Непротиворечивость наивной теории свойств

Хартри-Филд

Абстрактный. Наивная теория свойств утверждает, что для любого предиката

(x), что есть a

свойство с тем признаком, что объект

o имеет это свойство тогда и только тогда, когда

(о). Если свойства
должны играть полезную роль в семантике, то трудно избежать принятия наивной теории, но она, по-видимому
, приводит к различным парадоксам. В статье показано, что парадоксы не возникают из наивной теории
до тех пор, пока логика ослабляется соответствующим образом, например, избегая исключенного среднего и используя
соответствующее условное; основная трудность заключается в поиске семантики, которая может обрабатывать условное
, подчиняющееся разумным законам, не порождая парадокса. (Семантика, которая используется
, бесконечно значна, а значения только частично упорядочены.) В документе также обсуждается вопрос о том, является ли
решение может быть адаптировано к наивной теории множеств; ответ "вероятно, нет", но утверждается
, что ограничение наивного понимания в теории множеств совершенно удовлетворительно, в то время как это делается в
теории свойств, используемой для семантики, нет.

Введение

Согласно наивной теории свойств, для каждого предиката

(x) существует a

соответствующее свойство

λx (x). Кроме того, это свойство λx (x) является экземпляром по

объект

o если и только если

(о). В более общем плане, наивная теория включает в себя

следование " наивной схеме понимания”:

∀у

1

...∀у

н

∃y[свойство (y) ∧ ∀ x(x инстанцирует y ↔

(x, u

1

,..., у

н

))].

(NC)

Эта наивная теория свойств имеет много достоинств, но она, по-видимому, была разрушена
(имущественной версией) парадокса Рассела.

“Кажется " было разбито вдребезги? Нет никаких сомнений, что он был разбит, если мы

предположите полную классическую логику. Давайте используем этот символ ‘

∈ 'означает " инстанцирует". То

Парадокс Рассела включает в себя свойство Рассела

R, соответствующий предикату ' does

не создавайте сами себя". Итак, согласно наивной теории,

∀x[x ∈ R ↔ (x ∈ x)].

Поэтому в частности,

R ∈ R ↔ (R ∈ R).

(*)

Но (*) является классически непоследовательным.

286

Н. Поле

Существует два пути решения (пути модификации наивной теории) в рамках
классической логики. Первый говорит, что для некоторых предикатов, таких как "не инстанцирует
себя", нет никакого соответствующего свойства. Второй говорит, что есть один, но он
не является экземпляром того, что вы могли бы подумать: есть либо (i) случаи, когда объект

о

имеет свойство

λx (x) даже если (o), или (ii) случаи, когда объект o не делает

есть свойство

λx (x) даже если

(о). В частности, когда

(x) - это "не
инстанцирует себя", свойство Рассела либо рода (i), либо рода (ii). Этот второй
маршрут решения подразделяется на три варианта. Один из вариантов связывает себя с решением
типа (i): свойство Рассела инстанцирует само себя, но тем не менее обладает свойством
не инстанцировать себя. Второй вариант связывает себя с решением типа (ii): свойство
Рассела не инстанцирует себя, но тем не менее не имеет свойства
не инстанцировать себя. Третий вариант хеджирования: он говорит, что свойство Рассела является
либо из рода (i), либо из рода (ii), но отказывается сказать, какой именно.

Эти четыре классические теории-три варианта, допускающие существование свойства
Рассела, и одна, отрицающая его, - все они кажутся мне проблематичными. (В prima
facie аналогичном случае множеств я принимаю подход, который отрицает существование "
множества Рассела", как совершенно не проблематичный. Но я считаю, что свойства очень отличаются от
наборов в этом отношении, по причинам, которые будут обсуждаться в заключительном разделе.) На мой взгляд, нам
нужен другой путь решения, и он неизбежно должен включать ослабление
классической логики. Это является целью настоящего документа, чтобы обеспечить один.

Идея ослабления логику, чтобы избежать парадокса Рассела не новая, но
предложения, представленного здесь в отличие от многих в том, что он сохраняет полный наивного понимания
схем в форме указано выше: он спасает ее не только от Рассела парадокс (это
сравнительно легко), но из гораздо более опасные формы парадокса (например, парадокс Карри
и многих расширений). Я не знаю другого способа сохранить наивное понимание
в такой сильной и естественной логике.

Фон

Если мы собираемся ослабить классическую логику, чтобы обойти парадокс Рассела (наряду
с другими), полезно посмотреть, как это (*) приводит к противоречию в классической
логике; таким образом, мы будем знать, какие шаги в аргументе противоречия могут быть
отрицаемы. (На самом деле, один известный подход принимает противоречия, в смысле
утверждения формы

A ∧ A, и хотя я не одобряю его, я хочу, чтобы моя первоначальная дискуссия
признала его в качестве альтернативы. По этой причине позвольте мне оговориться, что теория должна
называться непоследовательной, если она подразумевает не только противоречие в вышеуказанном смысле, но
вообще что-либо: существование Санта-Клауса, всеведение Джорджа Буша в вопросах
квантовой теории поля, вы называете это. Поэтому даже те, кто принимает “противоречия”, не
хотят, чтобы их теория была “непоследовательной”, как я сейчас использую эти термины.) Имея
в виду эту терминологию, вот основные шаги в очевидном аргументе, который (*) является
непоследовательным:

Непротиворечивость наивной теории свойств

287

(1) (*) и

R ∈ R вместе подразумевают противоречие

(R ∈ R) ∧ (R ∈ R),

(**)

поскольку первый конъюнкт является одним из посылок, а второй конъюнкт следует
за модусом поненса.

(2) аналогично, (*) и

(R ∈ R) вместе подразумевают (**).

(3) Итак, путем исключения дизъюнкции, (*) и

(R ∈ R) ∨ (R ∈ R) вместе подразумевают

противоречие (**).

(4) но

(R ∈ R) ∨ (R ∈ R) - это логическая истина (закон исключенного среднего), поэтому (*) все

само собой подразумевается противоречие (**).

(5) Все, что подразумевает противоречие, подразумевает все, что угодно, и, следовательно, является

непоследовательна в самом явно одиозном смысле этого слова.

Вот и весь аргумент. Я был немного небрежен в использовании и упоминании, так как я

определенный

R, чтобы быть свойством, но, по-видимому, говорил о предложении (*), которое его содержит.
Есть несколько способов сделать это правильно. Один из них должен работать в языке, где
у нас есть оператор абстракции свойств, чтобы мы могли назвать

R в языке;

тогда это имя будет использоваться в (*). Второй - это замена ‘

R ' in (*) с бесплатным

переменная

y: тогда аргумент в тексте переходит к аргументу, что Формулы формы
y ∈ y ↔ (y ∈ y) подразумевают противоречия, поэтому их экзистенциальные обобщения тоже существуют,
и (NC) подразумевает такое экзистенциальное обобщение. Третий предполагает введение
конвенции "параметризованных формул": пар формул и присвоений
объектов их свободным переменным. Тогда (*) - это просто удобная нотация для пары
‘

y ∈ y ↔ (y ∈ y) ‘и присвоение R к’ y', и то, что появляется в тексте, является
буквально правильным выводом, включающим параметризованные формулы. Делайте все, что вам
нравится.

Очевидно, что существует несколько различных возможных способов ограничить классическую логику
, чтобы уклониться от приведенного выше аргумента о несогласованности (*). (Я полагаю, что аргумент
, который (NC) подразумевает (*), не включает в себя ничего ни в малейшей степени спорного, так что именно

аргумент, который (*) приводит к непоследовательности, должен быть оспорен.) Я просто изложу
свой предпочтительный подход, не утверждая, что это лучший: на мой взгляд, наиболее привлекательный
способ ослабить классическую логику, чтобы уклониться от аргумента, который (*) приводит к непоследовательности
, - это ограничить закон исключенного среднего, тем самым подрывая Шаг (4). Дизъюнкция
исключение может быть сохранено (даже в сильном смысле, используемом в шаге (3), т. е. позволяя
боковые формулы). Так же как и "одиозность противоречий", предполагаемая в шаге (5).

Конечно, если вы можете уклониться от аргумента в логике £

1

что содержит в себе “одиозность

правило противоречий"

A ∧ A / = B, вы можете одинаково уклониться от него в логике £

2

как

£

1

но который является " параконсистентным” в этом правиле

A ∧ A |= B отбрасывается. Но с тех пор...

классические законы вроде исключенного среднего, которые отсутствуют из £

1

будет отсутствовать от £

2

кроме того, это не имеет никаких очевидных преимуществ. То, что могло бы иметь преимущества, если бы это могло быть
достигнуто, состояло бы в спасении наивной теории собственности в параконсистентной логике, в которой
мы сохраняем законы, отсутствующие в £

1

, например, исключена середина. Я не знаю ни одного интересного способа

чтобы достичь этого; для обсуждения некоторых препятствий см. [2].

288

Н. Поле

К сожалению, ограничение исключенного среднего далеко не дает адекватной
теории. Ограничение закона исключенного среднего блокирует приведенный выше аргумент о
несогласованности

R ∈ R ↔ (R ∈ R), но отнюдь не очевидно, что существует
удовлетворительная логика без неограниченной исключенной середины, в которой эта бикондиционированность
может быть сохранена. Еще менее очевидно, что существует удовлетворительная такая логика, в которой
может быть сохранена полная наивная теория свойств. Позвольте мне объяснить.

Наиболее очевидные способы борьбы с парадоксами в логике без исключенного
среднего (например, теоретико-вещественная адаптация клиновой версии подхода Крипке [4]
" фиксированная точка” к семантическим парадоксам)

1

не оправдывайте (NC), и
они даже не оправдывают его слабое следствие (*). Причина заключается в том, что они не содержат
соответствующего условного (или бикондиционированного).

Действительно, основные вопросы, связанные с показом непротиворечивости наивной теории

центр по проблеме поиска адекватного лечения детей с ограниченными возможностями здоровья

→. (И отсюда ↔:

Я буду считать, что

A ↔ B означает (A → B) ∧ (B → A).) Даже если бы наша цель была ограничена
последовательным утверждением бикондиционирования (*), это в значительной степени исключило бы
наше определение

A → B в терминах других связок знакомым образом из

классическая логика, а именно:,

A ∨ B. ибо на этом "материальном условном" чтении ‘→’, (*)

составлять

[(Р ∈ Р) ∨ (Р ∈ Р)] ∧ [(Р ∈ Р) ∨ (Р ∈ Р)].

Предполагая дистрибутивность и несколько других простых законов, это эквивалентно дизъюнкции

о классических несоответствиях

(Р ∈ р) ∧ (р ∈ р) и (р ∈ р) ∧ (р ∈ р).
Если мы предполагаем устранение двойного отрицания, то это, по сути, просто простое
противоречие

(R ∈ R) ∧ (R ∈ R); и даже если не предполагается устранение двойного отрицания,
дизъюнкция противоречий кажется столь же непоследовательной, как и одно противоречие.
Таким образом, если мы отбросим параконистические подходы, упомянутые выше, то ясно, что мы
вообще не можем интерпретировать

A → B как A ∨ B, если мы хотим сохранить четное (*). И

на параконсистентных подходах происходит “материальное условное " прочтение

→ кажется
неуместным на разных основаниях: что чтение делает недействительным modus ponens. (Хотя
это важно не интерпретировать

→ как материальная условность, теория, что я буду

адвокат действительно постулирует тесную связь между этими двумя: в то время как

(A → B) ↔ (A ∨ B)

это не логическая истина, это логическое следствие из посылок

A ∨ A и B ∨ B.
другими словами, только в контексте пробоя в законе исключенной середины
расхождение между

→ и материальная условность появляется.)

Первая проблема с получением приличного условного, тогда, является лицензирование утверждения

от (*). Но есть еще много “логики развития

→ "которые решают эту проблему, будучи все еще
неадекватными наивной теории, ибо полная схема понимания (НС) не
является последовательно утверждаемой в них. Действительно, многие из этих логик не справляются с близким
аналогом парадокса Рассела из-за Карри. Проблема заключается в следующем: (NC) подразумевает следующее:

1

Такая адаптация клинового варианта подхода Крипке фактически дана в Мэдди [5], как
теория собственных классов. Я буду обсуждать использование теории, которая будет дана в этой статье в связи с
надлежащими классами в заключительном разделе. На мой взгляд, наличие (NC) необходимо не только для
теории свойств в целом, но и для более адекватной теории собственных классов.

Непротиворечивость наивной теории свойств

289

наличие свойства Карри

K, для которого ∀Х[Х ∈ К ↔ (Х ∈ Х → ⊥)], где ⊥ является

любой абсурд, который вам нравится. Так

K ∈ K ↔ (K → K→ ⊥); то есть,

(я)

K → K → (K → K → ⊥)

и

(второй)

(K → K→ ⊥) → K K. K.

Но во многих логиках из

→ у нас есть правило сжатия A → (A → B) |= A → B, on

что (i) подразумевает

(я

∗

)

K → K→ ⊥.

Но это с (ii) приводит к тому, что

K ∈ K по модусу поненса; и еще одно применение модуса

поненс ведет от этого и (i*) к

⊥.

Если мы не ограничим modus ponens (и оказывается
, что требуется очень резкое ограничение его), нам нужно ограничить правило сокращения. Это также требует дополнительных
ограничений на логику. Например, учитывая, что мы сохраняем modus ponens
в форме

A, A → B / = B, у нас, конечно, есть A, A → (A → B) |= B просто
используя modus ponens дважды; поэтому для предотвращения сжатия мы, конечно, не можем иметь
обобщенный

→- введение мета-правила, которое позволяет перейти от

, A / = B к
|= A → B. действительно, даже более слабая версия, которая позволяет вывод только тогда, когда

пустота должна быть отброшена: это явный виновник в альтернативном выводе

парадокс Карри.

Оказывается, однако, что трудность в поиске адекватного лечения ‘

→'
не является непреодолимым, и что наивный принцип понимания (NC) может быть сохранен;
действительно, он может быть сохранен в логике, которая, хотя и не содержит исключенного среднего
или правила сокращения, не совсем противоестественна или безнадежно слаба.

2

Цель проекта:

эта статья должна показать это.

3

Должна ли теория все еще считаться "наивной", когда

логика изменена таким образом-это вопрос, который я оставляю читателю.

Стоит подчеркнуть, что хотя закон исключенного среднего
и нуждается в ограничении, полностью отказываться от него не стоит: он может сохраняться в различных ограниченных
обстоятельствах. Например, понятие собственности обычно используется в
связи с “базовым языком”

L, который не говорит о свойствах; затем мы расширяем L до

язык

Л

+

это позволяет создавать свойства, в том числе, но не ограничиваясь свойствами

вещи, о которых говорили в

(Он не ограничивается свойствами вещей, о которых говорится в L
, потому что он также будет включать свойства свойств: действительно, некоторые из них
порождают кажущиеся парадоксы.) Это находится в пределах основного языка

L что большая часть
математики, физики и т. д. имеет место; и теория, защищаемая здесь, делает это

2

Например, условное подчиняется противопоставлению в сильной форме

| = (A → B) → (B → A).

Также когда

|= A ↔ B и C

Б

результаты от

С

Один

подставляя

B для одного или нескольких вхождений A, то

|= С

Один

↔ С

Б

; поэтому (NC) дает, что

y ∈ λx (x) везде взаимозаменяемо с

(y), даже внутри

область действия условная.

3

Подход, который я буду давать, является адаптацией подхода к семантическим парадоксам, разработанным в

[1].

290

Н. Поле

не требуйте какого-либо ограничения исключенного среднего в этих областях, потому что до тех пор, пока
мы ограничиваем наши кванторы областью основного языка, мы можем сохранить полную
классическую логику. Мы также можем сохранить полную классическую логику в отношении тех
специальных (”ранг 1“) свойств, которые явно ограничены, чтобы применяться к не свойствам;
и к тем специальным (”ранг 2") свойствам, которые явно ограничены, чтобы применяться к
не свойствам и свойствам ранга 1; и так далее. Где исключенное среднее не может быть
принято только в связи с определенными свойствами, которые нигде не появляются в
такая иерархия рангов, как свойство Рассела и свойство Карри (хотя для
других таких свойств, например, для тех, чье дополнение появляется в иерархии рангов,
исключенное среднее также не является проблематичным). Даже для "проблемных" свойств нет
необходимости отказываться от исключенного среднего для утверждений об идентичности свойств; только
когда речь заходит о утверждениях об экземпляровании проблемных свойств, исключенное
среднее вообще не может быть принято.

Я не знаю, Может ли теория здесь быть адаптирована к теории "наивных множеств",
добавив аксиому или правило экстенсиональности; я немного скажу об этом в заключительном
разделе, включая обсуждение того, почему вопрос гораздо менее важен для множеств, чем
для свойств. Но если можно разработать теорию наивных множеств, кажется маловероятным
, что мы сможем сохранить исключенную середину для тождеств между наивными множествами
(например, между пустым множеством и

{x / x = x ∧ K ∈ K}, где K - "множество Карри",
определенное по аналогии со свойством Карри). Из-за этого” наивная теория множеств", если
это вообще возможно, будет иметь существенно отличный характер от наивной
теории свойств, которая будет развиваться.

Цель

Я сказал, что хочу последовательную наивную теорию свойств, но на самом деле то, что я хочу
, немного сильнее, чем простая последовательность. Пришло время начать быть немного более точным.

Позволь

L быть любым языком первого порядка с идентичностью. Поскольку я не хочу отождествлять
A → B С A ∨ B, необходимо предположить, что → является примитивной связкой,
наряду с

, ∧ и/или ∨, и ∀ и / или ∃. И чтобы избежать раздражающих осложнений
о том, как расширить функциональные символы при добавлении в онтологию, я предположу
, что

L не содержит никаких функциональных символов (за исключением, возможно, для 0-го места, т. е., отдельных

константы).

L можно считать языком для математики, физики или чего-то еще

вы любите не только недвижимость. (Поэтому он не должен содержать термины "собственность" или ‘

∈’

в чувствах, которые будут представлены. Если он содержит эти термины в других смыслах-например, ‘

∈ '
для членства среди итерационных множеств стандартной теории множеств-тогда представьте себе, что они
заменены другими терминами.)

Позволь

Л

+

результат от

L путем добавления нового 1-го предиката 'свойство' и нового

Предикат 2-го места ‘

∈ 'означает ' инстанцирует'. Для любой формулы A из L пусть A

Л

будь то

формула:

Л

+

полученный от

A ограничением всех связанных вхождений любой переменной
z условием ' Property (z)’. Пусть T-любая теория на языке L. " наивно

Непротиворечивость наивной теории свойств

291

Теория собственности закончена

T " - это теория T

+

это состоит из следующих нелогических элементов

аксиоматика:

(Я)

Один

Л

, для любого

A это замыкание формулы, которая следует из T

(ВТОРОЙ)

∀x∀y [x ∈ y → свойство(y)]

(III)

∀у

1

... ∀у

н

∃y[свойство(y) ∧ ∀ x (x ∈ y ↔

(x, u

1

,..., у

н

))],

где

(x, u

1

,..., у

н

) является ли любая формула Изl

+

в котором

y-это не бесплатно.

III) справедлива (NC). Тогда минимальная цель состоит в том, чтобы показать, что в подходящей логике теория
T

+

состоящая из (I) - (III) всегда последовательна до тех пор, пока

T сам по себе является последовательным. Примечание

что если...

T сама по себе является классической теорией, т. е. E., замкнута под классическим следствием, то

"Наивная теория собственности закончилась

T " эффективно сохраняет классическую логику среди предложений из

форма

Один

Л

, даже если его официальная логика слабее: ибо если

Один

1

,…,

Один

н

являются ли формулы из

L что классически влечет за собой B, то A

1

∧Ля

2

∧... Один

н

→ B находится в T, поэтому [(∀u

1

,..., у

к

)(Ля

1

∧

Один

2

∧... Один

н

→ B)]

Л

в

Т

+

, и это то же самое, что

(∀у

1

,..., у

к

) [Свойство (u

1

) ∧

... Property свойство (u

к

) → (Ля

L
1

∧ Ля

L
2

∧... Один

Л

н

→ B

Л

)].

Минимальная цель состоит в том, чтобы показать, что

Т

+

является последовательным всякий раз, когда

T есть, но на самом деле я
хочу что-то немного сильнее: я хочу ввести своего рода многозначную модель
для

Л

+

(бесконечно значный, на самом деле), а затем доказать

G) для каждой классической модели

M из L, существует по крайней мере одна модель M

+

от

Л

+

тот

подтверждает (II) и (III) и имеет

M как его редукт;

где же это сказать

M-редукт из M

+

значит примерно что когда вы ограничиваете то

область применения:

М

+

к вещам, которые не удовлетворяют "свойство" (и забудьте о присвоении-

менты к 'собственности' и к ‘

∈ ’) тогда то, что у вас осталось-это просто м.

4

С тех пор как...

соединительные элементы

Л

+

сведем к их классическим аналогам по редукту, дело в том

тот

M-редукт из M

+

будет гарантировать правильность схемы аксиомы (I); так что если

М

удовлетворяет

T, M

+

удовлетворяет

Т

+

.

Есть веская причина, почему (G) говорит "по крайней мере один", а не "точно один": мы

следует ожидать, что большинство или все модели

Т

+

может быть расширен до моделей, которые содержат
новые свойства, но оставляют без свойств reduct неизменным. Доказательство того, что я
дам дает минимальный

М

+

для данного случая

M, но расширения модели с тем же самым

редукт можно было бы легко дать.

Я докажу (G) на классическом метаязыке теории множеств, поэтому любой, кто готов
принять классическую теорию множеств, должен быть в состоянии принять когерентность неклассической
теории свойств, которая будет введена.

4

Причина для "грубо’ в определении "редукта" заключается в том, что

M-классическая модель, тогда как M

+

будет многозначным; поэтому его редукт должен будет назначать объекты, которые живут в большем пространстве значений. Тем не менее,
большее пространство значений будет содержать два довольно специальных значения, которые будут обозначены 1 и 0, и мы можем взять ‘

Один

имеет значение 1 в

М

+

’ и ‘

A имеет значение 0 в M

+

'чтобы соответствовать ‘

A истинно в M ' и "A ложно в M", когда

A находится в L. редукт M

+

строго говоря, не будет

M, но это будет { 0, 1 }-значная модель, которая соответствует

Для

М в самом очевидном смысле.

292

Н. Поле

Семантический Каркас

Только что сформулированная цель требует разработки теоретико-модельной семантики для

Л

+

в
классическом теоретико-множественном метаязыке. Семантика будет многозначной: кроме
(аналогов) обычных двух истинностных значений будут и другие, бесконечно много на самом деле.

Пространство ценностей

Мой подход к достижению цели является продолжением
ранее упомянутого подхода в стиле Крипке, но он должен быть существенно более сложным из-за
необходимости разумного условного обозначения.

Одна сложность связана с методом доказательства: новая условность не
является “монотонной” в смысле Крипке, что означает, что мы не можем обойтись только
с тем видом аргумента с фиксированной точкой, который является центральным для его подхода (хотя такой аргумент с
фиксированной точкой будет играть важную роль и в этом подходе).

Другая сложность заключается в том, что сама семантическая структура должна быть обобщена:
в то время как Крипке использует 3-значную семантику, я буду использовать модельную теорию, в которой предложения
принимают значения в подпространстве

В

из множества

Ф

функций от Pred

() to {0,

1
2

, 1},

где

является начальным порядковым номером (порядковый номер без предшественника той же мощности), что

это больше, чем

ω, и где Pred () - множество его предшественников.

5

(Я не фиксируюсь на a

особое значение имеет:

на данный момент, потому что я позже введу дополнительный минимальный размер

требования по этому поводу.)

Какое подмножество из

Ф

выбираю ли я в качестве своего

Ж? Если ρ-ненулевой порядковый номер меньше, чем

, вызовите участника

f из F

pcyclic if для всех β и σ, для которых ρ · β + σ

,

f (ρ · β + σ) = f (σ); и назовем его циклическим, если существует ненулевое ρ меньше, чем

такое, что оно

является

ρ-циклический. Назовем его регулярным, если помимо цикличности он удовлетворяет условию, что
он является либо одной из постоянных функций 0 и 1 (которые отображают все в 0 или отображают
все в 1), либо отображает 0 в

1
2

. Затем

В

состоит из регулярных функций

от Pred

() to {0,

1
2

, 1}. (После того, как мы нашли подходящий метод присвоения значений

в

В

к предложениям, то действительные выводы среди предложений будут приняты, чтобы быть

те выводы, которые гарантированно сохраняют значение 1.)

Несколько свойств:

В

стоит отметить...

• Он имеет естественный частично приказывать:

ф

g iff (∀α

) (f (α) ≤ g (α)). То

заказ имеет минимум 0 и максимум 1.

Да и заказ не тотальный:

например, постоянная функция

1
2

несравнима с функцией, которая имеет

ценность

1
2

на предельных ординалах, 0 на нечетных ординалах и 1 на четных преемниках.

5

Когда я представил аналогичное решение семантических парадоксов в [1], я явно не ввел
это новое пространство семантических значений (поскольку я еще не думал об этом таким образом); но идеи кажутся
мне более ясными с этим пространством ценностей, сделанным явным.

Непротиворечивость наивной теории свойств

293

• За каждый

f ∈ W

определять

ф

быть функцией для которой

f (α) = 1 − f (α)

для каждого

α. Затем f

будет внутри

В

тоже.

Кроме того, операция

это

симметрия, которая переключает 0 с 1, оставляя постоянную функцию

1
2

исправлено.

• Для любого непустого подмножества

S из W, который имеет мощность меньше, чем у

, определить
(S) как функцию, значение которой на каждом α равно минимуму {f (α)|f ∈ S},

и

(S) быть функцией, которая аналогично дает точечный максимум.

Затем

S) и

(S) находятся в W;

6

и ясно, что они встречаются и объединяются из

С

в отношении частичного заказа.

• Для любого

С,

(S) равно 1 только в том случае, если 1 ∈ S; это справедливо, поскольку если 1 /

∈ S, то f (0)

для каждого

f в S. Это важно: он будет гарантировать, что логика, что результаты будут

подчиняйтесь мета-правилам

∨- устранение и ∃ - устранение.

Заметьте также, что если

f (0) является

1
2

и

f ∈ W, то f принимает значение

1
2

произвольно

поздно, а именно., вообще ладно-кратно

ρ

ф

. (По

ρ

ф

- Я имею в виду самую маленькую

ρ, для которого f равно

ρ-циклический.) Также заметим, что для любых f и g в W существуют ρ

такие что оба

f и g являются ρ-циклическими: любое общее право-кратное от ρ

ф

и

ρ

г

будет один. Один

следствием этого является то, что если есть

β <

за которую

f (β),

f (β) ≤ g (β)), то для любого α

- есть такие...

β в открытом интервале от α до

для

который

f (β) И это подразумевает, что

•

ф

g эквивалентно более слабому утверждению prima facie, что существует α (меньше, чем

) такое что для всех

β больше, чем α (и меньше, чем

),

f (β) ≤ g (β).

Аналогично, если мы определяем (довольно сильный) строгий частичный порядок

≺ ≺ by f ≺ ≺ g IFF либо

(

f = 0 и g

1
2

) или (

ф

1
2

и

g = 1), то

•

f ≺ ≺ g эквивалентно более слабому утверждению prima facie, что существует α (меньше
, чем

) такое что для всех

β больше, чем α (и меньше, чем

),

f (β)

Ибо если” слабое " утверждение выполняется, то выберите

β, чтобы быть общим правым кратным ρ

ф

и

ρ

г

больше

α; так как f (β)

1
2

, так что на

по крайней мере один из них

f (0) и g (0) не является

1
2

, так что по крайней мере один из

f и g находится в { 0, 1 }; а остальные

становиться очевидным.

6

Для

(S), это тривиально, если один из членов S равен 0 или если S равен { 1 }. В противном случае, значение

S) при 0

является

1
2

и нам нужно только проверить цикличность. Позволь

ρ

С

быть наименьшим порядковым номером, который является правой кратностью от всех

ρ

ф

для

f ∈ S; по ограничению мощности на S, это меньше, чем

(и как минимум 2). Кроме того, все члены общества

S ρ

С

- цикл, значит

(S) ρ

С

- циклы (и так

ρ

(С)

≤ ρ

С

).

294

Н. Поле

Только что набросанные результаты являются ключевыми для доказательства окончательной характеристики пространства

В,

что он закрыт при следующей операции

⇒:

Если

α > 0, (f

⇒ g) (α) является

1 Если для некоторых

β < α, и любой γ такой, что β ≤ γ);

0 если для некоторых

β < α, и любой γ такой, что β ≤ γ < α, f (γ) > g (γ);

1

2

иначе,

и

(Ф

⇒ g) (0) является

1 Если для некоторых

β <

, и любой

γ такое, что β ≤ γ

,

f (γ) ≤ g (γ);

0 если для некоторых

β <

, и любой

γ такое, что β ≤ γ

,

f (γ) > g (γ);

1

2

иначе.

(Значение

1
2

может произойти только при 0 и на пределе.) Обратите внимание, что исключительное лечение

значение 0 фактически превращает область функций в

В

в “трансфинитный круг", внутри

который 0 идентифицируется с

. А у нас явно есть

•

ф

⇒ g равно 1 тогда и только тогда, когда f

g; и f

⇒ g равно 0 тогда и только тогда, когда f

г.

Почему

В

закрыто снизу

⇒? Поскольку 1 и 0 находятся в W, нам нужно только показать, что

когда ни то ни другое

ф

g nor f

g затем f

⇒ g является регулярным. Пусть ρ-наименьшее не --

нулевой порядковый номер, для которого оба

f и g ρ-цикл, и пусть ρ

∗

быть

ρ ·ω. Я утверждаю, что f

⇒ г

является

ρ

∗

- циклический, то есть для любого

σ < ρ

∗

, значение из

(Ф

⇒ g) (ρ

∗

* δ +σ) является независимым

от

δ; и что когда σ равно 0, (f

⇒ g) (ρ

∗

* δ + σ) является

1
2

. Дело 1:

σ > 0. Тогда (f

⇒

ж) (ρ

∗

· δ + σ) = 1 iff (∃β < ρ

∗

· δ + σ)(∀γ)(β ≤ γ < ρ

∗

· δ + σ ⊃ f (γ) ≤ g(γ)) iff

(∃β)(ρ

∗

· δ ≤ β < ρ

∗

· δ + σ)(∀γ)(β ≤ γ < ρ

∗

* δ + σ ⊃ f (γ) ≤ g (γ); но это

независимый от

δ так как f и g являются (ρ-циклическими и следовательно) ρ

∗

-циклический. Аналогично и для самого

δ-независимость условия для (f

⇒ g) (ρ

∗

· δ + σ) = 0. Случай 2: σ = 0.

Нам это нужно

(Ф

⇒ g) (ρ

∗

· δ) =

1
2

для всех

δ. Причина в том, что для любого α

∗

· δ

(т. е.,

α < ρ · (ω · δ)), there is an ζ such that α < ρ · ζ < ρ · (ζ + 1) < ρ · (ω · δ);

и (поскольку ни то, ни другое

ф

g nor f

g) в интервале от
ρ· ζ до ρ · (ζ + 1) (включая нижнюю границу) обязательно должно быть β, где f (β) > g (β) и другие, где>
f (β) ≤ g (β), поэтому (f

⇒ g) (ρ

∗

· δ) =

1
2

.

Операция

⇒ только что указанный имеет некоторые довольно приятные свойства. Я уже это сделал.

отмечены условия, при которых она принимает значения 1 и 0. В дополнение:

• Когда

f и g находятся в { 0, 1 }, то f

⇒ g тождественно значению

материал условный,

{f, g}.

Так как я буду использовать

⇒ для оценки условности это будет означать, что
условность сводится к материальной условности, когда исключенная середина принимается за
антецедент и следствие.

Непротиворечивость наивной теории свойств

295

Это выходит за рамки настоящего исследования законов, регулирующих

⇒ (хотя это

это важно, так как он будет определять, какие выводы с участием

→ действительны); для этого,

смотрите [1].

Это стоит сделать явным, что если

f ⇒ ⇒ g определяется очевидным образом (как

{Ф

⇒ g, g

⇒ f }), то если α > 0, то (f ⇒ ⇒ g)(α) равно

1 Если для некоторых

β < α, и любой γ такой, что β ≤ γ);

0 если для некоторых

β < α, и любой γ такой, что β ≤ γ);

1

2

иначе.

(И аналогично для

(f ⇒ ⇒ g) (0): использовать

вместо

α с правой стороны.)

4.2.

W -Модели

Отметив эти особенности пространства

В

значений, мы можем легко определить модели

исходя из этого пространства:

W-модели. Я возьму W -модель для языка, который будет состоять из

домен

D кардинальности меньше, чем

, присвоение каждой отдельной константе

c of

член

den (c) из D и присвоение каждому N-местному предикату функции p

∗

От

Д

н

Для

В

(где

Д

н

является ли набор из

n-кортежи членов D). A W -оценка стоимости

ибо язык будет состоять из a

W-модель вместе с функцией s присваивает объекты
в предметной области модели переменным языка. Учитывая любую оценку с
функцией присвоения

s и любой терм t (индивидуальная константа или переменная), пусть den

с

t) быть

den(t), если t-индивидуальная постоянная, s (t), если t-переменная.

Учитывая а

W-оценка с функцией присвоения s, мы присваиваем значения в