Генерация набора истин в NFI

Теперь мы моделируем с помощью однородного спаривания логические операции, которые являются существенными

для введения в Квинейскую вселенную аналога формулы, представляющей карту
§1.1.

Определение 7.

˙

x: = (0, x);

икс

∧y:= (1, (x, y));

∀f: = (2, f);

∈xy: = (3, (x, y)).

Тогда мы можем индуктивно ввести карту

A → [A] такое, что F V (A) = F V ([A])

и

•

[t ∈ s]: = ∈{t}s;

•

[Ля]:= ˙

[Ля];

•

[A ∧ B]: =

∧[A][B];

•

[∀xA]: = {{x | A}.

Мы также определяем

y · x:= [x ∈ y].

Под точечным приложением Вселенная множеств становится прикладной структурой.
Однако следует отметить, что

y·x стратифицируется только в том случае, если y и x имеют типы i+1 и i (соответственно),

и что в результате применения

y к x-это один больше, чем тип x.

Лемма 11 (ограниченная диагонализация, в NFI). Есть такой термин

R такой, что

Р = ˙

Р.

Более того, для каждого

а, есть такой термин

а) такие, что

(a) = [(a ∈

(ля))].

Доказательство. Операция:

а) = (

, a) монотонна в A. По лемме о неподвижной точке существует

разве что некоторые

R удовлетворение иска. Что касается второй части,

один

(b) = [a ∈ b] = (3, (a, b))

это монотонно внутри

б. таким образом, вывод вытекает из леммы 10.

Теперь мы моделируем понятие Крипке-Фефермана самореферентной истины, как разработано

в [3], в рамках абстрактной теории множеств Куайна. Предикат истины

T is

введенный в качестве неподвижной точки стратифицированного положительного (в

а) оператор T (x, a), который

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

279

кодирует рекурсивные предложения для частичной самореферентной истины и задается
формулой

∃у∃с V∃Вт [ (х = [у ∈ В] ∧ У ∈ в) ∨

∨ (Х = [У ∈ В] ∧ У ∈ в) ∨
∨ (Х = [В] ∧ В ∈ А) ∨
∨ (х = в

∧ш ∧ ∈ а ∧ Вт ∈ а) ∨

∨ (x =

(в ˙

∧w) ∧ (

∈ а ∨

Вт ∈ а)) ∨
∨ (х = ∀V в ∧ ∀Z(В В · З ∈ А)) ∨
∨ (х =

∀v ∧ ∃ Z(

v · z ∈ a))].

Ясно

{x | T (x, a)} является ⊆ - монотонным в a и является предикативным: он получает тип 2 один раз

мы назначаем тип 0 к

u, z, тип 1 к x, v, w, тип 2 к A.

Определение 8.

Cl

Т

(a): = ∀x (T (x, a) → x ∈ a);

T: = {x / ∀a(Cl

Т

(a) → x ∈ a)};

T x: = x ∈ T.

Из леммы 10 сразу вытекает::

Предложение 8. NFI доказывает:

1.

∃y(y = T);

2.

∀x (T (x, T) → x ∈ T);

3.

Cl

Т

(a) → T ⊆ A.

Предложение 9. NFI доказывает:

T [x ∈ y] ↔ x ∈ y;

T [x ∈ y] ↔ x ∈ y;

Т

˙

x ↔ T x;

T (x

∧y) ↔ T x ∧ T y;

Т

(икс ˙

∧y) ↔ T (

x) ∨ T (

y);

T ∀f ↔ ∀ XT (f * x);

Т

∀Ф ↔ ∃ХВ

(f · x).

Доказательство. Использовать

T x ↔ T (x, T), которое доказуемо с предложением 8, и индепен-

dence свойства из

, ˙

∧,∀,∈, которые следуют из леммы 8-9.

280

А. Кантини

Следовательно, как интересные частные случаи, мы получаем:

(T [T x] ↔ T x) ∧ (T [T x] ↔ T x).

(8)

Предложение 10 (Последовательность). NFI доказывает:

1.

∀x (T x → T

икс);

2.

∃y(T y ∧ T

год).

Доказательство. Объявление 1: Выберите

ψ (a): = T (

a); {x | ψ(x)} существует в NFI. Потом проверить:

∀a (T(a, {x | ψ(x)}) → ψ (a)).

Объявление 2: пусть

y = R (Лемма 11) и применить согласованность.

Замечание 3. Рассмотрим карту:

x → ϕ (x):= [T x].

Альтернативным " пропозициональным объектом лжеца” будет множество

L такие, что

L = [T L] = [(L ∈ T)].

Но приведенное выше уравнение не может быть стратифицировано; действительно, по (8) nfi доказывает:

∃x (x = [T x]).

Лемма 12. Если бы...

A стратифицирован (и {x / A} слабо предикативен), то

Т [ха] ха;

Т [ха] ха

доказуемы в NF (NFI).

Доказательство. Рассмотрим следующие шаги:

T [∀xA] ↔ ∀ ut ({X | A}* u);

↔ ∀ ut [u ∈ {x | A}];
↔ ∀ u(u {{x | a});
↔ ∀ UA[x:= U].

Заметьте, что второй шаг использует предложение 9, в то время как последний шаг требует стратифицированного
понимания в NF (или в NFI, при условии

А является слабо предикативным).

Теорема 8 (стратифицированная T-схема). Если бы...

A является стратифицированным, NF доказывает:

T [A] ↔ A.

Если

A является ∀ - свободным, схема уже доказуема в NFI.

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

281

Доказательство. Путем индукции на

A с предложением 9 и предыдущей леммой.

Стратифицированная T-схема подразумевает, что

Т сильно отклоняется от поведения
самореферентных истинностных предикатов а-ля Крипке-Феферман, которые вообще не подтверждают
ни сами аксиомы истинности, ни произвольные логические аксиомы, см. [16] и [8]. Напротив,
T доказуемо считает, что он двузначен, непротиворечив и что он удовлетворяет условиям замыкания
, воплощенным в операторной формуле

T (x, T) порождает саму частичную истину;
это отмечает отличие настоящей теории от системы Крипке-Феферманк
KF:

Следствие 2. NFI доказывает:

T [T A ∨ T a];

(9)

T [(T A ∧ T a)];

(10)

T [T [x ∈ y] ↔ x ∈ y];

(11)

T [T [x ∈ y] ↔ x ∈ y];

(12)

T [T

˙

x ↔ T x];

(13)

T [T (x

∧y) ↔ T x ∧ T y];

(14)

T [T

(икс ˙

∧y) ↔ T (

x) ∨ T (

год)].

(15)

Кроме того, НФ доказывает:

T [∀xT (f · x) ↔ T ∀f ];

(16)

T [∀x (T x ↔ T (x, T))].

(17)

Доказательство. Все заявленные формулы находятся в пределах области применения outermost

T доказуемы в

NF (не более):

• (9)–(10) тривиально по логике;

• (11)–(16) по предложению 9;

• (17) предложением 8.

Кроме того, эти же формулы стратифицированы. Отсюда следуют выводы следствия

посредством

T-стратифицированная схема (теорема 8).

Заключительное замечание

Определение 9.

P a:⇔ T A ∨ T

есть

P A формально представляет предикат “a есть предложение".

282

А. Кантини

Предложение 11 (НФИ). Совокупность всех предложений является собственным подмножеством
Вселенной:

∃y(y = {x / P x}) ∧ {x | P x} ⊂ V.

Более того

P имеет следующие свойства замыкания:

P ([x ∈ y]) ∧ P [T x];

P A ∧ (T A → P b) → P (a

→b);

P A ∧ P b → P (a

∧b) ∧ P (a

∨б);

P A → T [P a];

P (∀f).

Первое утверждение является следствием предложения 10. Что касается остальных объектов недвижимости,

примените предложение 9.

Несколько условий закрытия предыдущего предложения напоминают о Корре-

спондинг аксиомы в PT и AT; но мы подчеркиваем, что аксиома

T [P x] из AT опровергается
в настоящем контексте, в то время как (аналог) последнего утверждения явно необоснованно,
доказуемо в AT и PT. Отметим также, что

P (∀f) подразумевает ∀xP(f ·x), т. е. каждое множество определяет

пропозициональная функция.

Мы заключаем, представляя противоречие Рассела в рамках теории
предложений и истины, которую мы до сих пор развивали в NFI.

Определение 10.

τ (f): = [P (∀f)].

По определению карты

A → [A], спаривание и предложение 11, получаем:

Лемма 13. NFI доказывает:

P (τ (f)) ∧ T (τ (f));

τ (f) = τ (g) → f = g.

Так что операция

τ-это хорошо определенная инъективная карта из множеств в Истины (и
предложения).

Предложение 12. NFI доказывает:

∃Д∀х(х ∈ Д ↔ (∃Е ⊆ П)(Х /

∈ f x x = τ (f)).

Подводя итог: мы рассмотрели три формальные системы для решения
противоречия Рассела в приложении B к [20]. Во всех системах аргумент Расселла может быть
естественным образом формализован, но он существенно стерилизуется либо отрицанием существования
подходящей пропозициональной функции, либо множеством. Первые две системы доказуемо
неэкстенсиональны и предикативно склонны; по-видимому, нет аналога набора мощности

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

283

определяемо, в то время как совокупность истин и предложений не определяет завершенных
совокупностей.

В третьей системе мы имеем набор всех предложений и истин, и
экстенсиональность является основной. Это противоречие затем устраняется механизмом стратификации
и в соответствии с теоретической перспективой импредикативного типа.

Подтверждение. Исследование поддержано университетом дельи Studi di Firenze и

МИУР. Часть этого документа была представлена под названием "отношение KF к NF " на
симпозиуме Russell 2001, 2-5 июня 2001 года, Мюнхен.

Рекомендации

[1]

Акцель, Питер: 1980. Структуры Фреге и понятия предложения, истины и множества. В:

J. Barwise et al. (ред.), Симпозиум Kleene, Амстердам: Северная Голландия, 31-59.

[2]

Barendregt, Henk: 1984. Лямбда-исчисление: его синтаксис и семантика. Амстердам:
Северная Голландия.

[3]

Cantini, Andrea: 1996. Логические рамки для истины и абстракции. Амстердам:
Северная Голландия.

[4]

Кантини, Андреа и Пьерлуиджи Минари: 1999 год. Равномерная неразрывность в явной
математике. Журнал символической логики 64: 313-326.

[5]

Cocchiarella, Nino: 2000. Расселовский парадокс тотальности пропозиций. Скандинавский
журнал философской логики 5: 23-37.

[6]

Crabbè, Marcel: 1982. О согласованности импредикативной подсистемы
NF Куайна. Журнал символической логики 47: 131-136.

[7]

Feferman, Solomon: 1978. Конструктивные теории функций и классов. In: M. Boffa
et al. (ред.), Логический Коллоквиум ' 78, Амстердам: Северная Голландия, 55-98.

[8]

Feferman, Solomon: 1991. Размышляя о неполноте. Журнал символической логики
56: 1-49.

[9]

Forster, Thomas: 1995. Теория множеств с универсальным множеством. Оксфордские Логические Руководства, 31.
Oxford: Clarendon.

[10]

Glass, Thomas: 1996. О классе мощности в явной математике. Журнал символической
логики 61: 468-489.

[11]

Girard, Jean Y.: 1987. Теория доказательств и логическая сложность. Napoli: Bibliopolis.

[12]

Грим, Питер: 1991 Год. Незавершенная Вселенная. Тотальность, знание и истина.
Cambridge, MA: MIT Press.

[13]

Гришин, В. Н.: 1969. Согласованность фрагмента NF-системы Куайна. Советская
Математика Doklady 10: 1387-1390.

284

А. Кантини

[14]

Holmes, Randall M.: 1995. Эквивалентность теорий множеств NF-стиля с теориями "запутанного"
типа: построение

ω-модели предикативных НФ (и более). The Journal

о символической логике 60: 178-190.

[15]

Калиш, Дональд и Ричард Монтегю: 1964 год. Логика. Приемы формального рассуждения.
Нью-Йорк: Harcourt, Brace and World.

[16]

Крипке, Саул: 1975. Набросок теории истины. Журнал философии 72: 690-716.

[17]

Oksanen, Mika: 1999. Парадокс Рассела-Каплана и другие модальные парадоксы; новое
решение. Северный журнал философской логики 4: 73-93.

[18]

Quine, Willard V.: 1945. На упорядоченных парах. Журнал символической логики 10: 95-96.

[19]

Rosser, John B.: 1953. Логика для математиков. Нью-Йорк: Макгро-Хилл.

[20]

Russell, Bertrand: 1903. Принципы математики. Cambridge: Cambridge
University Press. Перепечатано Routledge: London, 1997.

[21]

Спекер, Эрнст: 1953. Аксиома выбора в новых основаниях
математической логики Куайна. Труды Национальной академии наук США 39: 972-975.

[22]

Спекер, Эрнст: 162. Типичная двусмысленность. In: E. Nagel et al. (ред.), Логика, методология
и философия науки. Материалы Международного конгресса 1960 года, Стэнфорд:
Stanford University Press, 116-123.

Dipartimento di Filosofia
Università degli Studi di Firenze
via Bolognese 52
50139 Firenze
Italy

E-mail: [email protected]