснить, какой должна быть ценность во
многих индивидуальных случаях, и совсем другое-придумать общее доказательство того, что ценности всегда
можно последовательно присвоить. И это еще одна вещь, чтобы указать метод, который
определяет уникальное значение для любой формулы относительно любой функции присвоения. Как
же мы будем делать эти дальнейшие вещи? Рассуждения об оценке стоимости

K ∈ K

предполагает, что для

α > 0 мы могли бы вычислить функцию Z

α

вот и присваивает

к каждой параметризованной формуле

B значение B (α), если бы только мы имели функции Z

β

Непротиворечивость наивной теории свойств

299

для

β

0

, которая включает в себя:

назначение параметризованным

B для которых существуют произвольно высокие вложения

‘

→ 'либо в самой формуле, либо в формулах, участвующих в создании параметров;

это будет зависеть от следующих условий:

Зет

β

для очень высоких значений

β. Основная проблема, таким образом, является

чтобы хоть как-то прорваться в “трансфинитный круг”.

Я предлагаю, чтобы мы действовали последовательными приближениями. Основная идея заключается в том, чтобы начать

вне этого пространства

W, так что мы можем рассматривать ‘ → ' таким образом, что имитирует поведение

то

⇒ при порядковых значениях больше 0 но отказывается от своего жесткого требования о стадии

0. Мы начнем с присвоения “0

th

стадия " оценки всех условностей
искусственно, и посмотрим, какими должны быть в результате этого более поздние стадии; получится
, что, продолжая достаточно далеко, мы неизбежно придем к соответствующему назначению
Z

0

значений для начального этапа.

Это должно быть объединено с другой идеей, которая в основном
используется Крипке в своей конструкции: нам нужно использовать аргумент с фиксированной точкой для построения
задания на ‘

∈ 'с помощью аппроксимаций, когда задано присвоение‘→'. И нам
нужно каким-то образом сделать эти два процесса аппроксимации вместе; именно здесь возникает большинство
трудностей.

5.3. Построение оценки ‘

∈ ': Первые Шаги

Ладно, давайте перейдем к делу. Конструкция будет присваивать значения в наборе

{0,

1
2

, 1}

к формулам относительно двух порядковых параметров

α и σ (а также к присвоению

значений к переменным в Формуле).

α изначально будет неограничен; σ будет

ограничиться тем, чтобы быть не больше, чем

, начальный порядковый номер мощности, что

сразу же удается, что из

|М

+

|. (Забудь об этом

на данный момент; мы в конечном итоге возьмем

это должно быть по крайней мере

но этого пока нет в картине.) Мы заказываем пары

α, σ лексикографически,

то есть,

α, σ

α, σ

iff либо

α

за то, что требовал этого

σ ограничено так, что это определяет подлинную последовательность. Мы будем

в основном вас интересует подпоследовательность пар вида

α,

; значения из

σ меньше

чем

служите просто как auxiliaries к производить значения на

. Я буду называть его

значение предложения в паре

α,

его " ценность на этапе

α”, и часто будет падать

из нотации.

Теперь я перейду к назначению значения в наборе

{0,

1
2

, 1} к каждой формуле в L

+

относительно

любой выбор

α, σ и s (последнее является функцией, присваивающей объекты переменным);

за исключением того, что, как упоминалось ранее, я отброшу ссылку на

s путем понимать

формулы, подлежащие параметризации. Я буду использовать одностаренную нотацию

|Ля|

α,σ

вместо того, чтобы...

двухбарьерная нотация

A используется ранее, чтобы подчеркнуть, что пространство значений отличается.

В конечном итоге я буду использовать последовательность из двух параметров

|Ля|

α,σ

восстанавливать

Есть (Именно так

вы знаете, куда мы направляемся, определение будет такое

A-это функция, у которой

значение на

α <

является

|Ля|

+α,

; где

и

являются ли ординалы будут указаны позже. Эти

ординалы не будут зависеть от конкретного

А; и для всех а, |а|

+,

= |Ля|

,

.

Причем, для всех

ЛЯ|

,

это 1 iff для всех

α >

,

|Ля|

α,

равно 1; и аналогично для

300

Н. Поле

0, хотя и не обязательно для

1
2

. Это основные условия, необходимые для обеспечения того
, чтобы A удовлетворял условиям регулярности, необходимым для членства в пространстве W, которое

в свою очередь гарантирует, что мы получим разумную логику.)

Назначение одного бара происходит следующим образом:

1.

|о

1

= о

2

|

α,σ

равно 1, Если

о

1

= о

2

; 0 в противном случае.

2. Если

p-атомарный предикат L, отличный от‘=', |p(o

1

,..., о

н

)|

α,σ

равно 1, Если

о

1

,..., о

н

находится в расширении из

p в M; 0 в противном случае. (Так что это 0, если любой из них

то

о

я

быть

Е.)

3.

/ Имущество (о)|

α,σ

равно 1, Если

О находится в Е; в противном случае 0.

4.

|о

1

∈ о

2

|

α,σ

равно 0, если

о

2

находится в исходном домене

|М|. В противном случае, o

2

имеет форму

λx (x, b

1

,..., б

н

) для некоторых конкретных формул

и объекты

б

1

,..., б

н

. В том

дело,

|о

1

∈ о

2

|

α,σ

является

1 Если для некоторых

ρ < σ, | (o

1

, б

1

,..., б

н

)|

α,ρ

= 1;

0 если для некоторых

ρ < σ, | (o

1

, б

1

,..., б

н

)|

α,ρ

= 0;

1
2

иначе.

5.

|Ля|

α,σ

это 1

− |Ля|

α,σ

.

6.

|A ∧ B|

α,σ

это мин

{|Ля|

α,σ

, / B|

α,σ

}.

7.

|A ∨ B|

α,σ

это Макс

{|Ля|

α,σ

, / B|

α,σ

}.

8.

/ ∀xA(x)|

α,σ

это мин

{/A (o)|

α,σ

| o ∈ / M

+

|}.

9.

/ ∃xA(x)|

α,σ

это Макс

{/A (o)|

α,σ

| o ∈ / M

+

|}.

10.

|A → B|

α,σ

является

1 Если для некоторых

β < α, и любой γ такой, что β ≤ γ

α,

≤ / B|

α,

;

0 если для некоторых

β < α, и любой γ такой, что β ≤ γ

α,

> / B|

α,

;

1
2

иначе.

Обратите внимание, что когда

α удерживается фиксированным, значения всех атомарных предикатов, не включающих ' ∈ '
(включая те, которые включают ' = ' и 'свойство'), и всех условных обозначений, полностью
независимы от

σ: в случае условных обозначений, то есть из-за использования специфического

порядковый

на правой стороне 10. Это означает, что для каждого фиксированного значения

α мы
можем выполнить построение неподвижной точки из [4]. (Мы выполняем его " бесконечно много
раз”, по одному для каждого

α.) Более полно, для каждого α конструкция монотонна в σ:

как

σ увеличивается с фиксированным α, единственными возможными переключателями по значению являются от

1
2

до 0 и

От

1
2

до 1. Таким образом, по стандартному аргументу с фиксированной точкой конструкция должна достичь
фиксированной точки в некотором порядковом номере мощности не больше, чем у домена; то есть
в некотором порядковом номере меньше, чем

. А это значит, что мы получаем следующее следствие
из 4:

(FP) для всех

α и все o и все

и все же...

б

1

,...,б

н

, / o ∈ λx (x, b

1

,..., б

н

)|

α,

= | (o, b

1

,..., б

н

)|

α,

.

И правило для бикондиционирования, которое следует из 10 и 6 (вместе с тем факт

Непротиворечивость наивной теории свойств

301

что такое увеличение в

σ перестает иметь какой-либо эффект к тому времени, когда мы достигли), то подразумевается

это для любого

α≥ 1 (и любой o,

и

б

1

,..., б

н

),

|o ∈ λx (x, b

1

,..., б

н

) ↔

(o, b

1

,..., б

н

)|

α,

= 1;

Итак (роняя

из нотации:),

(FP-Cor1) для любого

и

α ≥ 1, |∀u

1

... ∀у

н

∃Z для∀Х[Х ∈ З ↔

(x, u

1

,..., у

н

)]|

α

= 1.

(FP-Cor1) внешне выглядит как (III), который мы требуем, но на самом деле он очень далек
от этого, поскольку он ничего не говорит о двухбарабанных семантических значениях, которые нам нужно гарантировать
разумную логику: ничего о регулярных функциях из Pred

() to {0,

1
2

, 1}. Делать

еще лучше, нам нужно исследовать, что происходит, когда мы идем к более высоким и более высоким значениям

α.

Именно это и является целью следующего подраздела.

Прежде чем приступить к этому, я отмечу результат замены:

(FP-Cor2) если

A -любая параметризованная формула, А A

∗

результаты от его путем заменять

возникновение

y ∈ λx (x, o

1

,..., о

н

) по факту возникновения

(y, o

1

,..., о

н

), то для

каждый

α, / A|

α

= |Ля

∗

|

α

.

Стоит подчеркнуть, что это справедливо даже в том случае, когда подстановка находится в пределах области
действия

→. Доказательство (детали которого я оставляю читателю) - это индукция по сложности,

при включенной субиндукции

α для обработки условных обозначений и утверждений об идентичности. (Это es-

показательно, что присвоение значений условным обозначениям для

α = 0 не давало условным
единицам различных значений, когда они отличались такой подстановкой; но это явно не делало этого,
так как он давал всем условным единицам значение

1
2

.)

Основная теорема

Есть ли способ получить из наших однобарных семантических значений относительно уровней

α удвоить-

бар семантических значений в пространстве

Ж? Наивной мыслью может быть определение о

1

∈ о

2

как функция, которая отображает каждый

α в |о

1

∈ о

2

|

α

. Но должно быть очевидно, что это
не работает: это не соответствует условию регулярности, которое нам нужно. (Это действительно работает в
нескольких простых случаях, таких как

ф

K∈K

- да, но не совсем так.) Тот факт, что все условные обозначения имеют

ценность

1
2

около

α = 0 является наиболее очевидным свидетельством этого.

Но что-то вроде этого сработает: я покажу, что есть определенные ординалы

, который

Я буду называть приемлемые ординалы, с некоторыми хорошими свойствами. Оказывается, что если

есть ли вообще

допустимый порядковый номер и

является ли любой достаточно большой допустимый порядковый номер, который также является начальным

(так что он равен

+

), то мы можем использовать это

для нашего пространства значений

Ж, а мы

можно определить

о

1

∈ о

2

как функция, которая отображает каждый

α <

в

|о

1

∈ о

2

|

+α

.
Условия по приемлемости будут гарантировать, что функции являются регулярными. Это будет также

302

Н. Поле

оказывается, что даже для сложных формул,

A-функция, отображающая каждый α

в

|Ля|

+α

. И это будет гарантировать все законы, которые нам нужны.

8

Определение приемлемости, которое проще всего использовать, потребует некоторых предварительных условий

объяснение. С этой целью я ввожу трансфинитную последовательность функций

Х

α

. (Эти

являются ли "однобарьерные аналоги"

Зет

α

это я неофициально упомянул в разделе 5.2.)

Х

α

определяется как функция, которая присваивает каждой параметризованной формуле

Значение

|Ля|

α

определяется по правилам оценки стоимости одного бара. Если

v = H

α

- Я так и говорю.

α представляет собой

В. И если ч

α

= Ч

β

Я говорю, что

α эквивалентно β. Я использую его интуитивно

очевидная Лемма, которую читатель может легко доказать индукцией на

γ:

Лемма. Если бы...

α эквивалентно β тогда для любого γ, α + γ эквивалентно β + γ.

Теперь пусть FINAL-это набор функций

v которые представлены произвольно поздно, т. е.,

такие что

(∀α) (β β ≥ α) (v = H

β

).

Предложение 1. Финал

= ∅.

Доказательство. Если он был пуст, то для каждой функции

v из отправлено в {0,

1
2

, 1}, там бы

будьте an

α

в

такие что

(∀β ≥ α

в

) (v = H

β

). Пусть θ будет супремумом всех α

в

. Затем для

каждая функция

v из отправлено в {0,

1
2

, 1}, v = H

θ

. С

Х

θ

сама по себе такая функция есть,

в этом есть противоречие.

Вызов порядкового номера

γ окончательный, если он представляет некоторое v в финале; то есть, если (∀α)(∃β ≥ α)

(Ч

γ

= Ч

β

).

Предложение 2. Если бы...

α является предельным, и α ≤ β тогда β является предельным.

Доказательство. Если бы...

α ≤ β, то для некоторого δ, β = α + δ. Предположим, что α является предельным. Тогда для любого µ,

есть еще один способ:

η

µ

≥ µ, что эквивалентно α. Но тогда β, т. е., α + δ, эквивалентно

η

µ

+ δ По Лемме, и η

µ

+ δ ≥ µ; поэтому β является предельным.

Вызов параметризованной формулы

A в конечном счете хорошо, если для каждого конечного α, |A|

α

= 1;

в конечном счете плохо, если для каждого конечного

α, / A|

α

= 0; и в конечном счете неопределенно, если это так

ни в конечном счете хорошо, ни в конечном счете плохо. Если

является классом параметризованных формул,

вызов порядкового номера

δ исправьте для

если

(ULT) для любого

Ля ∈

, |Ля|

δ

= 1 iff A в конечном счете хорошо, и |A|

δ

= 0 iff A
в конечном счете плохо.

(Из этого следует, что

|Ля|

δ

=

1
2

МКФ

А в конечном счете неопределенно. Кроме того, если

закрывается при
отрицании, тогда условие для 0 следует из условия для 1.) И назовем порядковый
номер приемлемым, если он универсально корректен, то есть корректен для множества всех параметризованных
формул. (Таким образом, если допустимы два ординала, они эквивалентны, т. е. они присваивают
одинаковые значения каждой параметризованной формуле.)

8

В дальнейшем я использую несколько иное определение приемлемости, чем в [1], хотя оно эквивалентно

для того, кто там; разница несколько упрощает доказательство.

Непротиворечивость наивной теории свойств

303

Предложение 3. Если бы...

δ является предельным, то для его корректности достаточно следующего::

для всех

A ∈, если A в конечном счете неопределенно, то |A|

δ

=

1
2

.

Доказательство. С тех пор

δ является предельным, все, что в конечном счете хорошо или в конечном счете плохо имеет

правое значение на

δ, поэтому только окончательно неопределенный A имеет шанс быть обработанным

неправильно.

Теперь я перейду к тому, чтобы показать, что существуют приемлемые ординалы; действительно, произвольно большие

те. Начните с любого конечного порядкового номера

τ, как бы велик он ни был. Тогда каждый член финала

представляется некоторым порядковым номером

≥ τ; и поскольку FINAL-это множество, а не собственное

класс и

τ является предельным, должно быть такое ρ, что τ + ρ эквивалентно τ и каждое

член финала представлен в интервале

[τ, τ + ρ). Наконец, пусть

быть

τ + ρ · ω.

Я тебе покажу, что

приемлемый.

Предложение 4. Для любого

n, каждый член финала представлен в интервале
[τ + ρ · n, τ + ρ · (n + 1)).

Доказательство. От того, что

τ + ρ эквивалентно τ, тривиальная индукция дает то, что для любого

конечный

n, τ + ρ · N эквивалентно τ; поэтому для любого конечного n и любого α

эквивалентный

τ + α. Таким образом, все, что представлено в интервале [τ, τ + ρ), представляется

в

[τ + ρ · n, τ + ρ · (n + 1)).

Предложение 5.

правильно по отношению ко всем условностям.

Доказательство. С тех пор

является конечной, любой в конечном счете хорошо

A имеет значение 1 at, и любой в конечном счете

плохой

A имеет значение 0 при

. Осталось доказать обратное, для случая, когда

А - это а

условный.

Предполагать

|B → C|

= 1. Тогда для некоторого α

[α, τ + ρ · ω))(|B|

β

≤ |С|

β

). Так как α

α < τ + ρ · n. So (∀β ∈ [τ + ρ · n, τ + ρ · ω))(|B|

β

≤ |С|

β

). Но по реквизиту. 4,

каждый участник финала представлен в

[τ + ρ · n, τ + ρ · ω); поэтому для каждого конечного

порядковый

β, / B|

β

≤ |С|

β

. Это следует из правил оценки, что для каждого конечного

β,

|B → C|

β

= 1; то есть B → C в конечном счете хорошо. Аналогично, если |B → C / = 0, то
B → C в конечном счете плохо.

основная теорема:

приемлемый.

Доказательство. По Реквизиту. 3, это достаточно, чтобы показать, что если

A в конечном счете неопределенно тогда |A / =

1
2

. Делая мини-этапы явными (и напоминая, что для любого

α, если предложение имеет значение

1
2

около

α,

тогда он вообще имеет такое значение

α, σ), то следует доказать, что (∀A)(∀σ)(если

||Ля| | =

1
2

затем

|Ля|

,σ

=

1
2

). Или реверсивные кванторы, которые (∀σ)(∀A) (если ||A| | =

1
2

затем

|Ля|

,σ

=

1
2

). Предположим, что это не удается; пусть σ

0

будьте наименьшим порядковым номером, на котором он терпит неудачу.

Мы получаем противоречие, доказывая индукцией о сложности

А то

(∀A) (если A в конечном счете неопределенно, то |A|

,σ

0

=

1

2

).

(*)

304

Н. Поле

Если

A является атомарным с предикатом, отличным от"∈", ТО A не является в конечном счете неопределенным,

так что это утверждение бессмысленно. Аналогично, если

А - это о

1

∈ о

2

где

о

2

это не так

Е.

Предполагать

А - это о

1

∈ о

2

где

о

2

∈ E. затем o

2

является

{x| (x, b

1

,..., б

н

)}, для некоторых

(x, b

1

,..., б

н

). Поэтому, если A в конечном счете неопределенно, ∃x[x = o

1

∧ (x, b

1

,..., б

н

)]

должно быть тоже, так как он имеет такое же значение, как и

А на каждом этапе. Так что по выбору σ

0

,

|∃x[x = o

1

∧

(x, b

1

,..., б

н

)]|

,σ

=

1
2

для всех

σ < σ

0

. Но тогда по оценке

Правила,

|о

1

∈ о

2

|

,σ

0

=

1
2

.

Если

A является условным, то по правилам оценки / A|

,σ

0

является

|Ля|

,

, т. е.,

|A|, который

(когда

А в конечном счете неопределенно) является

1
2

по реквизиту. 5.

В других случаях используется утверждение, которое (*) выполняется для более простых предложений и справедливо

рутина. Например, если

A есть ∀xB, то если a в конечном счете неопределенно, существует t

0

такой

тот

B(t

0

/x) является в конечном счете неопределенным, и для no t является B(t/x) в конечном счете плохим. Но

для любого

t, для которого B (t/x) в конечном счете неопределенно, включая t

0

, индукция

гипотеза дает, что

|B(t

0

/икс)|

,σ

0

=

1
2

; и для любого

t, для которого B (t/x) является в конечном счете

хорошо,

/ B (t / x)|

,

это 1 и так

/ B (t / x)|

,σ

0

∈ {

1
2

, 1}. Итак, по правилам оценки для ∀,

|∀xB|

,σ

0

=

1
2

.

5.5. Оценка стоимости ‘

∈ 'Заключение

Теперь мы готовы сами выбрать стоимость

для нашего космоса

W, и выбрать a

W-расширение для‘∈'.

Напомним, что допустимый порядковый номер

только что построенный был выбран, чтобы быть больше, чем

сколь угодно большой

τ; таким образом, фундаментальная теорема дает, что приемлемые ординалы происходят

произвольно поздно. Позволь

0

быть первым допустимым порядковым номером и

0

+ δ быть вторым; затем

порядковый номер приемлем, если он имеет форму

0

+ δ · β.

Если бы я уже не предъявлял жестких требований к пространству семантических значений
(чтобы иметь возможность развивать семантику в целом с как можно меньшим беспокойством), я
мог бы теперь просто позволить

∈

∗

о

1

о

2

быть функцией, которая отображает каждый

α

1

∈ о

2

|

0

+α

,
и пусть набор семантических значений является набором таких функций для различных пар

о

1

, о

2

. Но учитывая, что я ввел жесткие требования, это не сработает:

Мне нужен приемлемый вариант

0

+

за которую

является начальным порядковым номером

≥

. Кроме того, если я этого не сделаю

настаивать на том, что

строго больше чем

δ мне нужно будет доказать, что для каждого параметризованного

формула

А есть такое ρ

Один

меньше, чем

δ такое, что функция |A|

0

+α

является

ρ

Один

- цикличность; I

представьте себе, что это так, но чтобы не утруждать себя, чтобы доказать это, я построю

быть

строго больше, чем

δ, так что мы можем использовать δ в качестве общего цикла для всех A.

9

Так что давай

быть любым начальным порядковым номером, который больше, чем

0

+ δ и не менее. С

является начальным, и больше, чем

0

+ δ, оно идентично к

0

+ δ ·

- значит, это приемлемо.

9

На самом деле я мог бы избежать отдельного условия, что

0

+ δ <

доказав это из условия, что

является начальным порядковым номером, и это очевидное следствие того, что я предполагаю, что это факт, что

δ <

0

. Но

опять же, нет необходимости утруждать себя, чтобы доказать это, когда альтернативное условие стоимости

будет

избавь меня от этой необходимости.

Непротиворечивость наивной теории свойств

305

И (с тех пор

0

+

это тоже просто

), мы можем унести вышеуказанную идею используя

на месте

от

δ:

E) для каждого из них

σ

1

и

σ

2

,

∈

∗

о

1

о

2

является ли функция, которая присваивает каждому порядковому номеру

α <

то

ценность

|о

1

∈ о

2

|

0

+α

.

Тогда каждое значение

о

1

∈ о

2

является

δ-циклический.

Последнее, что нужно показать, чтобы показать, что (E) действительно преуспевает в назначении

один

W-расширение до ‘ ∈ ' для

недавно выбран, разве что каждый

о

1

∈ о

2

это нормально. Но

это ясно: если он отображает 0 в 0 или 1, то

|о

1

∈ о

2

|

0

равно 0 или 1, так что по приемлемости,

о

1

∈ о

2

это либо в конечном счете плохо, либо в конечном счете хорошо, и так

|о

1

∈ о

2

|

0

+α

это либо 0

для всех

α или 1 для всех α; поэтому o

1

∈ о

2

это либо 0, либо 1.

Так что у нас есть a

W-модель. Все, что теперь остается от доказательства согласованности-это проверить

что модель проверяет схему аксиомы (III). Для этого требуется следующее:

Теорема. Для каждой параметризованной формулы

A, A -это функция, которая присваивает

каждый порядковый номер

α <

значение

|Ля|

0

+α

.

Доказательство. Путем индукции о сложности

A. Это верно по оговорке для
утверждений о членстве и тривиально для других атомарных утверждений; и предложения для кванторов
и для других связок, кроме

→ полностью прозрачны, потому что функции

назначены эти связки в

W-модели ведут себя точечно так же, как соответствующие

связки ведут себя в однобаровых назначениях. Это справедливо для

→ тоже, за исключением

поведение при 0. Поэтому все, что нам нужно проверить, это следующее:

Если

A и B-это функции, которые присваивают каждому порядковому номеру α

то

ценности

|Ля|

0

+α

и

/ B|

0

+α

соответственно, тогда

A → B (0) присваивает

ценность

|A → B|

0

.

Но

A → B (0) является условием (A

⇒

B) (0); то есть,

1 Если для некоторых

β <

, и любой

γ такое, что β ≤ γ

,

A (γ) ≤ B (γ);

0 если для некоторых

β <

, и любой

γ такое, что β ≤ γ

,

A (γ) > B (γ);

1
2

иначе.

Но

A (γ) является гипотезой |A|

0

+γ

, и аналогично для

B, так что эти условия являются

точно так же, как и соответствующие условия для

|A → B|

0

+

. Иначе говоря,

мы уже показали, что

A → B (0) is |a → B|

0

+

. И так как приемлемые ординалы являются

эквивалент, то есть просто

|A → B|

0

- как потребуется.

Заключение. Каждый экземпляр схемы Axiom (III) получает значение 1.

Доказательство. Нам это нужно для любого

о, о.

1

,..., о

н

,

o ∈ λx (x, o

1

,..., о

н

) =

(o, o

1

,..., о

н

).

306

Н. Поле

Но по теореме это сводится к утверждению, что для каждого

α,

|o ∈ λx (x, o

1

,..., о

н

)|

0

+α

= | (o, o

1

,..., о

н

)|

0

+α

,

и это всего лишь частный случай результата с фиксированной точкой (FP), доказанного в разделе 5.3.