Альтернативная теория истинности и пропозиций

Определение 2. Мы описываем вариант AT системы PT, который так разработан, что
предположение “

P F (x) - это предложение " непротиворечиво:

А1

P ([x = y]) ∧ (T ([x = y]) ↔ x = y);

А2

T (a) → P (a);

А3

∀xT ([P (x)]);

А4

P ([T (a)]) ↔ P (a);

А5

T ([T (a)]) ↔ T (a);

А6

P (a) → (T (a) → T (

один));

А7

T (

a) → T (a);

А8

P (

a) ↔ P (a);

А9

P (a) ∧ P (b) ↔ P (

∧ав);

А10

T (

∧ab) ↔ T (a) ∧ T (b);

А11

xP xP (f x) ↔ P (∀f);

А12

T (∀f) ↔ ∀ x(t (f x)).

266

А. Кантини

Типичным принципом работы системы является А3, согласно которому никаких претензий по поводу

P (a)

может быть внутренне верным. A3 подразумевает с A2, A8 следующий принцип

():

∀x. P ([P (x)]).

Это следует из

() что АТ не соответствует аксиоме:

P ([P (x)]) → P (x).

Действительно, пусть

L - объект лжеца L =

(Л). Поскольку P ([P (L)]) имеет место, мы имеем P (L)

и мы можем заключить с аксиомами отрицания, что

T (

L) ↔ T (L), откуда a

противоречие.

Более того, если мы подадим заявление

() и A11, мы получаем:

Предложение 3 (AT).

λx.P F (x) является пропозициональной функцией.

Заметим также, что A3 подразумевает, что PT-аксиома

P (a) → T ([P (a)]) является непоследовательным

с AT (выберите

a: = [x = y]).

С другой стороны, аналогично PT, мы можем доказать, что в AT:

T ([T (a)]) ↔ T (

ля).

Для того чтобы оценить разницу в силе между AT и PT, может быть
интересно сравнить свойства замыкания пропозициональных функций в этих двух системах.
Прежде всего, обе системы замкнуты в элементарном понимании. Действительно, если

один

является конечным списком

один

0

,..., ля

н

переменных, отличных от

x, мы говорим, что A (x, a), где

F V (A) ⊆ a, x,

6

это элементарно в

a, если A индуктивно генерируется из атомарных формул

форма

t = s, t ∈ a

я

(с 0

≤ i ≤ n и отсутствие переменной a свободной в t, s) посредством

от

, ∧ и количественная оценка по переменным, не встречающимся в списке А.

Пусть PT

∩AT-это теория, состоящая из тех аксиом, которые являются общими для PT
и AT.

Предложение 4 (PT

∩НА). Если A (x, a) элементарно в a и каждое a

я

из списка:

а - это а

пропозициональная функция, тогда

{x | A (x, a)} является пропозициональной функцией такой, что

∀u(u {{x | A(x, a)} ↔ A (u, a)).

Однако, в то время как пропозициональные функции замкнуты при непересекающемся объединении (или соединении)

в PT то же самое не может быть доказано в AT.

Давайте же оправдаем это утверждение. Введем вид последовательного соединения

, благодаря

Aczel [1]:

один

b: = a

∧ (a → b).

Ясно PT доказывает:

P (a) ∧ (T (a) → P (b)) → P (a

b) ∧ T (a

b) ↔ T (a) ∧ T (b).

7

6

FV

(E) - это множество свободных переменных, входящих в выражение E.

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

267

Поскольку мы имеем комбинаторную логику в качестве основной теории, мы можем предположить
, что имеем упорядоченную операцию спаривания

x, y → (x, y) с проекциями u → u

0

,

u → u

1

. Следовательно

это имеет смысл определить

(a, f): = {u | (u = (u

0

, у

1

) ∧ у

0

∈ ля

u

1

∈ f (u)

0

)}.

Предложение 5. i) ПТ доказывает это, если

a -пропозициональная функция, а f x -пропозиция-

tional функция всякий раз, когда

x ∈ a, то (a, f) является пропозициональной функцией, удовлетворяющей (J):

у ∈

(a, f) ↔ u = (u

0

, у

1

) ∧ у

0

∈ а ∧ у

1

∈ f (u)

0

.

(ii) AT доказывает аксиому класса слабых степеней: для каждой пропозициональной функции

a,

существует пропозициональная функция

P ow

−

а) такие, что

∀u (u ∈ p ow

−

(a) → P F (u) ∧ u ⊆ a);

∀у(п ф (х) ∧ в U ⊆ а → ∃в(п ф (б) ∧ б ∈ п ой

−

а) ∧ u =

е

б)).

Что касается доказательства, то (i) является непосредственным следствием определения термина

, в то время как (ii)

существенно зависит от того, что

P (x) является предложением для каждого x, как только мы установим

P ow

−

(a) = {u | P F (u) ∧ ∃ b(p f (b) ∧ u = b ∩ a)}.

Следствие 1. AT+(J) является непоследовательным.

Это следует из адаптации парадокса Рассела по линиям Фефермана, см. [7].

PT и AT являются Неканторианскими

Это утверждение означает, что ни в одной из теорий истины нет хорошего аналога множества
степеней в терминах пропозициональных функций. Причина дается приведенными ниже результатами, которые
доказуемы в общем подтеории PT и AT (поэтому они не связаны со свойствами
сильной импликации или тем фактом, что

λx.P F (x) является пропозициональной функцией).

Определение 3.

(i) (формула нашего языка)

ϕ (x) называется экстенсиональным iff ∀f ∀g(P F (f) ∧

P F (g) ∧ f =

е

g ∧ ϕ(f) → ϕ (g));

ii) формула:

ϕ (x) такое, что ∀x(ϕ (x) → P F (x)) нетривиально, если существуют

пропозициональные функции

x, y такие, что ϕ(x), ϕ(y).

7

Мы предполагаем, что

↔ связывает сильнее, чем ∧.

268

А. Кантини

Лемма 3 ("неразрывность", в ПТ

∩НА). Пусть ϕ

1

,

ϕ

2

быть экстенсиональными формулами и как-

суммируйте, что существуют пропозициональные функции

икс

1

,

икс

2

такие что

ϕ

1

(икс

1

), ϕ

2

(икс

2

). Тогда ϕ

1

и

ϕ

2

являются

P F -неотделимы, т. е. для отсутствия пропозициональной функции x

3

мы можем иметь:

∀u (P F (u) ∧ ϕ

2

(u) → u /

∈ икс

3

) ∧ ∀ u (p f (u) ∧ ϕ

1

(u) → u ∈ x

3

)

Доказательство. Предположим, что

икс

3

является ли пропозициональная функция такой, что

∀u (P F (u) ∧ ϕ

2

(u) → u /

∈ икс

3

).

Для этого достаточно произвести пропозициональную функцию

g: = g(x

1

, икс

2

, икс

3

) такие что

г /

∈ икс

3

∧ ϕ

1

(г).

По лемме о неподвижной точке выберите элемент

g такое, что g = Gg, где

Gh = {u | (u ∈ x

1

∧ ч /

∈ икс

3

) ∨ (u ∈ x

2

∧ х ∈ х

3

)}.

Затем, используя общие аксиомы на

∧, и предположение, что x

3

,

икс

2

,

икс

1

являются

пропозициональные функции, мы имеем это

g-это пропозициональная функция.

Если

g ∈ x

3

, затем

г =

е

икс

2

. С

ϕ

2

(икс

2

), также ϕ

2

g); таким образом, g /

∈ икс

3

.

Следовательно

г /

∈ икс

3

, который дает

г =

е

икс

1

. Но

ϕ

1

(икс

1

); так ϕ

1

g) по экстенсиональности.

Теорема 2 (PT

∩НА). Никакая пропозициональная функция f не может быть как экстенсиональной, так и неэкстенсиональной-

тривиальный.

Так, например, не может существовать пропозициональной функции, играющей роль

силовой агрегат

{ ∅ }, т. е., чей "диапазон значимости" является именно совокупностью всех

пропозициональные функции

⊆ { ∅ }: ибо это было бы нетривиально и экстенсионально.

Приведенные выше результаты являются расширениями к контексту структур Фреге удержания результатов
для теорий явной математики, см. [4].

О Моделях

Мы выделяем две индуктивные модельные конструкции для PT и AT, соответственно.

PT-модели

Основная идея состоит в том, чтобы рассматривать любую данную комбинаторную алгебру как основную вселенную и
производить, путем обобщенного индуктивного определения, наборы предложений и истин.
Это нельзя просто перефразировать как стандартное монотонное индуктивное определение, потому
что предложение для введения предложения импликативной формы использует (отрицательно)
набор истин. Тем не менее, мы можем адаптировать трюк Aczel [1].

8

8

В качестве альтернативы мы можем определить модель с помощью трансфинитной рекурсии над ординалами, во многом такой же

путь как модель для теорий Фефермана с так называемой аксиомой соединения.

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

269

Исправить экстенсиональную комбинаторную алгебру

M; пусть| M / есть Вселенная M. Если

X = X

0

, Икс

1

,

Y = Y

0

, Год

1

, и

Икс

0

,

Икс

1

,

Y

0

,

Y

1

являются подмножествами

М, определить

X ≤ Y ⇔ X

0

⊆ Год

0

∧ (∀а ∈ Х

0

)(икс

1

↔ а ∈ г

1

).

Позволь

F-семейство всех пар X = X

0

, Икс

1

из подмножеств:

|M|, удовлетворяющий требованиям

ограничение

Икс

1

⊆ Икс

0

. Если

X ∈ F, мы называем X подходящим.

9

Лемма 4. Структура:

F, ≤ - это полный частичный порядок.

10

Затем мы определяем оператор

о подходящих подмножествах

|М|.

(X) может быть дано путем

указание двух операторов

0

(Икс),

1

(X) такие, что (X) =

0

(Икс),

1

(Икс).

0

(X) is

определяется по следующей формуле

Один

0

(Х, Х):

∃u∃v [(x = [u = v]) ∨ (x = [P u] ∧ u ∈ X

0

) ∨

∨ (x = [T u] ∧ u ∈ X

0

) ∨

∨ (x = (

u) ∧ u ∈ X

0

) ∨

∨ ((x = (u

∨v) ∨ x = (u

∧v)) u u ∈ X

0

∧ в ∈ Х

0

) ∨

∨ (x = (u

→v) ∧ u ∈ X

0

∧ (у /

∈ Икс

1

∨ в ∈ Х

0

)) ∨

∨ ((Х = ∀У ∨ Х = ∃Х) ∧ ∀у(уй ∈ х

0

))].

1

(X) определяется по следующей формуле: A

1

(Х, Х):

∃u∃v [(x = [u = v] ∧ u = v) ∨

∨ (x = [P u] ∧ u ∈ X

0

) ∨ (x = [T u] ∧ u ∈ X

1

) ∨

∨ (x = (

u) ∧ u ∈ X

0

∧ у /

∈ Икс

1

) ∨

∨ (x = (u

∨в) ∧ У ∈ Х

0

∧ в ∈ Х

0

∧ (u ∈ X

1

∨ в ∈ Х

1

)) ∨

∨ (x = (u

∧в) ∧ У ∈ Х

0

∧ в ∈ Х

0

∧ у ∈ Х

1

∧ в ∈ Х

1

) ∨

∨ (x = (u

→в) ∧

∧ (u ∈ X

0

∧ (у /

∈ Икс

1

∨ в ∈ Х

0

) ∧ (у /

∈ Икс

1

∨ в ∈ Х

1

))) ∨

∨ (x = u u ∧ ∀ y (UY ∈ X

0

) ∧ ∀ y (UY ∈ X

1

)) ∨

∨ (x = u u ∧ ∀ y (UY ∈ X

0

) ∧ ∃ y (UY ∈ X

1

))].

Следующие свойства являются немедленными:

Лемма 5. (i)

: F → F.

(второй)

X ≤ Y, то (X) ≤ (Y) (где X, Y ∈ F). Следовательно, существуют множества X ∈ F,

такие что

X = (X).

9

Интуитивно,

Икс

0

является кандидатом на множество предложений, в то время как

Икс

1

представляет собой соответствующее понятие

- о правде.

10

То есть, частичный порядок, в котором каждый

≤- возрастающая последовательность элементов F имеет наименьшую верхнюю границу

в отношении

≤.

270

А. Кантини

Теорема 3. Если бы...

X ∈ F и X = (X), то

M, X / = PT.

Следовательно, PT является последовательным.

Доказательство теоремы является простым.

На модель

Что касается системы AT, то мы сначала индуктивно определяем множество пропозициональных объектов над

заданная комбинаторная алгебра. Затем мы используем этапы, назначенные пропозициональным
объектам для генерации набора истин.

Формально мы фиксируем экстенсиональную комбинаторную алгебру

M со Вселенной |M|. Мы

также предположим, что наш язык включает в себя имена для объектов

|M| (для которого мы принимаем

те же символы). Если

t-термин расширенного языка, t

М

обозначает значение
t в M. Теперь мы готовы определить, путем трансфинитной рекурсии на ординалах, последовательность
{P

α

} подмножеств из |M|:

* Первоначальное положение:

П

0

= {[a = b] / a, b ∈ M} {{[P A] | a ∈ M};

* Предельная оговорка: если

λ-предельный порядковый номер,

П

λ

= ∪{P

α

| α < λ};

•

- и ∧ - правила:

a ∈ P

α

(˙

один)

М

∈ П

α+1

a ∈ P

α

б-п

α

(ля ˙

∧б)

М

∈ П

α+1

;

•

∀ - и Т-правила:

для всех

c ∈ / M|, (f c)

М

∈ П

α

˙∀Ф

М

∈ П

α+1

a ∈ P

α

(˙

Т а)

М

∈ П

α+1

.

Аналогичным образом, мы рекурсивно производим последовательность

{T

α

} подмножеств |M/, approxi-

сопряжение набора истин:

* Первоначальное положение:

M / = a = b

[a = b]

М

∈ Т

0

;

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

271

* Предельная оговорка: если

λ-предельный порядковый номер,

Т

λ

= ∪{T

α

| α < λ};

• Первое Положение о правопреемнике: если

a ∈ P

α

,

a ∈ T

α+1

⇔ а ∈ Т

α

;

• Второе положение о правопреемнике: предположим

a ∈ P

α+1

- П

α

. Мы выделяем несколько случаев

в соответствии с формой:

a, т. е. a = ∀f,

T b,

б, б

∧c (соответственно).

1.

∀ - и Т-пункты:

для всех

c ∈ / M|, (f c)

М

∈ Т

α

˙∀Ф

М

∈ Т

α+1

b ∈ T

α

(˙

T b)

М

∈ Т

α+1

;

2.

∧ - и-клаузулы:

b ∈ T

α

c ∈ T

α

(b

∧с)

М

∈ Т

α+1

б /

∈ Т

α

(˙

б)

М

∈ Т

α+1

.

С помощью трансфинитной индукции на ординалах нетрудно проверить:

Лемма 6. Если бы...

а ∈ м, тогда

a ∈ T

α

⇒ a ∈ P

α

;

α ≤ β ⇒ P

α

⊆ П

β

∧ Т

α

⊆ Т

β

;

a ∈ P

α

⇒ a ∈ T

α

∨ (˙

а) ∈ Т

α+1

;

(˙

а) ∈ Т

α

⇒ ля /

∈ Т

β

(

β произвольно).

Мы выбираем

P = ∪{P

α

/ α порядковый номер}, T = ∪{T

α

/ α порядковый номер}; конечно, P, T

зависят от лежащей в основе комбинаторной алгебры

М, но мы оставляем этот факт неявным.

Лемма 7. Пусть...

O -открытая терм-модель комбинаторной логики плюс экстенсиональность.

11

А потом все держится.

O:

P = P

ω

и

T = T

ω

.

Доказательство. Предположим, что мы доказали

P = P

ω

.

(1)

По лемме 6, если

a ∈ T

δ

, затем

a ∈ P

δ

. По предположению,

a ∈ P

к

, для некоторых конечных

к.

По третьему утверждению леммы 6, либо

a ∈ T

к

или

(˙

а) ∈ Т

к+1

. В первом же случае мы

11

Дополнительные сведения см. в [2].

272

А. Кантини

делаются; второй случай подразумевает

один /

∈ Т

δ

(опять же, Лемма 6, последнее утверждение), противоречие.

Следовательно

Т

δ

⊆ Т

ω

. Но обратное включение тривиально имеет место, и поэтому

T = T

ω

.

Осталось проверить (1). Достаточно определить рекурсивно перечисляемое производное-

отношение способностей

над термином модель, такой что, для каждого

a ∈ O,

a ⇔ a P P.

Но вот это прямолинейно: аксиомы о том, что

будет иметь форму

[t = s], [P (t)], в то время
как правила вывода соответствуют положительным индуктивным предложениям, порождающим последовательность
{P

α

}. Конечно, предложение для ∀ Может быть перефразировано как финитарный вывод: from

топор,

делать вывод

∀a, при условии, что x не является свободным в A.

Тогда легко проверить, что отношение производимости замкнуто при замене,

то есть для произвольных терминов

a, s:

икс) ⇒

а[x:= s].

Это свойство вкупе с тем, что

O-открытая терм-модель легко дает

начальный пункт Формулы (1) (доказательства выполняются индукцией по определению

и еще:

трансфинитная индукция на ординалах).

Теорема 4.

M, P, T / = AT.

Теоретико-доказательное отступление. Конечно, мы можем рассмотреть прикладные версии PT и

ОКОЛО. Действительно, пусть PTN (ATN) - это PT (AT), расширенный предикатом

N для множества

натуральные числа, константы для 0, преемник, предшественник и условные на

N, the

индукционная схема для натуральных чисел для

N. Тогда:

Теорема 5. (i) PTN является доказательством-теоретически эквивалентным разветвленному анализу произвольного

уровень ниже

ε

0

.

ii) Если

N -индукция ограничена пропозициональными функциями, полученная система

PTN

с

доказательство-теоретически эквивалентно арифметике Пеано.

Доказательство следует хорошо известным путям; нижняя граница может быть получена путем вложения-

Динь в ПТН системой требуемой прочности, например ЭМ Фефермана

0

+J [7].

Что касается верхней границы, то можно обеспечить теоретико-доказательственный анализ PTN
с помощью предикативных методов (частичная элиминация разреза и асимметричная интерпретация в
разветвленную систему с уровнями

< ε

0

). Быстрое доказательство эксплойтов результата консервации

рекурсивно насыщенные модели.

Что касается силы АТН, то у нас пока нет определенного результата, но мы считаем
, что верно следующее:

Гипотеза 6. (i) ATN имеет ту же теоретико-доказательную силу, что и ACA, система
арифметики второго порядка, основанная на арифметическом понимании.

(ii) ATN с теоретико-числовой индукцией, ограниченной пропозициональными функциями, является

доказательство-теоретически эквивалентно арифметике Пеано.

О Расселовском парадоксе о Пропозициях и истине

273

Что касается возможных путей доказательства (i)–(ii), то следует рассмотреть лемму 7 и
методы стекла [10].

Стратифицированная Правда?

Сейчас мы исследуем альтернативный маршрут, который учитывает возможность ведения бизнеса

с парадоксом в полностью импредикативной, экстенсиональной структуре, теории множеств Куайна
NF. В новой модели множество всех предложений и множество всех истин действительно существуют, и
в определенной степени понятие истины обладает довольно сильными свойствами замыкания.

Сначала мы опишем формальные детали.

Л

с

является ли элементарный теоретико-множественный язык,

который содержит символ бинарного предиката

∈. Л

с

- термины просто индивидуальны

переменные (

x, y, z,...) и простые формулы (атомы) имеют вид t ∈ s (T, S члены).

Л

с

- формулы индуктивно генерируются из простых формул с помощью sentential

связки и кванторы. Элементарный теоретико-множественный язык

Л

+

с

получаемый

путем добавления к

Л

с

оператор абстракции

{−|- }; L

+

с

- термины и формулы тогда

одновременно генерируется. Предложение для введения терминов класса имеет вид: if

ϕ

это формула, тогда

{x / ϕ} - это термин, где F V ({x | ϕ}) = F V (ϕ) − {x}.

Как обычно, два члена (формулы) называются

α-конгруэнтны, если они отличаются только по re-

именование связанных переменных; мы идентифицируем

α-конгруэнтные члены (формулы).